Puente browniano - Brownian bridge

Movimiento browniano, fijado en ambos extremos. Esto usa un puente browniano.

Un puente browniano es un proceso estocástico de tiempo continuo B ( t ) cuya distribución de probabilidad es la distribución de probabilidad condicional de un proceso de Wiener estándar W ( t ) (un modelo matemático de movimiento browniano ) sujeto a la condición (cuando está estandarizado) de que W ( T ) = 0, de modo que el proceso se fija en el mismo valor en ambos t  = 0 y t  =  T . Más precisamente:

${\ Displaystyle B_ {t}: = (W_ {t} \ mid W_ {T} = 0), \; t \ en [0, T]}$

El valor esperado del puente es cero, con varianza , lo que implica que la mayor incertidumbre está en el medio del puente, con cero incertidumbre en los nodos. La covarianza de B ( s ) y B ( t ) es , o s (T -  t ) / T si s  <  t . Los incrementos en un puente browniano no son independientes. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {t (Tt)} {T}}}$${\ Displaystyle \ min (s, t) - {\ frac {s \, t} {T}}}$

Relación con otros procesos estocásticos

Si W ( t ) es un proceso de Wiener estándar (es decir, para t  ≥ 0, W ( t ) se distribuye normalmente con el valor esperado 0 y la varianza t , y los incrementos son estacionarios e independientes ), entonces

${\ Displaystyle B (t) = W (t) - {\ frac {t} {T}} W (T) \,}$

es un puente browniano para t  ∈ [0,  T ]. Es independiente de W ( T )

Por el contrario, si B ( t ) es un puente browniano y Z es una variable aleatoria normal estándar independiente de B , entonces el proceso

${\ Displaystyle W (t) = B (t) + tZ \,}$

es un proceso de Wiener para t  ∈ [0, 1]. De manera más general, un proceso de Wiener W ( t ) para t  ∈ [0,  T ] se puede descomponer en

${\ Displaystyle W (t) = {\ sqrt {T}} B \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) + {\ frac {t} {\ sqrt {T}}} Z.}$

Otra representación del puente browniano basada en el movimiento browniano es, para t  ∈ [0,  T ]

${\ Displaystyle B (t) = {\ frac {Tt} {\ sqrt {T}}} W \ left ({\ frac {t} {Tt}} \ right).}$

Por el contrario, para t  ∈ [0, ∞]

${\ Displaystyle W (t) = {\ frac {T + t} {T}} B \ left ({\ frac {Tt} {T + t}} \ right).}$

El puente browniano también se puede representar como una serie de Fourier con coeficientes estocásticos, como

${\ Displaystyle B_ {t} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} Z_ {k} {\ frac {{\ sqrt {2T}} \ sin (k \ pi t / T)} {k \ Pi }}}$

donde son variables aleatorias normales estándar independientes distribuidas de forma idéntica (ver el teorema de Karhunen-Loève ). ${\ Displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, \ ldots}$

Un puente browniano es el resultado del teorema de Donsker en el área de procesos empíricos . También se utiliza en la prueba de Kolmogorov-Smirnov en el área de inferencia estadística .

Comentarios intuitivos

Un proceso estándar de Wiener satisface W (0) = 0 y, por lo tanto, está "vinculado" al origen, pero otros puntos no están restringidos. En un proceso de puente browniano, por otra parte, no sólo es B (0) = 0, pero también requerimos que B ( t ) = 0, que es el proceso está "atado" en t = T también. Así como un puente literal está soportado por pilones en ambos extremos, se requiere un puente browniano para satisfacer las condiciones en ambos extremos del intervalo [0, T ]. (En una ligera generalización, a veces se requiere B ( t ₁ ) =  un y B ( t ₂ ) =  b , donde t ₁ , t ₂ , un y b son conocidos constantes.)

Supongamos que hemos generado varios puntos W (0), W (1), W (2), W (3), etc. de una ruta de proceso de Wiener mediante simulación por computadora. Ahora se desea completar puntos adicionales en el intervalo [0, T ], es decir, interpolar entre los puntos W (0) y W ( T ) ya generados . La solución es utilizar un puente browniano que se requiere para pasar por los valores W (0) y W ( T ).

Caso general

Para el caso general cuando B ( t ₁ ) = a y B ( t ₂ ) = b , la distribución de B en el tiempo t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ) es normal , con media

${\ Displaystyle a + {\ frac {t-t_ {1}} {t_ {2} -t_ {1}}} (ba)}$

y varianza

${\ Displaystyle {\ frac {(t_ {2} -t) (t-t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}},}$

y la covarianza entre B ( s ) y B ( t ), con s  <  t es

${\ Displaystyle {\ frac {(t_ {2} -t) (s-t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}}.}$

Referencias

• Glasserman, Paul (2004). Métodos de Monte Carlo en Ingeniería Financiera . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.