Movimiento browniano - Brownian motion

Paseo aleatorio bidimensional de un adatom plateado sobre una superficie de Ag (111)
Esta es una simulación del movimiento browniano de 5 partículas (amarillas) que chocan con un gran conjunto de 800 partículas. Las partículas amarillas dejan 5 rastros azules de movimiento (pseudo) aleatorio y uno de ellos tiene un vector de velocidad rojo.
Esta es una simulación del movimiento browniano de una gran partícula (partícula de polvo) que choca con un gran conjunto de partículas más pequeñas (moléculas de un gas) que se mueven con diferentes velocidades en diferentes direcciones aleatorias.

El movimiento browniano , o pedesis (del griego antiguo : πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / "saltar"), es el movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un medio (un líquido o un gas ).

Este patrón de movimiento generalmente consiste en fluctuaciones aleatorias en la posición de una partícula dentro de un subdominio de fluido, seguido de una reubicación a otro subdominio. A cada reubicación le siguen más fluctuaciones dentro del nuevo volumen cerrado. Este patrón describe un fluido en equilibrio térmico , definido por una temperatura dada . Dentro de tal fluido, no existe una dirección preferencial de flujo (como en los fenómenos de transporte ). Más específicamente, los momentos lineales y angulares generales del fluido permanecen nulos a lo largo del tiempo. Las energías cinéticas de los movimientos brownianos moleculares, junto con las de las rotaciones y vibraciones moleculares, suman el componente calórico de la energía interna de un fluido (el teorema de equipartición ).

Este movimiento lleva el nombre del botánico Robert Brown , quien describió por primera vez el fenómeno en 1827, mientras miraba a través de un microscopio el polen de la planta Clarkia pulchella sumergida en agua. En 1905, casi ochenta años después, el físico teórico Albert Einstein publicó un artículo en el que modeló el movimiento de las partículas de polen movidas por moléculas de agua individuales , haciendo una de sus primeras contribuciones científicas importantes. La dirección de la fuerza del bombardeo atómico cambia constantemente y, en diferentes momentos, la partícula es golpeada más en un lado que en otro, lo que lleva a la naturaleza aparentemente aleatoria del movimiento. Esta explicación del movimiento browniano sirvió como evidencia convincente de que existen átomos y moléculas y fue verificada experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926 "por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia".

Las interacciones de muchos cuerpos que producen el patrón browniano no pueden resolverse mediante un modelo que tenga en cuenta todas las moléculas involucradas. En consecuencia, solo se pueden emplear modelos probabilísticos aplicados a poblaciones moleculares para describirlo. A continuación se presentan dos de estos modelos de la mecánica estadística , debido a Einstein y Smoluchowski. Otra clase de modelos puramente probabilísticos es la clase de los modelos de proceso estocásticos . Existen secuencias de procesos estocásticos más simples y más complicados que convergen (en el límite ) al movimiento browniano (ver paseo aleatorio y teorema de Donsker ).

Historia

Reproducido del libro de Jean Baptiste Perrin , Les Atomes , se muestran tres trazados del movimiento de partículas coloidales de 0,53 µm de radio, como se ve al microscopio. Las posiciones sucesivas cada 30 segundos están unidas por segmentos de línea recta (el tamaño de la malla es de 3,2 µm).

El poema científico del filósofo y poeta romano Lucrecio " Sobre la naturaleza de las cosas " (c. 60 a. C.) tiene una descripción notable del movimiento de las partículas de polvo en los versículos 113-140 del Libro II. Utiliza esto como prueba de la existencia de átomos:

Observe lo que sucede cuando los rayos del sol ingresan a un edificio y arrojan luz sobre sus lugares sombríos. Verá una multitud de partículas diminutas que se mezclan en una multitud de formas ... su danza es una indicación real de los movimientos subyacentes de la materia que están ocultos a nuestra vista ... Se origina con los átomos que se mueven por sí mismos [es decir, espontáneamente ]. Entonces esos pequeños cuerpos compuestos que están menos alejados del ímpetu de los átomos se ponen en movimiento por el impacto de sus golpes invisibles y a su vez cañones contra cuerpos un poco más grandes. Entonces, el movimiento asciende desde los átomos y emerge gradualmente al nivel de nuestros sentidos, de modo que esos cuerpos están en movimiento que vemos en los rayos del sol, movidos por golpes que permanecen invisibles.

Aunque el movimiento entremezclado de las partículas de polvo es causado en gran parte por las corrientes de aire, el movimiento brillante y giratorio de las pequeñas partículas de polvo es causado principalmente por la verdadera dinámica browniana; Lucrecio "describe y explica perfectamente el movimiento browniano con un ejemplo equivocado".

Mientras que Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de las partículas de polvo de carbón en la superficie del alcohol en 1785, el descubrimiento de este fenómeno se atribuye a menudo al botánico Robert Brown en 1827. Brown estaba estudiando los granos de polen de la planta Clarkia pulchella suspendidos en agua bajo una microscopio cuando observó partículas diminutas, expulsadas por los granos de polen, ejecutando un movimiento de nerviosismo. Al repetir el experimento con partículas de materia inorgánica, pudo descartar que el movimiento estuviera relacionado con la vida, aunque su origen aún no se había explicado.

La primera persona en describir las matemáticas detrás del movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en un artículo sobre el método de mínimos cuadrados publicado en 1880. Esto fue seguido de forma independiente por Louis Bachelier en 1900 en su tesis doctoral "La teoría de la especulación", en la que presentó un análisis estocástico de los mercados de acciones y opciones. El modelo de movimiento browniano del mercado de valores se cita a menudo, pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicabilidad a los movimientos del precio de las acciones en parte porque estos son discontinuos.

Albert Einstein (en uno de sus artículos de 1905 ) y Marian Smoluchowski (1906) llamaron la atención de los físicos sobre la solución del problema y lo presentaron como una forma de confirmar indirectamente la existencia de átomos y moléculas. Sus ecuaciones que describen el movimiento browniano fueron posteriormente verificadas por el trabajo experimental de Jean Baptiste Perrin en 1908.

Teorías de la mecánica estadística

La teoría de Einstein

La teoría de Einstein consta de dos partes: la primera parte consiste en la formulación de una ecuación de difusión para partículas brownianas, en la que el coeficiente de difusión está relacionado con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte consiste en relacionar el coeficiente de difusión a cantidades físicas mensurables. De esta manera, Einstein pudo determinar el tamaño de los átomos y cuántos átomos hay en un mol, o el peso molecular en gramos, de un gas. De acuerdo con la ley de Avogadro , este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es de 22,414 litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se denomina número de Avogadro , y la determinación de este número equivale al conocimiento de la masa de un átomo, ya que este último se obtiene dividiendo la masa de un mol de gas por la constante de Avogadro .

Las características curvas en forma de campana de la difusión de partículas brownianas. La distribución comienza como una función delta de Dirac , lo que indica que todas las partículas están ubicadas en el origen en el tiempo t = 0. A medida que t aumenta, la distribución se aplana (aunque permanece en forma de campana) y finalmente se vuelve uniforme en el límite que pasa el tiempo. hasta el infinito.

La primera parte del argumento de Einstein fue determinar qué tan lejos viaja una partícula browniana en un intervalo de tiempo dado. La mecánica clásica es incapaz de determinar esta distancia debido a la enorme cantidad de bombardeos que sufrirá una partícula browniana, aproximadamente del orden de 10 14 colisiones por segundo.

Consideró el incremento de las posiciones de las partículas en el tiempo en un espacio unidimensional ( x ) (con las coordenadas elegidas para que el origen se encuentre en la posición inicial de la partícula) como una variable aleatoria ( ) con alguna función de densidad de probabilidad (es decir, es la densidad de probabilidad para un salto de magnitud , es decir, la densidad de probabilidad de la partícula que incrementa su posición de a en el intervalo de tiempo ). Además, asumiendo la conservación del número de partículas, expandió la densidad (número de partículas por unidad de volumen) en el tiempo en una serie de Taylor ,

donde la segunda igualdad en la primera línea es por definición de . La integral en el primer término es igual a uno por la definición de probabilidad, y el segundo y otros términos pares (es decir, el primer y otros momentos impares ) desaparecen debido a la simetría espacial. Lo que queda da lugar a la siguiente relación:

Donde el coeficiente después del Laplaciano , el segundo momento de probabilidad de desplazamiento , se interpreta como difusividad de masa D :

Entonces, la densidad de partículas brownianas ρ en el punto x en el tiempo t satisface la ecuación de difusión :

Suponiendo que N partículas parten del origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución

Esta expresión (que es una distribución normal con la media y la varianza generalmente llamada movimiento browniano ) permitió a Einstein calcular los momentos directamente. Se ve que el primer momento desaparece, lo que significa que es igualmente probable que la partícula browniana se mueva hacia la izquierda que hacia la derecha. El segundo momento, sin embargo, no desaparece, dado por

Esta ecuación expresa el desplazamiento cuadrático medio en términos del tiempo transcurrido y la difusividad. A partir de esta expresión, Einstein argumentó que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino más bien a su raíz cuadrada. Su argumento se basa en un cambio conceptual del "conjunto" de partículas brownianas a la partícula browniana "única": podemos hablar del número relativo de partículas en un solo instante así como del tiempo que tarda una partícula browniana en llegar a un punto determinado.

La segunda parte de la teoría de Einstein relaciona la constante de difusión con cantidades físicamente mensurables, como el desplazamiento cuadrático medio de una partícula en un intervalo de tiempo dado. Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y, por tanto, del tamaño de las moléculas. Einstein analizó el establecimiento de un equilibrio dinámico entre fuerzas opuestas. La belleza de su argumento es que el resultado final no depende de qué fuerzas intervienen en el establecimiento del equilibrio dinámico.

En su tratamiento original, Einstein consideró un experimento de presión osmótica , pero se puede llegar a la misma conclusión de otras formas.

Considere, por ejemplo, partículas suspendidas en un fluido viscoso en un campo gravitacional. La gravedad tiende a hacer que las partículas se asienten, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlas, llevándolas a regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad descendente de v = μmg , donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una partícula esférica con radio r es , donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de equilibrio dinámico, y bajo la hipótesis de fluido isotérmico, las partículas se distribuyen según la distribución barométrica

donde ρ - ρ o es la diferencia en la densidad de partículas separadas por una diferencia de altura, de , k B es la constante de Boltzmann (la relación de la constante universal de gas , R , a la constante de Avogadro, N A ), y T es la temperatura absoluta .

La distribución de equilibrio de las partículas de gamboge muestra la tendencia de los gránulos a moverse a regiones de menor concentración cuando se ven afectados por la gravedad.

El equilibrio dinámico se establece porque cuanto más las partículas son arrastradas hacia abajo por la gravedad , mayor es la tendencia de las partículas a migrar a regiones de menor concentración. El flujo viene dado por la ley de Fick ,

donde J = ρv . Introduciendo la fórmula para ρ , encontramos que

En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad también debe ser igual av = μmg . Ambas expresiones para v son proporcionales a mg , lo que refleja que la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. De manera similar, se puede derivar una fórmula equivalente para partículas cargadas idénticas de carga q en un campo eléctrico uniforme de magnitud E , donde mg se reemplaza con la fuerza electrostática qE . Al igualar estas dos expresiones se obtiene una fórmula para la difusividad, independiente de mg o qE u otras fuerzas similares:

Aquí, la primera igualdad se sigue de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera igualdad se sigue de la definición de la constante de Boltzmann como k B = R / N A , y la cuarta igualdad se sigue de la fórmula de Stokes para la movilidad. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio durante un intervalo de tiempo junto con la constante universal de gas R , la temperatura T , la viscosidad η y el radio de partícula r , se puede determinar la constante de Avogadro N A.

El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. JJ Thomson había señalado previamente en su serie de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903 que el equilibrio dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración dado por la ley de Fick y la velocidad debida a la variación de la presión parcial causada cuando los iones se ponen en movimiento "nos da un método para determinar la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis sobre la forma o el tamaño de las moléculas, o de la forma en que actúan unas sobre otras".

Walther Nernst también encontró una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión en 1888, en la que expresó el coeficiente de difusión como la relación entre la presión osmótica y la relación entre la fuerza de fricción y la velocidad a la que da lugar. La primera se equiparó a la ley de van 't Hoff, mientras que la segunda fue dada por la ley de Stokes . Escribe para el coeficiente de difusión k ' , donde es la presión osmótica yk es la relación entre la fuerza de fricción y la viscosidad molecular, que supone que está dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Al introducir la ley de los gases ideales por unidad de volumen para la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein. El uso de la ley de Stokes en el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable ya que no se aplica al caso donde el radio de la esfera es pequeño en comparación con el camino libre medio .

Al principio, las predicciones de la fórmula de Einstein fueron aparentemente refutadas por una serie de experimentos de Svedberg en 1906 y 1907, que arrojaron desplazamientos de las partículas de 4 a 6 veces el valor predicho, y por Henri en 1908 que encontró desplazamientos 3 veces mayores que La fórmula de Einstein predijo. Pero las predicciones de Einstein fueron finalmente confirmadas en una serie de experimentos llevados a cabo por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progreso empírico para la teoría cinética del calor . En esencia, Einstein demostró que el movimiento se puede predecir directamente a partir del modelo cinético de equilibrio térmico . La importancia de la teoría radica en el hecho de que confirma la explicación de la teoría cinética de la segunda ley de la termodinámica como una ley esencialmente estadística.

Modelo de movimiento browniano de la trayectoria de una partícula de tinte en agua.

Modelo Smoluchowski

La teoría de Smoluchowski del movimiento browniano parte de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ ( x , t ) para el desplazamiento de una partícula browniana a lo largo de la x en el tiempo t . Por lo tanto, obtiene la misma expresión para el desplazamiento cuadrático medio: . Sin embargo, cuando lo relaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidad que es el resultado de una fuerza de fricción gobernada por la ley de Stokes, encuentra

donde μ es el coeficiente de viscosidad y es el radio de la partícula. Al asociar la energía cinética con la energía térmica RT / N , la expresión del desplazamiento cuadrático medio es 64/27 veces la encontrada por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en su necrología sobre Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que difiere de Smoluchowski en 27/64 sólo puede ponerse en duda".

Smoluchowski intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debería ser desplazada por bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de golpearla hacia adelante y hacia atrás son iguales. Si la probabilidad de m ganancias y n  -  m pérdidas sigue una distribución binomial ,

con probabilidades iguales a priori de 1/2, la ganancia total media es

Si n es lo suficientemente grande para que la aproximación de Stirling pueda usarse en la forma

entonces la ganancia total esperada será

mostrando que aumenta como la raíz cuadrada de la población total.

Suponga que una partícula browniana de masa M está rodeada por partículas más ligeras de masa m que viajan a una velocidad u . Entonces, las razones Smoluchowski, en cualquier colisión entre un partículas circundantes y browniano, la velocidad transmitida a este último será mu / M . Esta relación es del orden de 10 −7  cm / s. Pero también tenemos que tener en cuenta que en un gas habrá más de 10 16 colisiones en un segundo, e incluso mayor en un líquido donde esperamos que haya 10 20 colisiones en un segundo. Algunas de estas colisiones tenderán a acelerar la partícula browniana; otros tenderán a desacelerarlo. Si hay un exceso medio de un tipo de colisión u otro del orden de 108 a 10 10 colisiones en un segundo, entonces la velocidad de la partícula browniana puede estar entre 10 y 1000 cm / s. Por lo tanto, aunque hay probabilidades iguales de colisiones hacia adelante y hacia atrás, habrá una tendencia neta a mantener la partícula browniana en movimiento, tal como predice el teorema de la balota.

Estos órdenes de magnitud no son exactos porque no toman en consideración la velocidad de la partícula browniana, U , que depende de las colisiones que tienden a acelerarla y desacelerarla. Cuanto mayor sea la U , mayores serán las colisiones que la retrasarán de modo que la velocidad de una partícula browniana nunca pueda aumentar sin límite. Si tal proceso ocurriera, equivaldría a un movimiento perpetuo del segundo tipo. Y puesto que la equipartición de la energía se aplica, la energía cinética de la partícula browniano , será igual, en promedio, a la energía cinética de la partícula de fluido circundante, .

En 1906 Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula en movimiento browniano. El modelo asume colisiones con M  ≫  m donde M es la masa de la partícula de prueba y m la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones de partículas se limitan a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula de prueba sea golpeada por la izquierda que por la derecha. Se supone también que cada colisión siempre imparte la misma magnitud de Δ V . Si N R es el número de colisiones de la derecha y N L el número de colisiones de la izquierda, después de N colisiones, la velocidad de la partícula habrá cambiado en Δ V (2 N R  -  N ). La multiplicidad es entonces simplemente dado por:

y el número total de estados posibles está dada por 2 N . Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula sea golpeada desde los N R tiempos correctos es:

Como resultado de su simplicidad, el modelo 1D de Smoluchowski solo puede describir cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula realista que experimenta un movimiento browniano en un fluido, muchas de las suposiciones no se aplican. Por ejemplo, la suposición de que en promedio ocurre un número igual de colisiones desde la derecha que desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento. Además, habría una distribución de diferentes Δ V s posibles en lugar de siempre solo uno en una situación realista.

Otros modelos de física que utilizan ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación de difusión arroja una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad asociada a la posición de la partícula sometida a un movimiento browniano según la definición física. La aproximación es válida en escalas de tiempo cortas .

La evolución temporal de la posición de la propia partícula browniana se describe mejor utilizando la ecuación de Langevin , una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula.

El desplazamiento de una partícula que experimenta un movimiento browniano se obtiene resolviendo la ecuación de difusión en condiciones de contorno adecuadas y encontrando los rms de la solución. Esto muestra que el desplazamiento varía como la raíz cuadrada del tiempo (no linealmente), lo que explica por qué los resultados experimentales previos relacionados con la velocidad de las partículas brownianas dieron resultados sin sentido. Se asumió incorrectamente una dependencia del tiempo lineal.

Sin embargo, en escalas de tiempo muy cortas, el movimiento de una partícula está dominado por su inercia y su desplazamiento dependerá linealmente del tiempo: Δ x = v Δ t . Entonces, la velocidad instantánea del movimiento browniano se puede medir como v = Δ x / Δ t , cuando Δ t << τ , donde τ es el tiempo de relajación del momento. En 2010, se midió con éxito la velocidad instantánea de una partícula browniana (una microesfera de vidrio atrapada en el aire con pinzas ópticas ). Los datos de velocidad verificaron la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann y el teorema de equipartición para una partícula browniana.

Astrofísica: movimiento de estrellas dentro de las galaxias

En la dinámica estelar , un cuerpo masivo (estrella, agujero negro , etc.) puede experimentar un movimiento browniano al responder a las fuerzas gravitacionales de las estrellas circundantes. La velocidad rms V del objeto masivo, de masa M , está relacionada con la velocidad rms de las estrellas de fondo por

donde está la masa de las estrellas de fondo. La fuerza gravitacional del objeto masivo hace que las estrellas cercanas a moverse más rápido de lo que lo haría, aumentando tanto y V . A partir de esta fórmula, se predice que la velocidad browniana de Sgr A * , el agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea , será inferior a 1 km s −1 .

Matemáticas

Un ejemplo animado de una caminata aleatoria en forma de movimiento browniano sobre un toro . En el límite de escala , la caminata aleatoria se aproxima al proceso de Wiener según el teorema de Donsker .

En matemáticas , el movimiento browniano se describe mediante el proceso de Wiener , un proceso estocástico de tiempo continuo llamado en honor a Norbert Wiener . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas, economía y física .

Una sola realización del movimiento browniano tridimensional para tiempos 0 ≤  t  ≤ 2

El proceso de Wiener W t se caracteriza por cuatro hechos:

  1. W 0 = 0
  2. Es casi seguro que W t sea continuo
  3. W t tiene incrementos independientes
  4. (para ).

denota la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ 2 . La condición de que tenga incrementos independientes significa que si entonces y son variables aleatorias independientes.

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la denominada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi con seguridad una martingala continua con W 0 = 0 y variación cuadrática .

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie sinusoidal cuyos coeficientes son variables aleatorias independientes . Esta representación se puede obtener mediante el teorema de Karhunen-Loève .

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de una caminata aleatoria u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que la caminata aleatoria, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindario fijo del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en las dimensiones tres y superiores. A diferencia del paseo aleatorio, es invariante en escala .

La evolución temporal de la posición de la propia partícula browniana se puede describir aproximadamente mediante una ecuación de Langevin , una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula browniana. En escalas de tiempo largas, el movimiento browniano matemático está bien descrito por una ecuación de Langevin. En escalas de tiempo pequeñas, los efectos inerciales prevalecen en la ecuación de Langevin. Sin embargo, el movimiento browniano matemático está exento de tales efectos inerciales. Los efectos inerciales deben considerarse en la ecuación de Langevin; de lo contrario, la ecuación se vuelve singular. de modo que simplemente eliminar el término de inercia de esta ecuación no produciría una descripción exacta, sino más bien un comportamiento singular en el que la partícula no se mueve en absoluto.

Estadísticas

El movimiento browniano se puede modelar mediante una caminata aleatoria. Los paseos aleatorios en medios porosos o fractales son anómalos.

En el caso general, el movimiento browniano es un proceso aleatorio que no es de Markov y se describe mediante ecuaciones integrales estocásticas .

Caracterización de Lévy

El matemático francés Paul Lévy demostró el siguiente teorema, que da una condición necesaria y suficiente para que un proceso estocástico continuo X valorado en R n sea ​​realmente un movimiento browniano n- dimensional. Por tanto, la condición de Lévy se puede utilizar como una definición alternativa del movimiento browniano.

Sea X  = ( X 1 , ...,  X n ) un proceso estocástico continuo en un espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ) tomando valores en R n . Entonces los siguientes son equivalentes:

  1. X es un movimiento browniano con respecto a P , es decir, la ley de X con respecto a P es la misma que la ley de un movimiento browniano n- dimensional, es decir, la medida de avance X ( P ) es la medida clásica de Wiener en C 0 ([0, + ∞); R n ).
  2. ambos
    1. X es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ); y
    2. para todo 1 ≤  ij  ≤  n , X i ( t ) X j ( t ) - δ ij t es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ), donde δ ij denota el delta de Kronecker .

Contenido espectral

El contenido espectral de un proceso estocástico se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia , definida formalmente como

,

donde representa el valor esperado . Se encuentra que la densidad espectral de potencia del movimiento browniano es

.

donde es el coeficiente de difusión de . Para las señales que ocurren naturalmente, el contenido espectral se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia de una sola realización, con un tiempo disponible finito, es decir,

,

que para una realización individual de una trayectoria de movimiento browniano, se encuentra que tiene un valor esperado

y varianza

.

Para tiempos de realización suficientemente largos, el valor esperado del espectro de potencia de una sola trayectoria converge a la densidad espectral de potencia definida formalmente , pero su coeficiente de variación tiende a hacerlo . Esto implica que la distribución de es amplia incluso en el límite de tiempo infinito.

Colector de Riemann

Movimiento browniano en una esfera

El generador infinitesimal (y, por tanto, el operador característico) de un movimiento browniano en R n se calcula fácilmente como ½Δ, donde Δ denota el operador de Laplace . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas, como la detección de manchas y bordes . Esta observación es útil para definir el movimiento browniano en una variedad riemanniana m -dimensional ( Mg ): un movimiento browniano en M se define como una difusión en M cuyo operador característico en las coordenadas locales x i , 1 ≤  i  ≤  m , es dado por ½Δ LB , donde Δ LB es el operador de Laplace-Beltrami dado en coordenadas locales por

donde [ g ij ] = [ g ij ] −1 en el sentido de la inversa de una matriz cuadrada .

Salvado por los pelos

El problema del escape estrecho es un problema omnipresente en biología, biofísica y biología celular que tiene la siguiente formulación: una partícula browniana ( ión , molécula o proteína ) está confinada a un dominio limitado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana por la que puede escapar. El problema de escape estrecho es el de calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se contrae, lo que convierte al cálculo en un problema de perturbación singular .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos