Incrementos independientes - Independent increments

En la teoría de la probabilidad , los incrementos independientes son una propiedad de los procesos estocásticos y las medidas aleatorias . La mayoría de las veces, un proceso o una medida aleatoria tiene incrementos independientes por definición, lo que subraya su importancia. Algunos de los procesos estocásticos que por definición poseen incrementos independientes son el proceso de Wiener , todos los procesos de Lévy , todo proceso aditivo y el proceso de punto de Poisson .

Definición de procesos estocásticos

Sea un proceso estocástico . En la mayoría de los casos, o . Entonces el proceso estocástico tiene incrementos independientes si y solo si para todas y cada una de las opciones con ${\ Displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in T}}$ ${\ Displaystyle T = \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle T = \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {m-1}, t_ {m} \ in T}$

{\ Displaystyle t_ {0} <t_ {1} <t_ {2} <\ dots <t_ {m}}

las variables aleatorias

{\ Displaystyle (X_ {t_ {1}} - X_ {t_ {0}}), (X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}), \ dots, (X_ {t_ {m}} -X_ {t_ {m-1}})}

son estocásticamente independientes .

Definición de medidas aleatorias

Una medida aleatoria tiene incrementos independientes si y solo si las variables aleatorias son estocásticamente independientes para cada selección de conjuntos medibles disjuntos por pares y cada . ${\ Displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle \ xi (B_ {1}), \ xi (B_ {2}), \ dots, \ xi (B_ {m})}$ ${\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ dots, B_ {m}}$ ${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$

Incrementos en S independientes

Sea una medida aleatoria en y defina para cada conjunto medible acotado la medida aleatoria en como ${\ Displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle S \ times T}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ xi _ {B}}$ ${\ Displaystyle T}$

{\ Displaystyle \ xi _ {B} (\ cdot): = \ xi (B \ times \ cdot)}

Entonces se denomina medida aleatoria con incrementos S independientes , si para todos los conjuntos acotados y todas las medidas aleatorias son independientes. ${\ Displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ dots, B_ {n}}$ ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ xi _ {B_ {1}}, \ xi _ {B_ {2}}, \ dots, \ xi _ {B_ {n}}}$

Solicitud

Los incrementos independientes son una propiedad básica de muchos procesos estocásticos y a menudo se incorporan en su definición. La noción de incrementos independientes y S-incrementos independientes de medidas aleatorias juega un papel importante en la caracterización del proceso de puntos de Poisson y la divisibilidad infinita.

Referencias

^ Sato, Ken-Ito (1999). Procesos Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
^ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pags. 190. doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pags. 527. doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pags. 87. doi : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[1] Sato, Ken-Ito (1999). Procesos Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.

[Klenke190-2] Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pags. 190. doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke527-3] Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pags. 527. doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg87-4] Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pags. 87. doi : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

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