Movimiento browniano geométrico - Geometric Brownian motion

Un movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial ) es un proceso estocástico de tiempo continuo en el que el logaritmo de la cantidad variable aleatoriamente sigue un movimiento browniano (también llamado proceso de Wiener ) con deriva . Es un ejemplo importante de procesos estocásticos que satisfacen una ecuación diferencial estocástica (SDE); en particular, se utiliza en finanzas matemáticas para modelar los precios de las acciones en el modelo Black-Scholes .

Definición técnica: la SDE

Se dice que un proceso estocástico S _t sigue un GBM si satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica (SDE):

{\ Displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t}}

donde es un proceso de Wiener o movimiento browniano , y ('el porcentaje de desviación') y ('el porcentaje de volatilidad') son constantes. ${\ Displaystyle W_ {t}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$

El primero se usa para modelar tendencias deterministas, mientras que el último término se usa a menudo para modelar un conjunto de eventos impredecibles que ocurren durante este movimiento.

Resolviendo el SDE

Para un valor inicial arbitrario S _0, el SDE anterior tiene la solución analítica (según la interpretación de Itô ):

{\ Displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t + \ sigma W_ {t} \ right ).}

La derivación requiere el uso del cálculo de Itô . Aplicar la fórmula de Itô conduce a

{\ Displaystyle d (\ ln S_ {t}) = (\ ln S_ {t}) 'dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} (\ ln S_ {t})' '\, dS_ {t} \, dS_ {t} = {\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} - {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {1} {S_ {t} ^ {2}}} \, dS_ {t} \, dS_ {t}}

donde es la variación cuadrática de la SDE. ${\ Displaystyle dS_ {t} \, dS_ {t}}$

{\ Displaystyle dS_ {t} \, dS_ {t} \, = \, \ sigma ^ {2} \, S_ {t} ^ {2} \, dW_ {t} ^ {2} +2 \ sigma S_ { t} ^ {2} \ mu \, dW_ {t} \, dt + \ mu ^ {2} S_ {t} ^ {2} \, dt ^ {2}}

Cuando , converge a 0 más rápido que , desde . Entonces, el infinitesimal anterior se puede simplificar mediante ${\ displaystyle dt \ to 0}$ ${\ displaystyle dt}$ ${\ Displaystyle dW_ {t}}$ ${\ Displaystyle dW_ {t} ^ {2} = O (dt)}$

{\ Displaystyle dS_ {t} \, dS_ {t} \, = \, \ sigma ^ {2} \, S_ {t} ^ {2} \, dt}

Reemplazando el valor de en la ecuación anterior y simplificando obtenemos ${\ displaystyle dS_ {t}}$

{\ Displaystyle \ ln {\ frac {S_ {t}} {S_ {0}}} = \ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \, \ right) t + \ sigma W_ {t} \ ,.}

Tomando el exponencial y multiplicando ambos lados por da la solución reclamada arriba. ${\ Displaystyle S_ {0}}$

Propiedades

La solución anterior (para cualquier valor de t) es una variable aleatoria de distribución logarítmica normal con el valor esperado y la varianza dados por ${\ Displaystyle S_ {t}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} (S_ {t}) = S_ {0} e ^ {\ mu t},}

{\ Displaystyle \ operatorname {Var} (S_ {t}) = S_ {0} ^ {2} e ^ {2 \ mu t} \ left (e ^ {\ sigma ^ {2} t} -1 \ right) .}

Se pueden derivar usando el hecho de que es una martingala , y que ${\ Displaystyle Z_ {t} = \ exp \ left (\ sigma W_ {t} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t \ right)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ exp \ left (2 \ sigma W_ {t} - \ sigma ^ {2} t \ right) \ mid {\ mathcal {F}} _ {s} \ right] = e ^ {\ sigma ^ {2} (ts)} \ exp \ left (2 \ sigma W_ {s} - \ sigma ^ {2} s \ right), \ quad \ forall 0 \ leq s <t.}

La función de densidad de probabilidad de es: ${\ Displaystyle S_ {t}}$

{\ Displaystyle f_ {S_ {t}} (s; \ mu, \ sigma, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ frac {1} {s \ sigma {\ sqrt {t}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {\ left (\ ln s- \ ln S_ {0} - \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}) } \ sigma ^ {2} \ right) t \ right) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} t}} \ right).}

Derivación de la función de densidad de probabilidad GBM

Para derivar la función de densidad de probabilidad para GBM, debemos usar la ecuación de Fokker-Planck para evaluar la evolución temporal de la PDF:

{\ Displaystyle {\ parcial p \ sobre {\ parcial t}} + {\ parcial \ sobre {\ parcial S}} [\ mu (t, S) p (t, S)] = {1 \ sobre {2} } {\ parcial ^ {2} \ over {\ parcial S ^ {2}}} [\ sigma ^ {2} (t, S) p (t, S)], \ quad p (0, S) = \ delta (S)}

donde está la función delta de Dirac . Para simplificar el cálculo, podemos introducir una transformada logarítmica , que conduce a la forma de GBM: ${\ Displaystyle \ delta (S)}$ ${\ Displaystyle x = \ log (S / S_ {0})}$

{\ Displaystyle dx = \ left (\ mu - {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) dt + \ sigma dW}

Entonces, la ecuación de Fokker-Planck equivalente para la evolución del PDF se convierte en:

{\ Displaystyle {\ Particular P \ Over {\ Particular T}} + \ left (\ mu - {1 \ Over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) {\ Particular p \ Over {\ Particular x} } = {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} {\ partial ^ {2} p \ over {\ partial x ^ {2}}}, \ quad p (0, x) = \ delta (x )}

Defina y . Al introducir las nuevas variables y , las derivadas en la ecuación de Fokker-Planck se pueden transformar como: ${\ Displaystyle V = \ mu - \ sigma ^ {2} / 2}$ ${\ Displaystyle D = \ sigma ^ {2} / 2}$ ${\ Displaystyle \ xi = x-Vt}$ ${\ Displaystyle \ tau = Dt}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ parcial _ {t} p & = D \ parcial _ {\ tau} pV \ parcial _ {\ xi} p \\\ parcial _ {x} p & = \ parcial _ {\ xi } p \\\ parcial _ {x} ^ {2} p & = \ parcial _ {\ xi} ^ {2} p \ end {alineado}}}

Conduciendo a la nueva forma de la ecuación de Fokker-Planck:

{\ displaystyle {\ parcial p \ sobre {\ parcial \ tau}} = {\ parcial ^ {2} p \ sobre {\ parcial \ xi ^ {2}}}, \ quad p (0, \ xi) = \ delta (\ xi)}

Sin embargo, esta es la forma canónica de la ecuación de calor . que tiene la solución dada por el núcleo de calor :

{\ Displaystyle p (\ tau, \ xi) = {1 \ over {\ sqrt {4 \ pi \ tau}}} \ exp \ left (- {\ xi ^ {2} \ over {4 \ tau}} \ derecho)}

Conectar las variables originales conduce al PDF para GBM:

{\ Displaystyle p (t, S) = {1 \ over {S {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2} t}}}} \ exp \ left \ {- {\ left [\ log (S / S_ {0}) - \ left (\ mu - {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) t \ right] ^ {2} \ over {2 \ sigma ^ {2} t}} \derecho\}}

Al derivar otras propiedades de GBM, se puede hacer uso de la SDE de la cual GBM es la solución, o se puede usar la solución explícita dada anteriormente. Por ejemplo, considere el registro de proceso estocástico ( S _t ). Este es un proceso interesante, porque en el modelo de Black-Scholes está relacionado con el retorno logarítmico del precio de las acciones. Usando el lema de Itô con f ( S ) = log ( S ) da

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {2} d \ log (S) & = f '(S) \, dS + {\ frac {1} {2}} f' '(S) S ^ {2} \ sigma ^ {2} \, dt \\ [6pt] & = {\ frac {1} {S}} \ left (\ sigma S \, dW_ {t} + \ mu S \, dt \ right) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \, dt \\ [6pt] & = \ sigma \, dW_ {t} + (\ mu - \ sigma ^ {2} / 2) \, dt. \ end {alineado}}}

Sigue eso . ${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ log (S_ {t}) = \ log (S_ {0}) + (\ mu - \ sigma ^ {2} / 2) t}$

Este resultado también se puede derivar aplicando el logaritmo a la solución explícita de GBM:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} \ log (S_ {t}) & = \ log \ left (S_ {0} \ exp \ left (\ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}} \ right) t + \ sigma W_ {t} \ right) \ right) \\ [6pt] & = \ log (S_ {0}) + \ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t + \ sigma W_ {t}. \ end {alignedat}}}

Tomando la expectativa da el mismo resultado que el anterior: . ${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ log (S_ {t}) = \ log (S_ {0}) + (\ mu - \ sigma ^ {2} / 2) t}$

Simular rutas de muestra

# Python code for the plot

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu = 1
n = 50
dt = 0.1
x0 = 100
np.random.seed(1)

sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)

x = np.exp(
    (mu - sigma ** 2 / 2) * dt
    + sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(len(sigma), n)).T
)
x = np.vstack([np.ones(len(sigma)), x])
x = x0 * x.cumprod(axis=0)

plt.plot(x)
plt.legend(np.round(sigma, 2))
plt.xlabel("$t$")
plt.ylabel("$x$")
plt.title(
    "Realizations of Geometric Brownian Motion with different variances\n $\mu=1$"
)
plt.show()

Versión multivariante

GBM puede extenderse al caso en el que existen múltiples trayectorias de precios correlacionadas.

Cada ruta de precios sigue el proceso subyacente

{\ Displaystyle dS_ {t} ^ {i} = \ mu _ {i} S_ {t} ^ {i} \, dt + \ sigma _ {i} S_ {t} ^ {i} \, dW_ {t} ^ {I},}

donde los procesos de Wiener están correlacionados tal que donde . ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (dW_ {t} ^ {i} \, dW_ {t} ^ {j}) = \ rho _ {i, j} \, dt}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {i, i} = 1}$

Para el caso multivariado, esto implica que

{\ Displaystyle \ operatorname {Cov} (S_ {t} ^ {i}, S_ {t} ^ {j}) = S_ {0} ^ {i} S_ {0} ^ {j} e ^ {(\ mu _ {i} + \ mu _ {j}) t} \ left (e ^ {\ rho _ {i, j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} t} -1 \ right).}

Uso en finanzas

El movimiento browniano geométrico se utiliza para modelar los precios de las acciones en el modelo Black-Scholes y es el modelo más utilizado de comportamiento del precio de las acciones.

Algunos de los argumentos para usar GBM para modelar los precios de las acciones son:

Los rendimientos esperados de GBM son independientes del valor del proceso (precio de las acciones), lo que concuerda con lo que esperaríamos en la realidad.
Un proceso de GBM solo asume valores positivos, al igual que los precios reales de las acciones.
Un proceso de GBM muestra el mismo tipo de "aspereza" en sus trayectorias que vemos en los precios reales de las acciones.
Los cálculos con procesos GBM son relativamente fáciles.

Sin embargo, GBM no es un modelo completamente realista, en particular, se queda corto de la realidad en los siguientes puntos:

En los precios reales de las acciones, la volatilidad cambia con el tiempo (posiblemente estocásticamente ), pero en GBM, se supone que la volatilidad es constante.
En la vida real, los precios de las acciones a menudo muestran saltos causados por eventos o noticias impredecibles, pero en GBM, el camino es continuo (sin discontinuidad).

Extensiones

En un intento por hacer que GBM sea más realista como modelo para los precios de las acciones, se puede descartar la suposición de que la volatilidad ( ) es constante. Si asumimos que la volatilidad es una función determinista del precio y el tiempo de las acciones, esto se denomina modelo de volatilidad local . Si, en cambio, asumimos que la volatilidad tiene una aleatoriedad propia, a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por un movimiento browniano diferente, el modelo se denomina modelo de volatilidad estocástico . ${\ Displaystyle \ sigma}$

Ver también

Superficie browniana

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