Espacio de secuencia - Sequence space

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de secuencia es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el campo K de números reales o complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas con elementos en K , y puede convertirse en un espacio vectorial bajo las operaciones desuma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma , o al menos la estructura de un espacio vectorial topológico .

Las mayoría de los espacios de secuencias importantes en el análisis son los l ^p espacios, que consiste en la p -power secuencias sumable, con el p -norma. Estos son casos especiales de espacios L ^p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias, como las secuencias convergentes o las secuencias nulas, forman espacios de secuencia, denominados respectivamente c y c ₀ , con la norma sup . Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .

Definición

Una secuencia en un conjunto es solo un mapa valorado cuyo valor en se denota por en lugar de la notación habitual entre paréntesis${\ Displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle x (n).}$

Espacio de todas las secuencias

Vamos a denotar el campo cualquiera de los números reales o complejos. El producto denota el conjunto de todas las secuencias de escalares en Este conjunto puede convertirse en un espacio vectorial cuando la suma de vectores está definida por ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}.}$

${\ Displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} + \ left (y_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ stackrel { \ rm {def}} {=}} \ left (x_ {n} + y_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

y la multiplicación escalar se define por

${\ Displaystyle \ alpha \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} \ left (\ alpha x_ {n} \ derecha) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}$

Un espacio de secuencia es cualquier subespacio lineal de${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$

Como espacio topológico, está naturalmente dotado de la topología del producto . Bajo esta topología, está Fréchet , lo que significa que es un espacio vectorial topológico (TVS) completo , metrizable y localmente convexo . Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no hay normas continuas sobre (y, por lo tanto, la topología del producto no puede definirse por ninguna norma ). Entre los espacios de Fréchet, es mínimo al no tener normas continuas: ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Pero la topología del producto también es inevitable: no admite una topología localmente convexa de Hausdorff estrictamente más tosca . Por ello, el estudio de secuencias comienza por encontrar un subespacio lineal estricto de interés, y dotándolo de una topología diferente a la topología del subespacio . ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

ℓ ^p espacios

Porque es el subespacio formado por todas las secuencias que satisfacen ${\ Displaystyle 0 <p <\ infty,}$ ${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n} | x_ {n} | ^ {p} <\ infty.}$

Si entonces la operación de valor real definida por ${\ Displaystyle p \ geq 1,}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {n} | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$

define una norma sobre De hecho, es un espacio métrico completo con respecto a esta norma, y ​​por tanto es un espacio de Banach . ${\ Displaystyle \ ell ^ {p}.}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$

Si entonces no lleva una norma, sino una métrica definida por ${\ Displaystyle 0 <p <1,}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$

${\ Displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n} \ left | x_ {n} -y_ {n} \ right | ^ {p}. \,}$

Si entonces se define como el espacio de todas las secuencias acotadas dotadas de la norma ${\ Displaystyle p = \ infty,}$${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {n} | x_ {n} |,}$

${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ es también un espacio de Banach.

c , c ₀ y c ₀₀

El espacio de sucesiones convergentes c es un espacio de sucesiones. Consiste en todo lo que lim _{n → ∞} x _n existe. Como toda secuencia convergente está acotada, c es un subespacio lineal de . Es, además, un subespacio cerrado con respecto a la norma del infinito y, por tanto, un espacio de Banach por derecho propio. ${\ Displaystyle x _ {\ bullet} \ in \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

El subespacio de secuencias nulas c ₀ consta de todas las secuencias cuyo límite es cero. Este es un subespacio cerrado de c , y de nuevo un espacio de Banach.

El subespacio de las secuencias eventualmente cero c ₀₀ consta de todas las secuencias que tienen sólo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado y por lo tanto no es un espacio de Banach (con respecto a la norma de infinito). Por ejemplo, la secuencia donde para las primeras entradas (para ) y es cero en cualquier otro lugar (es decir ) es Cauchy , pero no converge a una secuencia en c ₀₀ . ${\ Displaystyle \ left (x_ {nk} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle x_ {nk} = 1 / k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k = 1, \ ldots, n}$${\ Displaystyle \ left (x_ {nk} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} = \ left (1,1 / 2, \ ldots, 1 / (n-1), 1 / n, 0 , 0, \ ldots \ right)}$

Espacio de todas las secuencias finitas

Dejar

${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty} = \ left \ {\ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right) \ in \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N} }: {\ text {todos menos un número finito}} x_ {i} {\ text {equal}} 0 \ right \}}$,

denotar el espacio de sucesiones finitas sobre . Como espacio vectorial, es igual a , pero tiene una topología diferente. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle c_ {00}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$

Para cada número natural , dejar que denotan el habitual espacio euclidiano dotado de la topología euclidiana y dejar que denotan la inclusión canónica ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}}: \ mathbb {K} ^ {n} \ to \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0, \ ldots \ right)}$.

La imagen de cada inclusión es

${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right) = \ left \ {\ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }, 0,0, \ ldots \ right): x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in \ mathbb {K} \ right \} = \ mathbb {K} ^ {n} \ times \ left \ {(0,0, \ ldots) \ right \}}$

y consecuentemente,

${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n }}\Derecha).}$

Esta familia de inclusiones proporciona una topología final , definida como la topología más fina en la que todas las inclusiones son continuas (un ejemplo de una topología coherente ). Con esta topología, se convierte en una completa , Hausdorff , localmente convexa , secuencial , espacio topológico vectorial que es no Fréchet-Urysohn . La topología también es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida por . ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

La convergencia en tiene una descripción natural: si y es una secuencia en entonces en si y solo eventualmente está contenido en una sola imagen y bajo la topología natural de esa imagen. ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle v \ in \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$${\ Displaystyle \ tau ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ Displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$

A menudo, cada imagen se identifica con la correspondiente ; explícitamente, los elementos y están identificados. Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología del subespacio , la topología del cociente del mapa y la topología euclidiana coinciden. Con esta identificación, es el límite directo del sistema dirigido donde cada inclusión agrega ceros finales: ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0,0, \ ldots \ right)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ left (\ left (\ mathbb {K} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ right), \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n} } \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ right)}$${\ Displaystyle \ left (\ left (\ mathbb {K} ^ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}, \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ { m} \ to \ mathbb {K} ^ {n}} \ right) _ {m \ leq n \ in \ mathbb {N}}, \ mathbb {N} \ right),}$

${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {m} \ to \ mathbb {K} ^ {n}} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \ right) = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, 0, \ ldots, 0 \ right)}$.

Esto demuestra es una LB-espacio . ${\ Displaystyle \ left (\ mathbb {K} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ right)}$

Otros espacios de secuencia

El espacio de series acotadas , denotado por bs , es el espacio de sucesiones para las cuales ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ sup _ {n} \ left \ vert \ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right \ vert <\ infty.}$

Este espacio, cuando está equipado con la norma.

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ left \ vert \ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right \ vert,}$

es un espacio de Banach isométricamente isomórfico a través del mapeo lineal${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty},}$

${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}$

El subespacio cs que consta de todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio c bajo este isomorfismo.

El espacio Φ o se define como el espacio de todas las secuencias infinitas con solo un número finito de términos distintos de cero (secuencias con soporte finito ). Este conjunto es denso en muchos espacios de secuencia. ${\ Displaystyle c_ {00}}$

Propiedades de los espacios ℓ ^p y el espacio c ₀

El espacio ℓ ² es el único espacio ℓ ^p que es un espacio de Hilbert , ya que cualquier norma inducida por un producto interno debe satisfacer la ley del paralelogramo

${\ Displaystyle \ | x + y \ | _ {p} ^ {2} + \ | xy \ | _ {p} ^ {2} = 2 \ | x \ | _ {p} ^ {2} +2 \ | y \ | _ {p} ^ {2}.}$

Sustituyendo dos vectores unitarios distintos para x y Y directamente muestra que la identidad no es cierto a menos que p  = 2.

Cada ℓ ^p es distinto, ya que ℓ ^p es un subconjunto estricto de ℓ ^s siempre que p  <  s ; además, ℓ ^p no es linealmente isomorfo a ℓ ^s cuando  p  ≠  s . De hecho, según el teorema de Pitt ( Pitt 1936 ), todo operador lineal acotado de ℓ ^sa ℓ ^p es compacto cuando p  <  s . Ningún operador de este tipo puede ser un isomorfismo; y además, no puede ser un isomorfismo en ningún subespacio de dimensión infinita de ℓ ^s , por lo que se dice que es estrictamente singular .

Si 1 <  p  <∞, entonces el espacio dual (continuo) de ℓ ^p es isométricamente isomorfo a ℓ ^q , donde q es el conjugado de Hölder de p : 1 / p  + 1 / q  = 1. El isomorfismo específico se asocia a un elemento x de ℓ ^q el funcional

${\ Displaystyle L_ {x} (y) = \ sum _ {n} x_ {n} y_ {n}}$

para y en ℓ ^p . La desigualdad de Hölder implica que L _x es una funcional lineal acotada en ℓ ^p , y de hecho

${\ Displaystyle | L_ {x} (y) | \ leq \ | x \ | _ {q} \, \ | y \ | _ {p}}$

para que la norma del operador satisfaga

${\ Displaystyle \ | L_ {x} \ | _ {(\ ell ^ {p}) ^ {*}} {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} \ sup _ {y \ in \ ell ^ {p}, y \ not = 0} {\ frac {| L_ {x} (y) |} {\ | y \ | _ {p}}} \ leq \ | x \ | _ {q}.}$

De hecho, tomando y como el elemento de ℓ ^p con

${\ Displaystyle y_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ rm {{if} \ x_ {n} = 0}} \\ x_ {n} ^ {- 1} | x_ {n} | ^ { q} & {\ rm {{if} \ x_ {n} \ not = 0}} \ end {cases}}}$

da L _x ( y ) = || x || _q , de modo que de hecho

${\ Displaystyle \ | L_ {x} \ | _ {(\ ell ^ {p}) ^ {*}} = \ | x \ | _ {q}.}$

Por el contrario, dado un L funcional lineal acotado en ℓ ^p , la secuencia definida por x _n  = L ( e _n ) se encuentra en ℓ ^q . Por lo tanto, el mapeo da una isometría ${\ Displaystyle x \ mapsto L_ {x}}$

${\ Displaystyle \ kappa _ {q}: \ ell ^ {q} \ to (\ ell ^ {p}) ^ {*}.}$

El mapa

${\ Displaystyle \ ell ^ {q} {\ xrightarrow {\ kappa _ {q}}} (\ ell ^ {p}) ^ {*} {\ xrightarrow {(\ kappa _ {q} ^ {*}) ^ {-1}}}}$

obtenido al componer κ _p con la inversa de su transpuesta coincide con la inyección canónica de ℓ ^q en su doble dual . Como consecuencia, ℓ ^q es un espacio reflexivo . Por abuso de notación , es típico identificar ℓ ^q con el dual de ℓ ^p : (ℓ ^p ) ^*  = ℓ ^q . Entonces, la reflexividad se entiende por la secuencia de identificaciones (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

El espacio c ₀ se define como el espacio de todas las sucesiones que convergen a cero, con norma idéntica a || x || _∞ . Es un subespacio cerrado de ℓ ^∞ , por lo tanto, un espacio de Banach. El dual de c ₀ es ℓ ¹ ; el dual de ℓ ¹ es ℓ ^∞ . Para el caso de números de conjunto de índices natural, la ℓ ^p y c ₀ son separable , con la única excepción de ℓ ^∞ . El dual de ℓ ^∞ es el espacio ba .

Los espacios c ₀ y ℓ ^p (para 1 ≤ p  <∞) tienen una base de Schauder canónica incondicional { e _i  | i  = 1, 2, ...}, donde e _i es la secuencia que es cero pero para un 1 en la i- ^ésima entrada.

El espacio ℓ ¹ tiene la propiedad de Schur : En ℓ ¹ , cualquier secuencia que sea débilmente convergente también es fuertemente convergente ( Schur 1921 ). Sin embargo, dado que la topología débil en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la topología fuerte , hay redes en ℓ ¹ que son convergentes débiles pero no convergentes fuertes.

Los espacios ℓ ^p se pueden incrustar en muchos espacios de Banach . La pregunta de si todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene un isomorfo de algún ℓ ^p o de c ₀ , fue respondida negativamente por la construcción de BS Tsirelson del espacio de Tsirelson en 1974. El enunciado dual, que cada espacio de Banach separable es linealmente isométrico a un espacio de cociente de ℓ ¹ , fue respondida afirmativamente por Banach & Mazur (1933) . Es decir, para cada espacio de Banach separable X , existe un mapa de cociente , de modo que X es isomorfo a . En general, ker Q no se complementa en ℓ ¹ , es decir, no existe un subespacio Y de ℓ ¹ tal que . De hecho, ℓ ¹ tiene incontables subespacios no complementados que no son isomórficos entre sí (por ejemplo, tome ; dado que hay incontables X de este tipo, y dado que ningún ℓ ^p es isomórfico a ningún otro, hay innumerables ker Q 's). ${\ Displaystyle Q: \ ell ^ {1} \ to X}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1} / \ ker Q}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1} = Y \ oplus \ ker Q}$${\ Displaystyle X = \ ell ^ {p}}$

Excepto por el caso trivial de dimensión finita, una característica inusual de ℓ ^p es que no es polinomialmente reflexiva .

ℓ ^p espacios aumentan en p

Para , los espacios están aumentando en , siendo el operador de inclusión continuo: para , uno tiene . ${\ Displaystyle p \ in [1, \ infty]}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle 1 \ leq p <q \ leq \ infty}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {q} \ leq \ | f \ | _ {p}}$

Esto se sigue de definir para y señalar que para todos , lo que se puede demostrar que implica . ${\ Displaystyle F: = {\ frac {f} {\ | f \ | _ {p}}}}$${\ Displaystyle f \ in \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle | F (m) | \ leq 1}$${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ | F \ | _ {q} ^ {q} \ leq 1}$

Propiedades de ℓ ¹ espacios

Una secuencia de elementos en ℓ ¹ converge en el espacio de secuencias complejas ℓ ¹ si y solo si converge débilmente en este espacio. Si K es un subconjunto de este espacio, los siguientes son equivalentes:

1. K es compacto;
2. K es débilmente compacto;
3. K está acotado, cerrado y equispequeño en el infinito.

Aquí, siendo K equispequeño en el infinito, significa que para todos , existe un número natural tal que para todos . ${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle n _ {\ epsilon} \ geq 0}$${\ textstyle \ sum _ {n = n _ {\ epsilon}} ^ {\ infty} | s_ {n} | <\ epsilon}$${\ Displaystyle s = \ left (s_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} \ in K}$

Ver también

• L ^p espacio
• Espacio Tsirelson
• espacio beta-dual
• Espacio de secuencia de Orlicz

Referencias

Bibliografía

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100-112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen I , Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Pitt, HR (1936), "Una nota sobre formas bilineales", J. London Math. Soc. , 11 (3): 174–180, doi : 10.1112 / jlms / s1-11.3.174.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79-111, doi : 10.1515 / crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .