Medida de conteo - Counting measure

En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto : el "tamaño" de un subconjunto se toma como el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos, y ∞ si el subconjunto es infinito .

La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio medible (es decir, cualquier conjunto junto con un sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables . ${\ Displaystyle X}$

En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de como sigma-álgebra , es decir, todos los subconjuntos de son medibles. Entonces, la medida de conteo en este espacio medible es la medida positiva definida por ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ Displaystyle \ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]}$

${\ Displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} \ vert A \ vert & {\ text {if}} A {\ text {es finito}} \\ + \ infty & {\ text {if}} Un {\ text {es infinito}} \ end {cases}}}$

para todos , donde denota la cardinalidad del conjunto . ${\ Displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle \ vert A \ vert}$${\ Displaystyle A}$

La medida de conteo es σ-finita si y solo si el espacio es contable . ${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ Displaystyle X}$

Discusión

La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función define una medida en vía ${\ Displaystyle f \ colon X \ to [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$

${\ Displaystyle \ mu (A): = \ sum _ {a \ in A} f (a) \ quad \ forall A \ subseteq X,}$

donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas sobre todos los subconjuntos finitos, es decir,

${\ Displaystyle \ sum _ {y \, \ in \, Y \! \ \ subseteq \, \ mathbb {R}} y \: = \ \ sup _ {F \ subseteq Y, \, | F | <\ infty } \ left \ {\ sum _ {y \ in F} y \ right \}.}$

Tomando f ( x ) = 1 para todo x en X da la medida de conteo.

Referencias