Topología euclidiana - Euclidean topology

En matemáticas, y especialmente en topología general , la topología euclidiana es la topología natural inducida por el espacio euclidiano en dimensión por la métrica euclidiana . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Definición

En cualquier espacio métrico , las bolas abiertas forman una base para una topología en ese espacio. La topología euclidiana es entonces simplemente la topología generada por estas bolas. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana en están dados por uniones (arbitrarias) de las bolas abiertas definidas como , para todo real y todo donde es la métrica euclidiana. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ Displaystyle B_ {r} (p): = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: d (p, x) <r \ right \}}$ ${\ Displaystyle r> 0}$ ${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle d}$

Propiedades

Cuando está dotado de esta topología, la línea real es un espacio T ₅ . Dados dos subconjuntos digamos y de con donde denota el cierre de existen conjuntos abiertos y con y tal que ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {A}} \ cap B = A \ cap {\ overline {B}} = \ varnothing,}$ ${\ Displaystyle {\ overline {A}}}$ ${\ Displaystyle A,}$ ${\ Displaystyle S_ {A}}$ ${\ Displaystyle S_ {B}}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq S_ {A}}$ ${\ Displaystyle B \ subseteq S_ {B}}$ ${\ Displaystyle S_ {A} \ cap S_ {B} = \ varnothing.}$