Producto (matemáticas) - Product (mathematics)
Operaciones aritmeticas | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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En matemáticas , un producto es el resultado de una multiplicación o una expresión que identifica los factores que se van a multiplicar. Por ejemplo, 30 es el producto de 6 y 5 (el resultado de la multiplicación), y es el producto de y (lo que indica que los dos factores deben multiplicarse juntos).
El orden en que se multiplican los números reales o complejos no influye en el producto; esto se conoce como la ley conmutativa de la multiplicación. Cuando se multiplican matrices o miembros de varias otras álgebras asociativas , el producto generalmente depende del orden de los factores. La multiplicación de matrices , por ejemplo, no es conmutativa, al igual que la multiplicación en otras álgebras en general.
Hay muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar solo números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos en muchas estructuras algebraicas diferentes .
Producto de dos números
Producto de dos números naturales
Colocar varias piedras en un patrón rectangular con filas y columnas da
piedras.
Producto de dos enteros
Los enteros permiten números positivos y negativos. Su producto está determinado por el producto de sus cantidades positivas, combinado con el signo derivado de la siguiente regla:
(Esta regla es una consecuencia necesaria de exigir la distributividad de la multiplicación sobre la suma, y no es una regla adicional ).
En palabras, tenemos:
- Menos veces Menos da más
- Minus times Plus da Minus
- Plus times Minus da Minus
- Plus times Plus da Plus
Producto de dos fracciones
Se pueden multiplicar dos fracciones multiplicando sus numeradores y denominadores:
Producto de dos números reales
Para obtener una definición rigurosa del producto de dos números reales, consulte Construcción de números reales .
- Fórmulas
Teorema : suponga que a > 0 y b > 0 . Si 1 < p <∞ y q : = pag/p - 1 luego
- ab = t p a p/pag + t - q b q/q.
Defina una función de valor real f sobre los números reales positivos mediante
- f ( t ): =t p a p/pag + t - q b q/q
para cada t > 0 y luego calcule su mínimo.
Producto de dos números complejos
Dos números complejos se pueden multiplicar por la ley distributiva y el hecho de que , de la siguiente manera:
Significado geométrico de la multiplicación compleja
Los números complejos se pueden escribir en coordenadas polares :
Es más,
de donde se obtiene
El significado geométrico es que las magnitudes se multiplican y los argumentos se suman.
Producto de dos cuaterniones
El producto de dos cuaterniones se puede encontrar en el artículo sobre cuaterniones . Tenga en cuenta, en este caso, que y en general son diferentes.
Producto de una secuencia
El operador de producto para el producto de una secuencia se denota con la letra griega mayúscula pi Π (en analogía con el uso de la sigma mayúscula Σ como símbolo de suma ). Por ejemplo, la expresión es otra forma de escribir .
El producto de una secuencia que consta de un solo número es solo ese número; el producto de ningún factor se conoce como producto vacío y es igual a 1.
Anillos conmutativos
Los anillos conmutativos tienen una operación de producto.
Clases de residuos de enteros
Se pueden agregar clases de residuos en los anillos :
y multiplicado:
Circunvolución
Dos funciones de los reales a sí mismos se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución .
Si
entonces la integral
está bien definido y se llama convolución.
Bajo la transformada de Fourier , la convolución se convierte en una multiplicación de funciones puntuales.
Anillos polinomiales
El producto de dos polinomios viene dado por lo siguiente:
con
Productos en álgebra lineal
Hay muchos tipos diferentes de productos en álgebra lineal. Algunos de estos tienen nombres confusamente similares ( producto exterior , producto exterior ) con significados muy diferentes, mientras que otros tienen nombres muy diferentes (producto exterior, producto tensor, producto Kronecker) y, sin embargo, transmiten esencialmente la misma idea. En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción de estos.
Multiplicación escalar
Por la propia definición de un espacio vectorial, uno puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando un mapa .
Producto escalar
Un producto escalar es un mapa bi-lineal:
con las siguientes condiciones, eso para todos .
A partir del producto escalar, se puede definir una norma dejando .
El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:
En el espacio euclidiano -dimensional, el producto escalar estándar (llamado el producto escalar ) está dada por:
Producto cruzado en un espacio tridimensional
El producto cruzado de dos vectores en 3 dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo generado por los dos factores.
El producto cruzado también se puede expresar como determinante formal :
Composición de mapeos lineales
Un mapeo lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con el campo subyacente F , satisfaciendo
Si solo se consideran los espacios vectoriales de dimensión finita, entonces
donde b V y b W denotan las bases de V y W , y v i denota la componente de v en b V i , y se aplica la convención de suma de Einstein .
Ahora consideramos la composición de dos mapeos lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Deje que la aplicación lineal f mapa V a W , y dejar que el lineal de mapeo g mapa W a U . Entonces uno puede conseguir
O en forma de matriz:
en el que el elemento i -fila, j -columna de F , denotado por F ij , es f j i , y G ij = g j i .
La composición de más de dos asignaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.
Producto de dos matrices
Dadas dos matrices
- y
su producto viene dado por
Composición de funciones lineales como producto matricial
Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim (U), s = dim (V) y t = dim (W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Sea una base de U, sea una base de V y ser una base de W. En términos de esta base, sea la matriz que representa f: U → V y la matriz que representa g: V → W. Entonces
es la matriz que representa .
En otras palabras: el producto de la matriz es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.
Producto tensorial de espacios vectoriales
Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W , el producto tensorial de ellos se puede definir como un (2,0) -tensor que satisface:
donde V * y W * denotan los dos espacios de V y W .
Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene:
El producto tensorial, el producto exterior y el producto Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre estos son que el producto de Kronecker es solo un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial generalmente se da en su definición intrínseca . El producto externo es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).
La clase de todos los objetos con un producto tensorial.
En general, siempre que uno tiene dos objetos matemáticos que pueden combinarse de una manera que se comporta como un producto tensorial de álgebra lineal, entonces esto puede entenderse generalmente como el producto interno de una categoría monoidal . Es decir, la categoría monoidal captura precisamente el significado de un producto tensorial; captura exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan como lo hacen. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo dado ) que tienen un producto tensorial.
Otros productos en álgebra lineal
Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:
- Producto Hadamard
- Producto Kronecker
- El producto de tensores :
producto cartesiano
En la teoría de conjuntos , un producto cartesiano es una operación matemática que devuelve un conjunto (o conjunto de productos ) a partir de múltiples conjuntos. Esto es, para los conjuntos A y B , el producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) -donde a ∈ A y b ∈ B .
La clase de todas las cosas (de un tipo determinado ) que tienen productos cartesianos se llama categoría cartesiana . Muchas de estas son categorías cerradas cartesianas . Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.
Producto vacio
El producto vacío de números y la mayoría de las estructuras algebraicas tiene el valor de 1 (el elemento de identidad de la multiplicación), al igual que la suma vacía tiene el valor de 0 (el elemento de identidad de la suma). Sin embargo, el concepto de producto vacío es más general y requiere un tratamiento especial en lógica , teoría de conjuntos , programación informática y teoría de categorías .
Productos sobre otras estructuras algebraicas
Los productos sobre otros tipos de estructuras algebraicas incluyen:
- el producto cartesiano de conjuntos
- el producto directo de grupos , y también el producto semidirecto , producto de punto y producto de corona
- el producto gratuito de grupos
- el producto de los anillos
- el producto de ideales
- el producto de espacios topológicos
- el producto de Wick de variables aleatorias
- el tapón , copa , Massey y el producto inclinado en topología algebraica
- el producto smash y la suma de la cuña (a veces llamado el producto de la cuña) en homotopía
Algunos de los productos anteriores son ejemplos de la noción general de un producto interno en una categoría monoidal ; el resto se puede describir mediante la noción general de producto en la teoría de categorías .
Productos en teoría de categorías
Todos los ejemplos anteriores son casos especiales o ejemplos de la noción general de un producto. Para el tratamiento general del concepto de producto, consulte producto (teoría de categorías) , que describe cómo combinar dos objetos de algún tipo para crear un objeto, posiblemente de un tipo diferente. Pero también, en la teoría de categorías, uno tiene:
- el producto de fibra o el retroceso,
- la categoría de producto , una categoría que es el producto de categorías.
- el ultraproducto , en teoría de modelos .
- el producto interno de una categoría monoidal , que captura la esencia de un producto tensorial.
Otros productos
- La integral del producto de una función (como un equivalente continuo al producto de una secuencia o como la versión multiplicativa de la integral normal / estándar / aditiva. La integral del producto también se conoce como "producto continuo" o "multiplicado").
- Multiplicación compleja , una teoría de curvas elípticas.
Ver también
- Producto tensorial de Deligne de categorías abelianas
- Producto indefinido
- Producto infinito
- Operación binaria iterada
- Multiplicación - Operación aritmética
Notas
Referencias
Bibliografía
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .