Producto (matemáticas) - Product (mathematics)

En matemáticas , un producto es el resultado de una multiplicación o una expresión que identifica los factores que se van a multiplicar. Por ejemplo, 30 es el producto de 6 y 5 (el resultado de la multiplicación), y es el producto de y (lo que indica que los dos factores deben multiplicarse juntos).

El orden en que se multiplican los números reales o complejos no influye en el producto; esto se conoce como la ley conmutativa de la multiplicación. Cuando se multiplican matrices o miembros de varias otras álgebras asociativas , el producto generalmente depende del orden de los factores. La multiplicación de matrices , por ejemplo, no es conmutativa, al igual que la multiplicación en otras álgebras en general.

Hay muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar solo números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos en muchas estructuras algebraicas diferentes .

Producto de dos números

Producto de dos números naturales

3 por 4 son 12

Colocar varias piedras en un patrón rectangular con filas y columnas da

piedras.

Producto de dos enteros

Los enteros permiten números positivos y negativos. Su producto está determinado por el producto de sus cantidades positivas, combinado con el signo derivado de la siguiente regla:

(Esta regla es una consecuencia necesaria de exigir la distributividad de la multiplicación sobre la suma, y ​​no es una regla adicional ).

En palabras, tenemos:

  • Menos veces Menos da más
  • Minus times Plus da Minus
  • Plus times Minus da Minus
  • Plus times Plus da Plus

Producto de dos fracciones

Se pueden multiplicar dos fracciones multiplicando sus numeradores y denominadores:

Producto de dos números reales

Para obtener una definición rigurosa del producto de dos números reales, consulte Construcción de números reales .

Fórmulas

Teorema  :  suponga que a > 0 y b > 0 . Si 1 < p <∞ y q  : = pag/p - 1 luego

ab =min0 < t <∞ t p a p/pag + t - q b q/q.
Prueba  -

Defina una función de valor real f sobre los números reales positivos mediante

f ( t ): =t p a p/pag + t - q b q/q

para cada t > 0 y luego calcule su mínimo.

Producto de dos números complejos

Dos números complejos se pueden multiplicar por la ley distributiva y el hecho de que , de la siguiente manera:

Significado geométrico de la multiplicación compleja

Un número complejo en coordenadas polares.

Los números complejos se pueden escribir en coordenadas polares :

Es más,

de donde se obtiene

El significado geométrico es que las magnitudes se multiplican y los argumentos se suman.

Producto de dos cuaterniones

El producto de dos cuaterniones se puede encontrar en el artículo sobre cuaterniones . Tenga en cuenta, en este caso, que y en general son diferentes.

Producto de una secuencia

El operador de producto para el producto de una secuencia se denota con la letra griega mayúscula pi Π (en analogía con el uso de la sigma mayúscula Σ como símbolo de suma ). Por ejemplo, la expresión es otra forma de escribir .

El producto de una secuencia que consta de un solo número es solo ese número; el producto de ningún factor se conoce como producto vacío y es igual a 1.

Anillos conmutativos

Los anillos conmutativos tienen una operación de producto.

Clases de residuos de enteros

Se pueden agregar clases de residuos en los anillos :

y multiplicado:

Circunvolución

La convolución de la onda cuadrada consigo misma da la función triangular

Dos funciones de los reales a sí mismos se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución .

Si

entonces la integral

está bien definido y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier , la convolución se convierte en una multiplicación de funciones puntuales.

Anillos polinomiales

El producto de dos polinomios viene dado por lo siguiente:

con

Productos en álgebra lineal

Hay muchos tipos diferentes de productos en álgebra lineal. Algunos de estos tienen nombres confusamente similares ( producto exterior , producto exterior ) con significados muy diferentes, mientras que otros tienen nombres muy diferentes (producto exterior, producto tensor, producto Kronecker) y, sin embargo, transmiten esencialmente la misma idea. En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción de estos.

Multiplicación escalar

Por la propia definición de un espacio vectorial, uno puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando un mapa .

Producto escalar

Un producto escalar es un mapa bi-lineal:

con las siguientes condiciones, eso para todos .

A partir del producto escalar, se puede definir una norma dejando .

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

En el espacio euclidiano -dimensional, el producto escalar estándar (llamado el producto escalar ) está dada por:

Producto cruzado en un espacio tridimensional

El producto cruzado de dos vectores en 3 dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo generado por los dos factores.

El producto cruzado también se puede expresar como determinante formal :

Composición de mapeos lineales

Un mapeo lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con el campo subyacente F , satisfaciendo

Si solo se consideran los espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

donde b V y b W denotan las bases de V y W , y v i denota la componente de v en b V i , y se aplica la convención de suma de Einstein .

Ahora consideramos la composición de dos mapeos lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Deje que la aplicación lineal f mapa V a W , y dejar que el lineal de mapeo g mapa W a U . Entonces uno puede conseguir

O en forma de matriz:

en el que el elemento i -fila, j -columna de F , denotado por F ij , es f j i , y G ij = g j i .

La composición de más de dos asignaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Producto de dos matrices

Dadas dos matrices

y

su producto viene dado por

Composición de funciones lineales como producto matricial

Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim (U), s = dim (V) y t = dim (W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Sea una base de U, sea ​​una base de V y ser una base de W. En términos de esta base, sea ​​la matriz que representa f: U → V y la matriz que representa g: V → W. Entonces

es la matriz que representa .

En otras palabras: el producto de la matriz es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W , el producto tensorial de ellos se puede definir como un (2,0) -tensor que satisface:

donde V * y W * denotan los dos espacios de V y W .

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene:

El producto tensorial, el producto exterior y el producto Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre estos son que el producto de Kronecker es solo un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial generalmente se da en su definición intrínseca . El producto externo es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

La clase de todos los objetos con un producto tensorial.

En general, siempre que uno tiene dos objetos matemáticos que pueden combinarse de una manera que se comporta como un producto tensorial de álgebra lineal, entonces esto puede entenderse generalmente como el producto interno de una categoría monoidal . Es decir, la categoría monoidal captura precisamente el significado de un producto tensorial; captura exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan como lo hacen. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo dado ) que tienen un producto tensorial.

Otros productos en álgebra lineal

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

producto cartesiano

En la teoría de conjuntos , un producto cartesiano es una operación matemática que devuelve un conjunto (o conjunto de productos ) a partir de múltiples conjuntos. Esto es, para los conjuntos A y B , el producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) -donde a ∈ A y b ∈ B .

La clase de todas las cosas (de un tipo determinado ) que tienen productos cartesianos se llama categoría cartesiana . Muchas de estas son categorías cerradas cartesianas . Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.

Producto vacio

El producto vacío de números y la mayoría de las estructuras algebraicas tiene el valor de 1 (el elemento de identidad de la multiplicación), al igual que la suma vacía tiene el valor de 0 (el elemento de identidad de la suma). Sin embargo, el concepto de producto vacío es más general y requiere un tratamiento especial en lógica , teoría de conjuntos , programación informática y teoría de categorías .

Productos sobre otras estructuras algebraicas

Los productos sobre otros tipos de estructuras algebraicas incluyen:

Algunos de los productos anteriores son ejemplos de la noción general de un producto interno en una categoría monoidal ; el resto se puede describir mediante la noción general de producto en la teoría de categorías .

Productos en teoría de categorías

Todos los ejemplos anteriores son casos especiales o ejemplos de la noción general de un producto. Para el tratamiento general del concepto de producto, consulte producto (teoría de categorías) , que describe cómo combinar dos objetos de algún tipo para crear un objeto, posiblemente de un tipo diferente. Pero también, en la teoría de categorías, uno tiene:

Otros productos

  • La integral del producto de una función (como un equivalente continuo al producto de una secuencia o como la versión multiplicativa de la integral normal / estándar / aditiva. La integral del producto también se conoce como "producto continuo" o "multiplicado").
  • Multiplicación compleja , una teoría de curvas elípticas.

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía