Geometría no conmutativa - Noncommutative geometry

La geometría no conmutativa ( NCG ) es una rama de las matemáticas que se ocupa de un enfoque geométrico de las álgebras no conmutativas y de la construcción de espacios que se presentan localmente mediante álgebras de funciones no conmutativas (posiblemente en algún sentido generalizado). Un álgebra no conmutativa es un álgebra asociativa en la que la multiplicación no es conmutativa , es decir, para la que no siempre es igual ; o más generalmente una estructura algebraica en la que una de las principales operaciones binarias no es conmutativa; también se permite que estructuras adicionales, por ejemplo, topología o norma , sean posiblemente transportadas por el álgebra de funciones no conmutativa.

Un enfoque que proporciona una visión profunda de los espacios no conmutativos es a través de álgebras de operadores (es decir, álgebras de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert ). Quizás uno de los ejemplos típicos de un espacio no conmutativo es el " tori no conmutativo ", que jugó un papel clave en el desarrollo temprano de este campo en la década de 1980 y condujo a versiones no conmutativas de paquetes de vectores , conexiones , curvatura , etc.

Motivación

La principal motivación es extender la dualidad conmutativa entre espacios y funciones al entorno no conmutativo. En matemáticas, los espacios , que son de naturaleza geométrica, se pueden relacionar con funciones numéricas en ellos. En general, tales funciones formarán un anillo conmutativo . Por ejemplo, uno puede tomar el anillo C ( X ) de continuas complejas funciones -valued en un espacio topológico X . En muchos casos ( por ejemplo , si X es un espacio compacto de Hausdorff ), podemos recuperar X de C ( X ) y, por lo tanto, tiene sentido decir que X tiene topología conmutativa .

Más específicamente, en topología, los espacios topológicos compactos de Hausdorff pueden reconstruirse a partir del álgebra de Banach de funciones en el espacio ( Gelfand-Naimark ). En geometría algebraica conmutativa , los esquemas algebraicos son espectros localmente primos de anillos unitales conmutativos ( A. Grothendieck ), y cada esquema cuasi-separado se puede reconstruir hasta el isomorfismo de esquemas de la categoría de haces cuasicoherentes de -módulos ( P. Gabriel -A Rosenberg). Para las topologías de Grothendieck , las propiedades cohomológicas de un sitio son invariantes de la categoría correspondiente de haces de conjuntos vistos abstractamente como un topos (A. Grothendieck). En todos estos casos, un espacio se reconstruye a partir del álgebra de funciones o su versión categorizada, alguna categoría de haces en ese espacio.

Las funciones en un espacio topológico se pueden multiplicar y agregar puntualmente, por lo que forman un álgebra conmutativa; de hecho, estas operaciones son locales en la topología del espacio base, por lo que las funciones forman un haz de anillos conmutativos sobre el espacio base.

El sueño de la geometría no conmutativa es generalizar esta dualidad a la dualidad entre álgebras no conmutativas, o haces de álgebras no conmutativas, o estructuras algebraicas u operador-algebraicas no conmutativas en forma de gavillas, y entidades geométricas de ciertos tipos, y dar una interacción entre el algebraico y el algebraico. descripción geométrica de aquellos a través de esta dualidad.

En cuanto a que los anillos conmutativos corresponden a esquemas afines habituales, y las álgebras C * conmutativas a espacios topológicos habituales, la extensión a anillos no conmutativos y álgebras requiere una generalización no trivial de espacios topológicos como " espacios no conmutativos". Por esta razón, se habla de topología no conmutativa , aunque el término también tiene otros significados.

Aplicaciones en física matemática

Algunas aplicaciones en física de partículas se describen en las entradas Modelo estándar no conmutativo y Teoría cuántica de campos no conmutativa . El repentino aumento del interés por la geometría no conmutativa en la física sigue a las especulaciones sobre su papel en la teoría M realizadas en 1997.

Motivación de la teoría ergódica

Parte de la teoría desarrollada por Alain Connes para manejar la geometría no conmutativa a nivel técnico tiene sus raíces en intentos más antiguos, en particular en la teoría ergódica . La propuesta de George Mackey de crear una teoría de subgrupos virtuales , con respecto a la cual las acciones grupales ergódicas se convertirían en espacios homogéneos de tipo extendido, ya se ha subsumido.

Álgebras C * no conmutativas, álgebras de von Neumann

Los duales (formales) de las C * -álgebras no conmutativas a menudo se denominan ahora espacios no conmutativos. Esto es por analogía con la representación Gelfand , lo que demuestra que conmutativa C * son -álgebras doble a localmente compactos espacios de Hausdorff . En general, se puede asociar a cualquier C * -álgebra S un espacio topológico Ŝ ; ver el espectro de un C * -álgebra .

Para la dualidad entre sigma-finito espacios de medida y conmutativa álgebras de von Neumann , no conmutativos álgebras de von Neumann se llaman no conmutativos espacios de medida .

Variedades diferenciables no conmutativas

Un colector Riemanniano liso M es un espacio topológico con mucha estructura adicional. De su álgebra de funciones continuas C ( M ) solo recuperamos M topológicamente. El invariante algebraico que recupera la estructura de Riemann es un triple espectral . Se construye a partir de un conjunto de vectores suaves E sobre M , por ejemplo, el conjunto de álgebra exterior. El espacio de Hilbert L 2 ( ME ) de secciones cuadradas integrables de E lleva una representación de C ( M) mediante operadores de multiplicación, y consideramos un operador ilimitado D en L 2 ( ME ) con resolutivo compacto (por ejemplo, la firma operador ), de modo que los conmutadores [ Df ] estén limitados siempre que f sea ​​suave. Un teorema profundo reciente establece que M como una variedad de Riemann se puede recuperar a partir de estos datos.

Esto sugiere que se podría definir una variedad de Riemann no conmutativa como un triple espectral ( AHD ), que consiste en una representación de un C * -álgebra A en un espacio de Hilbert H , junto con un operador ilimitado D en H , con resolutivo, de tal manera que [ Dun ] está delimitada por todas una de alguna densa subálgebra de a . La investigación en triples espectrales es muy activa y se han construido muchos ejemplos de variedades no conmutativas.

Esquemas afines y proyectivos no conmutativos

En analogía con la dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos , definimos una categoría de esquemas afines no conmutativos como el dual de la categoría de anillos unitales asociativos. Hay ciertos análogos de la topología de Zariski en ese contexto para que uno pueda pegar esos esquemas afines a objetos más generales.

También hay generalizaciones del Cono y del Proy de un anillo graduado conmutativo, imitando un teorema de Serre sobre Proj. Es decir, la categoría de haces cuasicoherentes de módulos O en un proyecto de un álgebra graduada conmutativa es equivalente a la categoría de módulos graduados sobre el anillo localizado en la subcategoría de módulos graduados de longitud finita de Serre; también existe un teorema análogo para haces coherentes cuando el álgebra es noetheriana. Este teorema se amplía como una definición de geometría proyectiva no conmutativa por Michael Artin y JJ Zhang, quienes añaden también algunas condiciones generales de la teoría del anillo (por ejemplo, la regularidad de Artin-Schelter).

Muchas propiedades de los esquemas proyectivos se extienden a este contexto. Por ejemplo, existe un análogo de la célebre dualidad de Serre para los esquemas proyectivos no conmutativos de Artin y Zhang.

AL Rosenberg ha creado un concepto relativo bastante general de esquema cuasicompacto no conmutativo (sobre una categoría base), abstrayendo el estudio de Grothendieck de los morfismos de esquemas y cubiertas en términos de categorías de haces cuasicoherentes y functores de localización planos. También hay otro enfoque interesante a través de la teoría de la localización, debido a Fred Van Oystaeyen , Luc Willaert y Alain Verschoren, donde el concepto principal es el de un álgebra esquemática .

Invariantes para espacios no conmutativos

Algunas de las preguntas motivadoras de la teoría están relacionadas con la extensión de invariantes topológicos conocidos a duales formales de álgebras no conmutativas (operadores) y otros reemplazos y candidatos para espacios no conmutativos. Uno de los principales puntos de partida de la dirección de Alain Connes en la geometría no conmutativa es su descubrimiento de una nueva teoría de homología asociada a álgebras asociativas no conmutativas y álgebras de operadores no conmutativos, a saber, la homología cíclica y sus relaciones con la teoría K algebraica (principalmente a través de Connes– Mapa de caracteres de Chern).

La teoría de clases características de variedades suaves se ha extendido a triples espectrales, empleando las herramientas de la teoría K del operador y la cohomología cíclica . Varias generalizaciones de los teoremas de índices ahora clásicos permiten la extracción efectiva de invariantes numéricos de triples espectrales. La clase característica fundamental en la cohomología cíclica, el ciclo JLO , generaliza el carácter clásico de Chern .

Ejemplos de espacios no conmutativos

Ver también

Citas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos