Dualidad (geometría proyectiva) - Duality (projective geometry)

En geometría , una característica sorprendente de los planos proyectivos es la simetría de los roles que juegan los puntos y las líneas en las definiciones y teoremas, y la dualidad (de plano ) es la formalización de este concepto. Hay dos enfoques sobre el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje ( § Principio de dualidad ) y el otro un enfoque más funcional a través de mapeos especiales . Estos son completamente equivalentes y cualquiera de los dos tratamientos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías consideradas. En el enfoque funcional hay un mapa entre geometrías relacionadas que se llama dualidad . Este mapa se puede construir de muchas formas. El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita .

Principio de dualidad

Un plano proyectivo $C$ puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto $P$ de puntos , un conjunto $L$ de líneas y una relación de incidencia $I$ que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Estos conjuntos se pueden utilizar para definir una estructura dual plana .

Intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en

C = (P, L, I)

para obtener la estructura dual

C * = (L, P, I *)

,

donde $I *$ es la relación inversa de la $I$ . $C *$ es también un plano proyectivo, llamado el doble plano de $C$ .

Si $C$ y $C *$ son isomorfos, entonces $C$ se llama auto-dual . Los planos proyectivos $PG (2, K)$ para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (skewfield) isomorfo a su dual) $K$ son auto-duales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre auto-duales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son auto-duales, como los planos de Hall y algunos que lo son, como los planos de Hughes .

En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos y que se obtiene de otro enunciado similar intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado dual plano del primer enunciado. . El enunciado dual plano de "Dos puntos están en una línea única" es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo $C$ , entonces el plano dual de ese enunciado debe ser verdadero en el plano dual $C *$ . Esto se sigue ya que la dualización de cada enunciado en la prueba "en $C$ " da un enunciado correspondiente de la prueba "en $C *$ ".

El principio de dualidad avión dice que dualizing cualquier teorema en un auto de doble plano proyectivo $C$ produce otro teorema válido en $C$ .

Los conceptos anteriores se pueden generalizar para hablar de la dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las líneas siguen siendo líneas). Esto conduce al principio de la dualidad espacial .

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir utilizar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto se encuentra en una línea", se debería decir "un punto es incidente con una línea", ya que la dualización de esta última solo implica intercambiar punto y línea ("una línea es incidente con un punto").

La validez del principio de dualidad de planos se deriva de la definición axiomática de plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición se pueden escribir de modo que sean enunciados auto-duales, lo que implica que el dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El dual de un enunciado verdadero en un plano proyectivo es, por lo tanto, un enunciado verdadero en el plano proyectivo dual y la implicación es que para los planos auto-duales, el dual de un enunciado verdadero en ese plano es también un enunciado verdadero en ese plano.

Teoremas duales

Como el plano proyectivo real , $PG (2, R)$ , es auto-dual, hay una serie de pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:

Teorema de Desargues ⇔ Teorema inverso del teorema de Desargues
Teorema de Pascal ⇔ teorema de Brianchon
Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

Configuraciones duales

No solo los enunciados, sino también los sistemas de puntos y líneas se pueden dualizar.

Un conjunto de $m$ puntos $yn$ líneas se denomina configuración $(m c, n d)$ si $c$ de las $n$ líneas pasan por cada punto $yd$ de los $m$ puntos se encuentran en cada línea. El dual de una configuración $($ $m$ $c$ $,$ $n$ $d$ $)$ , es una configuración $($ $n$ $d$ $,$ $m$ $c$ $)$ . Así, el dual de un cuadrilátero, una configuración (4 ₃ , 6 ₂ ) de cuatro puntos y seis líneas, es un cuadrilátero, una configuración (6 ₂ , 4 ₃ ) de seis puntos y cuatro líneas.

El conjunto de todos los puntos en una línea, llamado rango proyectivo, tiene como dual un lápiz de líneas , el conjunto de todas las líneas en un punto.

La dualidad como mapeo

Dualidades planas

Una dualidad de plano es un mapa desde un plano proyectivo $C = (P, L, I)$ a su plano dual $C * = (L, P, I *)$ (ver § Principio de dualidad arriba) que preserva la incidencia . Es decir, una dualidad plana $σ$ mapeará puntos a líneas y líneas a puntos ( $P σ = L$ y $L σ = P$ ) de tal manera que si un punto $Q$ está en una línea $m$ (denotado por $Q I m$ ) entonces $Q Yo m \Leftrightarrow m σ Yo * Q σ$ . Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación . La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo $C$ es auto-dual .

El plano proyectivo $C$ en esta definición no necesita ser un plano desarguesiano . Sin embargo, si lo es, es decir, $C = PG (2, K)$ con $K$ un anillo de división (skewfield), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales , da una dualidad plana en $C$ que satisface la definición anterior.

En espacios proyectivos generales

Una dualidad $δ$ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de $PG (n, K)$ (también denotado por $K P n)$ con $K$ un campo (o más generalmente un skewfield ( anillo de división )) que invierte la inclusión, es decir:

S \subseteq T

implica

S δ \supseteq T δ

para todos los subespacios

S, T

de

PG (n, K)

.

En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión $r$ con objetos de dimensión $n - 1 - r$ (= codimensión $r + 1$ ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión $n$ , los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente.

Clasificación de dualidades

El doble $V *$ de un espacio vectorial $V de$ dimensión finita (derecha) sobre un campo oblicuo $K$ puede considerarse como un espacio vectorial (derecho) de la misma dimensión sobre el campo oblicuo opuesto $K o$ . Por tanto, existe una biyección de inversión de inclusión entre los espacios proyectivos $PG (n, K)$ y $PG (n, K o)$ . Si $K$ y $K o$ son isomorfos, entonces existe una dualidad en $PG (n, K)$ . Por el contrario, si $PG (n, K)$ admite una dualidad para $n > 1$ , entonces $K$ y $K o$ son isomorfos.

Sea $π$ una dualidad de $PG (n, K)$ para $n > 1$ . Si $π$ está compuesto con el isomorfismo natural entre $PG (n, K)$ y $PG (n, K o)$ , la composición $θ$ es una biyección que conserva la incidencia entre $PG (n, K)$ y $PG (n, K o)$ . Por el teorema fundamental de la geometría proyectiva $θ$ es inducida por un mapa semilineal $T : V \to V *$ con isomorfismo asociado $σ : K \to K O$ , que puede ser visto como un antiautomorphism de $K$ . En la literatura clásica, $π$ se llamaría reciprocidad en general, y si $σ = id$ se llamaría correlación (y $K$ sería necesariamente un campo ). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman $θ$ una dualidad. Cuando se hace esto, se puede pensar en una dualidad como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se le llama reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad, entonces se llama correlación.

Deje $T w = T (w)$ denota el funcional lineal de $V *$ asociado con el vector $w$ en $V$ . Defina la forma $φ : V \times V \to K$ por:

{\ Displaystyle \ varphi (v, w) = T_ {w} (v).}

$φ$ es una forma sesquilíneano degeneradacon antiautomorfismo acompañante $σ$ .

Cualquier dualidad de $PG (n, K)$ para $n > 1$ es inducida por una forma sesquilínea no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.

Formulación de coordenadas homogénea

Se pueden usar coordenadas homogéneas para dar una descripción algebraica de dualidades. Para simplificar esta discusión, asumiremos que $K$ es un campo , pero todo se puede hacer de la misma manera cuando $K$ es un campo sesgado, siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no necesita ser una operación conmutativa .

Los puntos de $PG (n, K)$ pueden tomarse como vectores distintos de cero en el espacio vectorial ( $n + 1$ ) -dimensional sobre $K$ , donde identificamos dos vectores que se diferencian por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo $n$ -dimensional son los subespacios vectoriales unidimensionales , que pueden visualizarse como las líneas que atraviesan el origen en $K$ $n$ $+1$ . Además, los subespacios dimensionales $n$ (vectoriales) de $K$ $n$ $+1$ representan los hiperplanos dimensionales ( $n$ $- 1$ ) - (geométricos) del espacio $n$ proyectivo sobre $K$ , es decir, $PG ($ $n$ $,$ $K$ $)$ .

Un vector diferente de cero $u = (u 0, u 1, ..., u n)$ en $K n +1$ también determina un $(n - 1)$ - subespacio dimensional geométrico (hiperplano) $H u$ , por

H u = {(x 0, x 1, ..., x n): u 0 x 0 + ... + u n x n = 0}

.

Cuando un vector $u$ se utiliza para definir un hiperplano de este modo se denota por $u H$ , mientras que si está designando un punto vamos a utilizar $u P$ . Se denominan coordenadas de puntos o coordenadas de hiperplano, respectivamente (en el importante caso bidimensional, las coordenadas de hiperplano se denominan coordenadas de línea ). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo coordenadas de hiperplano como vectores horizontales (fila) mientras que las coordenadas de puntos se escriben como vectores verticales (columna). Por lo tanto, si $u$ es un vector columna tendríamos $u P = u$ mientras $u H = u T$ . En términos del producto escalar habitual , $H u = {x P : u H \cdot x P = 0}$ . Como $K$ es un campo, el producto escalar es simétrico, lo que significa que $u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1 + .. . + x n u n = x H \cdot u P$ .

Un ejemplo fundamental

Una reciprocidad simple (en realidad una correlación) puede estar dada por $u P \leftrightarrow u H$ entre puntos e hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos hiperplanos, y así sucesivamente.

En concreto, en el plano proyectivo , $PG (2, K)$ , con el campo $K$ a, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas $(a, b, c) \leftrightarrow$ rectas con ecuaciones $ax + by + cz = 0$ . En un espacio proyectivo, $PG (3, K)$ , una correlación viene dada por: puntos en coordenadas homogéneas $(a, b, c, d) \leftrightarrow$ planos con ecuaciones $ax + by + cz + dw = 0$ . Esta correlación también mapearía una línea determinada por dos puntos $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ y $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ a la línea que es la intersección de los dos planos con ecuaciones $a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 w = 0$ y $a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0$ .

La forma sesquilínea asociada para esta correlación es:

φ (u, x) = u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n

,

donde el compañero antiautomorfismo $σ = id$ . Por lo tanto, esta es una forma bilineal (tenga en cuenta que $K$ debe ser un campo). Esto se puede escribir en forma de matriz (con respecto a la base estándar) como:

φ (u, x) = u H G x P

,

donde $G$ es la matriz identidad $(n + 1) \times (n + 1)$ , utilizando la convención de que $u$ $H$ es un vector de fila y $x$ $P$ es un vector de columna.

La correlación viene dada por:

{\ Displaystyle \ pi (\ mathbf {x} _ {P}) = (G \ mathbf {x} _ {P}) ^ {\ mathsf {T}} = (\ mathbf {x} _ {P}) ^ {\ mathsf {T}} = \ mathbf {x} _ {H}.}

Interpretación geométrica en el plano proyectivo real

Esta correlación en el caso de $PG (2, R)$ se puede describir geométricamente utilizando el modelo del plano proyectivo real que es una "esfera unitaria con antípodas identificadas", o equivalentemente, el modelo de líneas y planos a través del origen del vector. espacio $R 3$ . Asociar a cualquier línea que pasa por el origen el plano único que pasa por el origen que es perpendicular (ortogonal) a la línea. Cuando, en el modelo, estas líneas se consideran los puntos y los planos las líneas del plano proyectivo $PG (2, R)$ , esta asociación se convierte en una correlación (en realidad una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene cruzando las líneas y los planos a través del origen con una esfera unitaria centrada en el origen. Las líneas se encuentran con la esfera en puntos antípodas que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en grandes círculos que son, por tanto, las líneas del plano proyectivo.

Que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente en el modelo de líneas y planos. Un punto incidente con una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea que pasa por el origen que se encuentra en un plano que pasa por el origen en el modelo. Aplicando la asociación, el plano se convierte en una línea que pasa por el origen perpendicular al plano con el que está asociado. Esta línea de la imagen es perpendicular a cada línea del plano que pasa por el origen, en particular a la línea original (punto del plano proyectivo). Todas las líneas que son perpendiculares a la línea original en el origen se encuentran en el plano único que es ortogonal a la línea original, es decir, el plano de la imagen debajo de la asociación. Por tanto, la línea de la imagen se encuentra en el plano de la imagen y la asociación conserva la incidencia.

Forma de matriz

Como en el ejemplo anterior, se pueden usar matrices para representar dualidades. Deje $π$ ser una dualidad de $PG (n, K)$ para $n > 1$ y dejar $φ$ ser la forma sesquilinear asociado (con el compañero antiautomorphism $σ$ ) en el subyacente ( $n + 1$ ) -dimensional espacio vectorial $V$ . Dada una base ${e i}$ de $V$ , podemos representar esta forma por:

{\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}) = \ mathbf {u} ^ {\ mathsf {T}} G ​​(\ mathbf {x} ^ {\ sigma}),}

donde $G$ es una matriz no singular $(n + 1) \times (n + 1)$ sobre $K$ y los vectores se escriben como vectores columna. La notación $x σ$ significa que el antiautomorfismo $σ$ se aplica a cada coordenada del vector $x$ .

Ahora defina la dualidad en términos de coordenadas de puntos mediante:

{\ Displaystyle \ pi (\ mathbf {x}) = (G (\ mathbf {x} ^ {\ sigma})) ^ {\ mathsf {T}}.}

Polaridad

Una dualidad que es una involución (tiene orden dos) se llama polaridad . Es necesario distinguir entre las polaridades de los espacios proyectivos generales y las que surgen de la definición un poco más general de la dualidad de planos. También es posible dar enunciados más precisos en el caso de una geometría finita , por lo que enfatizaremos los resultados en planos proyectivos finitos.

Polaridades de los espacios proyectivos generales

Si $π$ es una dualidad de $PG (n, K)$ , con $K$ un campo de sesgo, entonces una notación común se define por $π (S) = S ⊥$ para un subespacio $S$ de $PG (n, K)$ . Por tanto, una polaridad es una dualidad para la cual $S ⊥⊥ = S$ para cada subespacio $S$ de $PG (n, K)$ . También es común omitir la mención del espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilínea asociada:

{\ displaystyle S ^ {\ bot} = \ {\ mathbf {u} {\ text {in}} V \ colon \ varphi (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}) = 0 {\ text {para todos }} \ mathbf {x} {\ text {in}} S \}.}

Una forma sesquilínea $φ$ es reflexiva si $φ (u, x) = 0$ implica $φ (x, u) = 0$ .

Una dualidad es una polaridad si y solo si la forma sesquilínea (no degenerada) que la define es reflexiva.

Se han clasificado las polaridades, resultado de Birkhoff & von Neumann (1936) que ha sido reprobado varias veces. Sea $V$ un espacio vectorial (izquierda) sobre el campo de inclinación $K$ y $φ$ una forma sesquilínea no degenerada reflexiva en $V$ con un anti-automorfismo asociado $σ$ . Si $φ$ es la forma sesquilínea asociada con una polaridad, entonces:

$σ = id$ (por lo tanto, $K$ es un campo) y $φ (u, x) = φ (x, u)$ para todo $u, x$ en $V$ , es decir, $φ$ es una forma bilineal. En este caso, la polaridad se llama ortogonal (u ordinaria ). Si la característica del campo $K$ es dos, entonces para serlo en este caso debe existir un vector $z$ con $φ (z, z) \neq 0$ , y la polaridad se llama pseudopolaridad .
$σ = id$ (por lo tanto, $K$ es un campo) y $φ (u, u) = 0$ para todos $u$ en $V$ . La polaridad se llama polaridad nula (o polaridad simpléctica ) y solo puede existir cuando la dimensión proyectiva $n$ es impar.
$σ 2 = id \neq σ$ (aquí $K$ no tiene que ser un campo) y $φ (u, x) = φ (x, u) σ$ para todos $u, x$ en $V$ . Tal polaridad se llama polaridad unitaria (o polaridad hermitiana ).

Un punto $P$ de $PG (n, K)$ es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad $⊥$ si $P I P ⊥$ . Del mismo modo, un hiperplano $H$ es un hiperplano absoluta (hiperplano auto-conjugado) si $H ⊥ I H$ . Expresado en otros términos, un punto $x$ es un punto absoluto de polaridad $π$ con forma sesquilínea asociada $φ$ si $φ (x, x) = 0$ y si $φ$ se escribe en términos de la matriz $G$ , $x T G x σ = 0$ .

Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. De nuevo restringimos la discusión al caso de que $K$ es un campo.

Si $K$ es un campo cuya característica no es de dos, el conjunto de puntos absolutos de una polaridad ortogonal formar un no singular cuádrica (si $K$ es infinito, esto podría ser vacío). Si la característica es dos, los puntos absolutos de una pseudo polaridad forman un hiperplano.
Todos los puntos del espacio $PG (2 s + 1, K)$ son puntos absolutos de polaridad nula.
Los puntos absolutos de una polaridad hermitiana forman una variedad hermitiana , que puede estar vacía si $K$ es infinito.

Cuando se compone consigo mismo, la correlación $φ (x P) = x H$ (en cualquier dimensión) produce la función de identidad , por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:

x H \cdot x P = x 0 x 0 + x 1 x 1 + ... + x norte x norte = x 02 + x 12 + ... + x norte 2 = 0

.

¿Qué puntos son en este conjunto de puntos depende del campo $K$ . Si $K = R,$ entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si $K = C$ el conjunto de puntos absolutos forma un cuádrico no degenerado (una cónica en el espacio bidimensional). Si $K$ es un campo finito de característica impar , los puntos absolutos también forman un cuadrático, pero si la característica es par, los puntos absolutos forman un hiperplano (este es un ejemplo de una pseudo polaridad).

Bajo ninguna dualidad, el punto $P$ se llama el polo del hiperplano $P ⊥$ , y esto se llama el hiperplano polar del punto $P$ . Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que inciden con sus polos y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que inciden con sus polos.

Polaridades en planos proyectivos finitos

Según el teorema de Wedderburn, todo campo sesgado finito es un campo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) solo puede existir en un campo finito cuyo orden es un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general para planos desarguesianos finitos . Tenemos:

Si $π$ es una polaridad del plano proyectivo desarguesiano finito $PG (2, q)$ donde $q = p e$ para algún primo $p$ , entonces el número de puntos absolutos de $π$ es $q + 1$ si $π$ es ortogonal o $q 3/2 + 1$ si $π$ es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si $p$ es impar o forman una línea si $p = 2$ . El caso unitario solo puede ocurrir si $q$ es un cuadrado; los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital .

En el caso del plano proyectivo general donde dualidad significa dualidad del plano , las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.

Sea $P$ un plano proyectivo de orden $n$ . El conteo de argumentos puede establecer que para una polaridad $π$ de $P$ :

El número de puntos (líneas) no absolutos incidentes con una línea (punto) no absoluto es par.

Además,

La polaridad $π$ tiene al menos $n + 1$ puntos absolutos y si $n$ no es un cuadrado, exactamente $n + 1$ puntos absolutos. Si $π$ tiene exactamente $n + 1$ puntos absolutos, entonces;

si $n$ es impar, los puntos absolutos forman un óvalo cuyas tangentes son las rectas absolutas; o
si $n$ es par, los puntos absolutos son colineales en una línea no absoluta.

Seib dio un límite superior en el número de puntos absolutos en el caso de que $n$ sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer:

Una polaridad $π$ en un plano proyectivo de orden cuadrado $n = s 2$ tiene como máximo $s 3 + 1$ puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es $s 3 + 1$ , entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital (es decir, cada línea del plano se encuentra con este conjunto de puntos absolutos en $1$ o $s + 1$ puntos).

Polos y polares

Polo y polar con respecto al círculo C . P y Q son puntos inversos, p es el polar de P , P es el polo de p .

Reciprocidad en el plano euclidiano

Un método que puede utilizarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene como punto de partida una construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano .

En el plano euclidiano, fije un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$ . Para cada punto $P$ distinto de $O,$ defina un punto de imagen $Q de$ modo que $OP \cdot OQ = r 2$ . El mapeo definido por $P \to Q$ se llama inversión con respecto al círculo $C$ . La línea $p$ a través de $Q$ que es perpendicular a la línea $OP$ se llama la polar del punto $P$ con respecto al círculo $C$ .

Deje que $q$ sea una línea no pasa a través de $O$ . Deja caer una perpendicular de $O$ a $q$ , encontrando $q$ en el punto $P$ (este es el punto de $q$ más cercano a $O$ ). La imagen $Q$ de $P$ bajo inversión con respecto a $C$ se llama polo de $q$ . Si un punto $M$ está en una línea $q$ (que no pasa por $O$ ), entonces el polo de $q se$ encuentra en el polar de $M$ y viceversa. El proceso de conservación de la incidencia, en el que los puntos y las líneas se transforman en sus polos y polos con respecto a $C,$ se denomina reciprocidad .

Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) debe expandirse al plano euclidiano extendido agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea. En este plano expandido, definimos el polar del punto $O$ como la línea en el infinito (y $O$ es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas que pasan por $O$ son los puntos del infinito donde, si una línea tiene pendiente $s (\neq 0)$ su polo es el punto infinito asociado a la clase de líneas paralelas con pendiente $-1 / s$ . El polo del eje $x$ es el punto de infinito de las líneas verticales y el polo del eje $y$ es el punto de infinito de las líneas horizontales.

La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dada anteriormente se puede generalizar utilizando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.

Formulación algebraica

Tres pares de puntos y líneas duales: un par rojo, un par amarillo y un par azul.

Describiremos esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que $C$ sea el círculo unitario (es decir, $r = 1$ ) centrado en el origen.

Un punto afín $P$ , distinto del origen, con coordenadas cartesianas $(a, b)$ tiene como inverso en el círculo unitario el punto $Q$ con coordenadas,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) .}

La recta que pasa por $Q$ que es perpendicular a la recta $OP$ tiene la ecuación $ax + by = 1$ .

Cambiando a coordenadas homogéneas usando la incrustación $(a, b) \mapsto (a, b, 1)$ , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de los puntos se escriben como vectores columna y línea coordenadas como vectores de fila, podemos expresar esta polaridad por:

{\ Displaystyle \ pi: \ mathbb {R} P ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R} P ^ {2}}

tal que

{\ Displaystyle \ pi \ left ((x, y, z) ^ {\ mathsf {T}} \ right) = (x, y, -z).}

O bien, con la notación alternativa, $π ((x, y, z) P) = (x, y, - z) L$ . La matriz de la forma sesquilínea asociada (con respecto a la base estándar) es:

{\ Displaystyle G = \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {matrix}} \ right).}

Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:

{\ Displaystyle 0 = P ^ {\ mathsf {T}} GP = x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2},}

donde $P$ ^T $= (x, y, z)$ . Tenga en cuenta que restringido al plano euclidiano (es decir, establezca $z = 1$ ), esto es solo el círculo unitario, el círculo de inversión.

Enfoque sintético

Triángulo diagonal

P, Q, R

del cuadrilátero

A, B, J, K

en la cónica. Los polares de los puntos diagonales tienen el mismo color que los puntos.

La teoría de polos y polares de una cónica en un plano proyectivo se puede desarrollar sin el uso de coordenadas y otros conceptos métricos.

Deje $C$ ser una cónica en $PG (2, F)$ donde $F$ es un campo no de dos características, y dejar que $P$ sea un punto de este plano no en $C$ . Dos líneas secantes distintas a la cónica, digamos $AB$ y $JK,$ determinan cuatro puntos en la cónica ( $A, B, J, K$ ) que forman un cuadrilátero . El punto $P$ es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrilátero. El polar de $P$ con respecto a $C$ es el lado de la diagonal triángulo opuesto $P$ .

La teoría de conjugados armónicos proyectivos de puntos en una línea también se puede utilizar para definir esta relación. Usando la misma notación que arriba;

Si una línea variable a través del punto $P$ es un secante de la cónica $C$ , los conjugados armónicas de $P$ con respecto a los dos puntos de $C$ en la secante se encuentran todos en la polar de $P$ .

Propiedades

Hay varias propiedades que tienen las polaridades en un plano proyectivo.

Dada una polaridad $π$ , un punto $P$ se encuentra sobre la línea $q$ , el polar de punto $Q$ si y sólo si $Q$ mentiras en $p$ , la polar de $P$ .

Los puntos $P$ y $Q$ que están en esta relación se denominan puntos conjugados con respecto a $π$ . Los puntos absolutos se denominan autoconjugados de acuerdo con esta definición, ya que inciden en sus propios polares. Las líneas conjugadas se definen dualmente.

La línea que une dos puntos autoconjugados no puede ser una línea autoconjugada.

Una línea no puede contener más de dos puntos autoconjugados.

Una polaridad induce una involución de puntos conjugados en cualquier línea que no sea auto-conjugada.

Un triángulo en el que cada vértice es el polo de la cara opuesta se denomina auto-polar triángulo.

Una correlación que mapea los tres vértices de un triángulo a sus lados opuestos respectivamente es una polaridad y este triángulo es autopolar con respecto a esta polaridad.

Historia

El principio de dualidad se debe a Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), un campeón del entonces emergente campo de la geometría analítica y fundador y editor de la primera revista dedicada enteramente a las matemáticas, Annales de mathématiques pures et appliquées . Gergonne y Charles Julien Brianchon (1785-1864) desarrollaron el concepto de dualidad de planos. Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (pero "polo" se debe a F.-J. Servois ) y adoptó el estilo de escribir declaraciones duales una al lado de la otra en su diario.

Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva , Traité des propriétés projectives des figures , fue un geómetra sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de los polos y los polares con respecto a una cónica. Poncelet sostenía que el principio de dualidad era una consecuencia de la teoría de los polos y los polares.

A Julius Plücker (1801-1868) se le atribuye la extensión del concepto de dualidad a espacios proyectivos tridimensionales y superiores.

Poncelet y Gergonne comenzaron como rivales serios pero amistosos, presentando sus diferentes puntos de vista y técnicas en artículos que aparecían en Annales de Gergonne . El antagonismo creció sobre la cuestión de la prioridad al reclamar el principio de dualidad como propio. Un joven Plücker se vio envuelto en esta disputa cuando un artículo que le había enviado a Gergonne estaba tan editado en el momento de su publicación, que Poncelet fue engañado haciéndole creer que Plücker lo había plagiado. Plücker contrarrestó el ataque virulento de Poncelet con el apoyo de Gergonne y, en última instancia, la responsabilidad recayó en Gergonne. De esta disputa, Pierre Samuel ha dicho en broma que, dado que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era un general, mientras que Gergonne un mero capitán, prevaleció la opinión de Poncelet, al menos entre sus contemporáneos franceses.

Ver también

Curva dual

Notas

Referencias

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enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Principio de dualidad" . MathWorld .

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