Polo y polar - Pole and polar

La línea polar q a un punto Q con respecto a un círculo de radio r centrado en el punto O . El punto P es el punto de inversión de Q ; la polar es la línea a través de P que es perpendicular a la línea que contiene O , P y Q .

En geometría , el polo y el polar son respectivamente un punto y una línea que tienen una relación recíproca única con respecto a una sección cónica determinada .

Para un círculo dado, la reciprocidad en un círculo significa la transformación de cada punto del plano en su línea polar y de cada línea del plano en su polo.

Propiedades

El polo y el polar tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en una línea l , a continuación, el polo L de la línea L se encuentra en la polar p del punto P .
• Si un punto P se mueve a lo largo de una línea l , su polar p gira alrededor del polo L de la línea l .
• Si se pueden dibujar dos rectas tangentes desde un polo a la sección cónica, entonces su polar pasa a través de ambos puntos tangentes.
• Si un punto se encuentra en la sección cónica, su polar es la tangente a través de este punto a la sección cónica.
• Si un punto P se encuentra en su propia línea polar, entonces P está en la sección cónica.
• Cada línea tiene, con respecto a una sección cónica no degenerada, exactamente un polo.

Caso especial de círculos

El polo de una línea L en un círculo C es un punto P que es la inversión en C del punto Q en L que está más cerca del centro del círculo. A la inversa, la línea de polar (o polar ) de un punto P en un círculo C es la línea L de tal manera que su punto más cercano Q al centro del círculo es la inversión de P en C .

Si un punto A se encuentra en la recta polar q de otro punto Q , entonces Q se encuentra en la recta polar una de A . De manera más general, las polares de todos los puntos de la recta q deben pasar a través de su polo Q .

La relación entre polos y polares es recíproca. Por lo tanto, si un punto A se encuentra en la línea de polar q de un punto Q , entonces el punto Q deben estar en la línea polar una del punto A . Las dos líneas polares a y q no necesitan ser paralelos.

Hay otra descripción de la línea polar de un punto P en el caso de que se encuentra fuera del círculo C . En este caso, hay dos líneas a través de P que son tangentes al círculo , y el polar de P es la línea que une los dos puntos de tangencia (no se muestra aquí). Esto demuestra que caña y línea polar son conceptos en la geometría proyectiva del plano y generalizar con cualquier no singular cónica en el lugar del círculo C .

Reciprocidad y dualidad proyectiva

Ilustración de la dualidad entre puntos y líneas, y el doble sentido de "incidencia". Si dos rectas a y k pasan por un solo punto Q , entonces el polar q de Q une los polos A y K de las rectas a y k , respectivamente.

Los conceptos de polo y su línea polar fueron avanzados en geometría proyectiva . Por ejemplo, la línea polar puede verse como el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de un punto dado, el polo, con respecto a una cónica. La operación de reemplazar cada punto por su polar y viceversa se conoce como polaridad.

Una polaridad es una correlación que también es una involución .

Secciones cónicas generales

Line p es la línea polar al punto P , l a L y m para M

p es la línea polar al punto P  ; m es la línea polar a M

Los conceptos de polo, polar y reciprocidad se pueden generalizar de círculos a otras secciones cónicas que son la elipse , hipérbola y parábola . Esta generalización es posible porque las secciones cónicas resultan de la reciprocidad de un círculo en otro círculo, y las propiedades involucradas, como la incidencia y la relación cruzada , se conservan en todas las transformaciones proyectivas .

Calcular la polar de un punto

Una sección cónica general se puede escribir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) del plano.

${\ Displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,}$

donde A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y y C son las constantes que definen la ecuación. Para tal sección cónica, la línea polar a un punto polar dado (ξ, η) está definida por la ecuación

${\ Displaystyle Dx + Ey + F = 0 \,}$

donde D , E y F son igualmente constantes que dependen de las coordenadas de los polos (ξ, η)

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} D & = A_ {xx} \ xi + A_ {xy} \ eta + B_ {x} \\ E & = A_ {xy} \ xi + A_ {yy} \ eta + B_ {y } \\ F & = B_ {x} \ xi + B_ {y} \ eta + C \, \ end {alineado}}}$

Calcular el polo de una línea

El polo de la línea , en relación con la sección cónica no degenerada ${\ Displaystyle Dx + Ey + F = 0}$

${\ Displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,}$

se puede calcular en dos pasos.

Primero, calcule los números x, y y z de

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A_ {xx} & A_ {xy} & B_ {x} \\ A_ {xy} & A_ {yy } & B_ {y} \\ B_ {x} & B_ {y} & C \ end {bmatrix}} ^ {- 1} \ cdot {\ begin {bmatrix} D \\ E \\ F \ end {bmatrix}}}$

Ahora, el polo es el punto con coordenadas. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {z}}, {\ frac {y} {z}} \ right)}$

Tablas de relaciones polo-polares

• Relación polo-polar para una elipse
• Relación polo-polar para una hipérbola
• Relación polo-polar para una parábola

cónico	ecuación	polar de punto ${\ Displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$
circulo	${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x + y_ {0} y = r ^ {2}}$
elipse	${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}$	${\ Displaystyle {\ frac {x_ {0} x} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {0} y} {b ^ {2}}} = 1}$
hipérbola	${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}$	${\ displaystyle {\ frac {x_ {0} x} {a ^ {2}}} - {\ frac {y_ {0} y} {b ^ {2}}} = 1}$
parábola	${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$	${\ Displaystyle y + y_ {0} = 2ax_ {0} x}$

cónico	ecuación	polo de la línea ux + vy = w
circulo	${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ Displaystyle ({\ frac {r ^ {2} u} {w}}, \; {\ frac {r ^ {2} v} {w}})}$
elipse	${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}$	${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} u} {w}}, \; {\ frac {b ^ {2} v} {w}})}$
hipérbola	${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}$	${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} u} {w}}, \; {\ frac {-b ^ {2} v} {w}})}$
parábola	${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$	${\ Displaystyle ({\ frac {-u} {2av}}, \; {\ frac {-w} {v}})}$

A través de cuadrilátero completo

Dados cuatro puntos que forman un cuadrilátero completo , las líneas que conectan los puntos se cruzan en tres puntos diagonales adicionales. Dado un punto Z no en cónica C , dibujar dos secantes de Z a través de C cruce en los puntos A , B , D , y E . Luego, estos cuatro puntos forman un cuadrilátero completo con Z en uno de los puntos diagonales. La línea que une los otros dos puntos diagonales es el polo de Z , y Z es el polo de esta línea.

Aplicaciones

Los polos y los polares fueron definidos por Joseph Diaz Gergonne y juegan un papel importante en su solución del problema de Apolonio .

En dinámica plana, un polo es un centro de rotación, el polar es la línea de acción de la fuerza y ​​el cónico es la matriz masa-inercia. La relación polo-polar se utiliza para definir el centro de percusión de un cuerpo rígido plano. Si el polo es el punto de articulación, entonces el polar es la línea de acción de percusión como se describe en la teoría del tornillo plano .

Ver también

• Polígono dual
• Poliedro doble
• Curva polar
• Geometría proyectiva
• Conjugados armónicos proyectivos

Bibliografía

• Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 100-105.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). La geometría revisada . Washington : MAA . pp.  132 -136, 150. ISBN   978-0-88385-619-2 .
• Gray JJ (2007). Mundos de la nada: un curso en la historia de la geometría en el siglo XIX . Londres: Springer Verlag. págs.  21 . ISBN   978-1-84628-632-2 .
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 43–45. LCCN   59014456 . La versión de bolsillo publicada por Dover Publications tiene el ISBN   978-0-486-41147-7 .
• Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs.  190-191 . ISBN   0-14-011813-6 .

Referencias

enlaces externos

• Animación interactiva con múltiples polos y polares en Cut-the-Knot
• Animación interactiva con un polo y su polar.
• 3D interactivo con varios polos / polares coloreados - código abierto
• Weisstein, Eric W. "Polar" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "reciprocidad" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Polo de inversión" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Curva recíproca" . MathWorld .
• Tutorial en Math-abundance