Antihomomorfismo - Antihomomorphism

En matemáticas , un antihomomorfismo es un tipo de función definida en conjuntos con multiplicación que invierte el orden de multiplicación . Un antiautomorfismo es un antihomomorfismo biyectivo , es decir, un antiisomorfismo , de un conjunto a sí mismo. De la bijetividad se deduce que los antiautomorfismos tienen inversas y que la inversa de un antiautomorfismo es también un antiautomorfismo.

Definición

De manera informal, un antihomomorfismo es un mapa que cambia el orden de multiplicación. Formalmente, un antihomomorfismo entre estructuras y es un homomorfismo , donde es igual a un conjunto, pero tiene su multiplicación invertida a la definida en . Denotando la multiplicación (generalmente no conmutativa ) en por , la multiplicación en , denotada por , se define por . El objeto se llama el objeto opuesta a (respectivamente, grupo opuesto , álgebra opuesta , categoría opuesto etc.).

Esta definición es equivalente a la de un homomorfismo (invertir la operación antes o después de aplicar el mapa es equivalente). Formalmente, el envío de y actuando como la identidad de los mapas es un funtor (de hecho, una involución ).

Ejemplos de

En teoría de grupos , un antihomomorfismo es un mapa entre dos grupos que invierte el orden de multiplicación. Entonces, si φ  : XY es un antihomomorfismo de grupo,

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

para todas las x , y en X .

El mapa que envía x a x -1 es un ejemplo de un antiautomorphism grupo. Otro ejemplo importante es la operación de transposición en álgebra lineal , que convierte los vectores de fila en vectores de columna . Cualquier ecuación de matriz vectorial puede transponerse a una ecuación equivalente en la que se invierte el orden de los factores.

Con matrices, un ejemplo de un antiautomorfismo viene dado por el mapa de transposición. Dado que tanto la inversión como la transposición dan antiautomorfismos, su composición es un automorfismo. Esta involución se denomina a menudo mapa de contragredientes y proporciona un ejemplo de un automorfismo externo del grupo lineal general GL ( n , F ) , donde F es un campo, excepto cuando | F | = 2 y n = 1 o 2 , o | F | = 3 y n = 1 (es decir, para los grupos GL (1, 2) , GL (2, 2) , y GL (1, 3) ).

En la teoría de anillos , un antihomomorfismo es un mapa entre dos anillos que conserva la suma, pero invierte el orden de multiplicación. Entonces φ  : XY es un antihomomorfismo en anillo si y solo si:

φ (1) = 1
φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )
φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

para todas las x , y en X .

Para álgebra sobre un campo K , φ debe ser un K - aplicación lineal de la subyacente espacio vectorial . Si el campo subyacente tiene una involución, se puede pedir a φ que sea conjugado-lineal , como en la transposición conjugada, a continuación.

Involuciones

Con frecuencia ocurre que los antiautomorfismos son involuciones , es decir, el cuadrado del antiautomorfismo es el mapa de identidad ; estos también se llaman antiautomorfismo involutivo s. Por ejemplo, en cualquier grupo, el mapa que envíaxa suinversa x−1es un antiautomorfismo involutivo.

Un anillo con un antiautomorfismo involutivo se llama * -ring , y estos forman una clase importante de ejemplos .

Propiedades

Si el objetivo Y es conmutativo, entonces un antihomomorfismo es lo mismo que un homomorfismo y un antiautomorfismo es lo mismo que un automorfismo .

La composición de dos antihomomorfismos es siempre un homomorfismo, ya que invertir el orden dos veces conserva el orden. La composición de un antihomomorfismo con un homomorfismo da otro antihomomorfismo.

Ver también

Referencias