Categoría de hormigón - Concrete category

En matemáticas , una categoría concreta es una categoría que está equipada con un functor fiel a la categoría de conjuntos (o, a veces, a otra categoría, ver Concreción relativa más adelante ). Este funtor permite pensar en los objetos de la categoría como conjuntos con estructura adicional y en sus morfismos como funciones preservadoras de estructura. Muchas categorías importantes tienen interpretaciones obvias como categorías concretas, por ejemplo, la categoría de espacios topológicos y la categoría de grupos , y trivialmente también la categoría de conjuntos en sí. Por otro lado, la categoría de homotopía de espacios topológicos no es concretizable , es decir, no admite un funtor fiel a la categoría de conjuntos.

Una categoría concreta, cuando se define sin hacer referencia a la noción de categoría, consiste en una clase de objetos , cada uno equipado con un conjunto subyacente ; y para cualquier dos objetos A y B un conjunto de funciones, denominadas morfismos , desde el conjunto subyacente de A al conjunto subyacente de B . Además, para cada objeto A , la función de identidad en el conjunto subyacente de A debe ser un morfismo de A a A , y la composición de un morfismo de A a B seguido de un morfismo de B a C debe ser un morfismo de A a C .

Definición

Una categoría concreta es un par ( C , U ) tal que

• C es una categoría y
• U  : C → Set (la categoría de conjuntos y funciones) es un functor fiel .

El funtor U debe considerarse como un funtor olvidadizo , que asigna a cada objeto de C su "conjunto subyacente" y a cada morfismo en C su "función subyacente".

Una categoría C es concretizable si existe una categoría concreta ( C , U ); es decir, si existe un functor fiel U :  C → Set . Todas las categorías pequeñas son concretizables: defina U de modo que su parte de objeto asigne cada objeto b de C al conjunto de todos los morfismos de C cuyo codominio es b (es decir, todos los morfismos de la forma f : a → b para cualquier objeto a de C ) , y su parte de morfismo asigna cada morfismo g : b → c de C a la función U ( g ): U ( b ) → U ( c ) que asigna cada miembro f : a → b de U ( b ) a la composición gf : a → c , miembro de U ( c ). (Punto 6 bajo Otros ejemplos expresa la misma U en lenguaje menos elemental a través de prehaces). El contra-ejemplos sección presenta dos grandes categorías que no son concretizable.

Observaciones

Es importante señalar que, contrariamente a la intuición, la concreción no es una propiedad que una categoría puede o no satisfacer, sino más bien una estructura con la que una categoría puede o no estar equipada. En particular, una categoría C puede admitir varios functores fieles en el Conjunto . Por lo tanto puede haber varias categorías concretas ( C ,  T ) todos los correspondientes a la misma categoría C .

En la práctica, sin embargo, la elección del functor fiel suele ser clara y en este caso simplemente hablamos de la "categoría concreta C ". Por ejemplo, "la categoría concreta Conjunto " significa el par ( Conjunto ,  I ) donde I denota el functor de identidad Conjunto → Conjunto .

El requisito de que U sea ​​fiel significa que asigna diferentes morfismos entre los mismos objetos a diferentes funciones. Sin embargo, U puede asignar diferentes objetos al mismo conjunto y, si esto ocurre, también asignará diferentes morfismos a la misma función.

Por ejemplo, si S y T son dos topologías diferentes en el mismo conjunto X , entonces ( X ,  S ) y ( X ,  T ) son objetos distintos en la categoría Top de espacios topológicos y mapas continuos, pero asignados al mismo conjunto X por el functor olvidadizo Top → Set . Además, el morfismo de identidad ( X ,  S ) → ( X ,  S ) y el morfismo de identidad ( X ,  T ) → ( X ,  T ) se consideran morfismos distintos en Top , pero tienen la misma función subyacente, es decir, la función de identidad en X .

De manera similar, cualquier conjunto con cuatro elementos puede recibir dos estructuras de grupo no isomorfas: una isomorfa a y la otra isomorfa a . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$

Más ejemplos

1. Cualquier grupo G puede considerarse como una categoría "abstracta" con un objeto arbitrario y un morfismo para cada elemento del grupo. Esto no se consideraría concreto de acuerdo con la noción intuitiva descrita al principio de este artículo. Pero cada G -set fiel (de manera equivalente, cada representación de G como un grupo de permutaciones ) determina un funtor fiel G → Set . Dado que cada grupo actúa fielmente sobre sí mismo, G se puede convertir en una categoría concreta al menos de una manera.${\ Displaystyle \ ast}$
2. De manera similar, cualquier poset P puede considerarse como una categoría abstracta con una flecha única x → y siempre que x ≤ y . Esto puede hacerse de hormigón mediante la definición de un funtor D  : P → Set que mapea cada objeto x a y cada flecha x → y al mapa de inclusión .${\ Displaystyle D (x) = \ {a \ in P: a \ leq x \}}$${\ Displaystyle D (x) \ hookrightarrow D (y)}$
3. La categoría Rel cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son relaciones se puede concretar tomando U para mapear cada conjunto X con su conjunto de potencias y cada relación con la función definida por . Teniendo en cuenta que los conjuntos de potencias son retículos completos bajo inclusión, las funciones entre ellos que surgen de alguna relación R de esta manera son exactamente los mapas que preservan el supremo . Por lo tanto, Rel es equivalente a una subcategoría completa de la categoría Sup de celosías completas y sus mapas sup-preservadores. Por el contrario, a partir de esta equivalencia podemos recuperar U como el compuesto Rel → Sup → Conjunto del functor olvidadizo para Sup con esta incrustación de Rel en Sup .${\ Displaystyle 2 ^ {X}}$${\ Displaystyle R \ subseteq X \ times Y}$${\ Displaystyle \ rho: 2 ^ {X} \ rightarrow 2 ^ {Y}}$${\ Displaystyle \ rho (A) = \ {y \ en Y \ mid \ existe \, x \ en A: xRy \}}$
4. La categoría Conjunto ^op se puede incrustar en Rel representando cada conjunto como sí mismo y cada función f : X → Y como la relación de Y a X formada como el conjunto de pares ( f ( x ), x ) para todo x ∈ X ; por tanto, Set ^op es concretizable. El functor olvidadizo que surge de esta manera es el functor de conjunto de potencias contravariante Set ^op → Set .
5. Se deduce del ejemplo anterior que el opuesto de cualquier categoría C concretizable es nuevamente concretizable, ya que si U es un funtor fiel C → Set, entonces C ^op puede estar equipado con el compuesto C ^op → Set ^op → Set .
6. Si C es una categoría pequeña, entonces existe un functor fiel P  : Set ^{C op} → Set que mapea una prehecha X al coproducto . Al componer esto con Yoneda incrustando Y : C → Conjunto ^{C op,} se obtiene un fiel functor C → Conjunto .${\ Displaystyle \ coprod _ {c \ in \ mathrm {ob} C} X (c)}$
7. Por razones técnicas, la categoría Ban ₁ de espacios de Banach y contracciones lineales a menudo no está equipada con el functor olvidadizo "obvio" sino con el functor U ₁  : Ban ₁ → Conjunto que asigna un espacio de Banach a su bola unitaria (cerrada) .
8. La categoría Gato cuyos objetos son categorías pequeñas y cuyos morfismos son functores se puede concretar enviando cada categoría C al conjunto que contiene sus objetos y morfismos. Los funciones pueden verse simplemente como funciones que actúan sobre los objetos y morfismos.

Contraejemplos

La categoría hTop , donde los objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas, es un ejemplo de una categoría que no es concretizable. Si bien los objetos son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones. El hecho de que no exista ningún functor fiel de hTop a Set fue probado por primera vez por Peter Freyd . En el mismo artículo, Freyd cita un resultado anterior de que la categoría de "categorías pequeñas y equivalencia natural - clases de functores" tampoco es concretizable.

Estructura implícita de categorías concretas

Dada una categoría de hormigón ( C ,  T ) y un número cardinal N , deja U ^N sea el funtor C → Set determinada por U ^N = (U (c)) (c) ^N . Entonces, un subfunctor de U ^N se llama predicado N-ario y una transformación natural U ^N → U una operación N-aria .

La clase de todos los N -predicados y las N -operaciones de una categoría concreta ( C , U ), con N que se extiende sobre la clase de todos los números cardinales, forma una firma grande . La categoría de modelos para esta firma a continuación, contiene una subcategoría completa que es equivalente a C .

Concreción relativa

En algunas partes de la teoría de categorías, sobre todo en la teoría de topos , es común reemplazar el conjunto de categorías con una categoría X diferente , a menudo llamada categoría base . Por esta razón, tiene sentido llamar a un par ( C ,  T ), donde C es una categoría y T fiel funtor C → X una categoría concreta sobre X . Por ejemplo, puede ser útil pensar en los modelos de una teoría con N tipo como la formación de una categoría de hormigón sobre Set ^N .

En este contexto, una categoría concreta sobre Set a veces se denomina construcción .

Notas

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E .; (1990). Categorías abstractas y concretas (4.2MB PDF). Originalmente publ. John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea).
• Freyd, Peter; (1970). La homotopía no es concreta . Publicado originalmente en: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Publicado gratuitamente en una revista en línea: Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, No. 6 (2004), con el permiso de Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Categorías concretas y lenguajes infinitarios . Journal of Pure and Applied Algebra , Volumen 22, Número 3.