Álgebra de operadores - Operator algebra

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un álgebra de operadores es un álgebra de operadores lineales continuos en un espacio vectorial topológico , con la multiplicación dada por la composición de mapeos .

Los resultados obtenidos en el estudio de las álgebras de operadores están redactados en términos algebraicos , mientras que las técnicas utilizadas son altamente analíticas . Aunque el estudio de las álgebras de operadores generalmente se clasifica como una rama del análisis funcional, tiene aplicaciones directas a la teoría de la representación , la geometría diferencial , la mecánica estadística cuántica , la información cuántica y la teoría cuántica de campos .

Descripción general

Las álgebras de operadores se pueden utilizar para estudiar conjuntos arbitrarios de operadores con poca relación algebraica simultáneamente . Desde este punto de vista, las álgebras de operadores pueden considerarse como una generalización de la teoría espectral de un solo operador. En general, las álgebras de operadores son anillos no conmutativos .

Por lo general, se requiere que un álgebra de operadores esté cerrada en una topología de operador especificada dentro de todo el álgebra de operadores lineales continuos. En particular, es un conjunto de operadores con propiedades de cierre algebraicas y topológicas. En algunas disciplinas tales propiedades se axiomizan y las álgebras con cierta estructura topológica se convierten en el tema de la investigación.

Aunque las álgebras de operadores se estudian en varios contextos (por ejemplo, álgebras de operadores pseudo-diferenciales que actúan sobre espacios de distribuciones ), el término álgebra de operadores se usa generalmente en referencia a álgebras de operadores acotados en un espacio de Banach o, incluso más especialmente en referencia a álgebras de operadores en un espacio de Hilbert separable , dotado de la topología de norma de operador .

En el caso de operadores en un espacio de Hilbert, el mapa adjunto hermitiano de operadores da una involución natural , que proporciona una estructura algebraica adicional que se puede imponer al álgebra. En este contexto, los ejemplos mejor estudiados son las álgebras de operadores autoadjuntos , lo que significa que están cerrados bajo adjuntos. Estos incluyen C * -álgebras , álgebra de von Neumann , y AW * -algebra . C * -álgebras se pueden caracterizar fácilmente de forma abstracta por una condición que relaciona la norma, la involución y la multiplicación. Tales álgebras C * definidas de manera abstracta pueden identificarse con una cierta subálgebra cerrada del álgebra de los operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert adecuado. Un resultado similar es válido para las álgebras de von Neumann.

Las álgebras conmutativas de operadores autoadjuntos pueden considerarse como el álgebra de funciones continuas de valor complejo en un espacio localmente compacto , o el de funciones medibles en un espacio estándar medible . Por lo tanto, las álgebras de operadores generales a menudo se consideran como generalizaciones no conmutativas de estas álgebras, o la estructura del espacio base en el que se definen las funciones. Este punto de vista se elabora como la filosofía de la geometría no conmutativa , que intenta estudiar diversos objetos no clásicos y / o patológicos mediante álgebras de operadores no conmutativos.

Ejemplos de álgebras de operadores que no son autoadjuntos incluyen:

Ver también

Referencias

Otras lecturas

  • Blackadar, Bruce (2005). Álgebras de operador: Teoría de C * -Álgebras y Álgebras de von Neumann . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, Teoría de las álgebras del operador I , Springer, 2001.