Campo tensorial - Tensor field

En matemáticas y física , un campo tensor asigna un tensor a cada punto de un espacio matemático (típicamente un espacio o variedad euclidiana ). Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial , geometría algebraica , relatividad general , en el análisis de tensiones y deformaciones en materiales y en numerosas aplicaciones en las ciencias físicas . Como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo, la velocidad) y un vector (un número puro más una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar o campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector a cada punto del espacio.

Muchas estructuras matemáticas llamadas "tensores" son campos tensoriales. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann no es un tensor, como su nombre lo indica, sino un campo de tensor : recibe el nombre de Bernhard Riemann y asocia un tensor a cada punto de una variedad de Riemann , que es un espacio topológico .

Introducción geométrica

Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una "flecha" adjunta a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de un campo vectorial en un espacio curvo es un mapa meteorológico que muestra la velocidad del viento horizontal en cada punto de la superficie de la Tierra.

La idea general de campo tensorial combina el requisito de una geometría más rica, por ejemplo, un elipsoide que varía de un punto a otro, en el caso de un tensor métrico , con la idea de que no queremos que nuestra noción dependa del método particular de mapeo de la superficie. Debe existir independientemente de la latitud y la longitud, o cualquier "proyección cartográfica" particular que estemos usando para introducir coordenadas numéricas.

A través de transiciones de coordenadas

Siguiendo a Schouten (1951) y McConnell (1957) , el concepto de tensor se basa en un concepto de marco de referencia (o sistema de coordenadas ), que puede ser fijo (en relación con algún marco de referencia de fondo), pero en general puede permitirse que varían dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas.

Por ejemplo, las coordenadas que pertenecen al espacio de coordenadas reales n- dimensionales pueden estar sujetas a transformaciones afines arbitrarias : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle x ^ {k} \ mapsto A_ {j} ^ {k} x ^ {j} + a ^ {k}}$

(con índices n- dimensionales, suma implícita ). Un vector covariante, o covector, es un sistema de funciones que se transforma bajo esta transformación afín por la regla ${\ Displaystyle v_ {k}}$

${\ Displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k} ^ {i}.}$

La lista de vectores de base de coordenadas cartesianas se transforma como un covector, ya que bajo la transformación afín . Un vector contravariante es un sistema de funciones de las coordenadas que, bajo tal transformación afín, sufre una transformación ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k} ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle v ^ {k}}$

${\ Displaystyle v ^ {k} \ mapsto (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {k} v ^ {j}.}$

Este es precisamente el requisito necesario para asegurar que la cantidad sea ​​un objeto invariante que no dependa del sistema de coordenadas elegido. De manera más general, un tensor de valencia ( p , q ) tiene p índices abajo yq índices arriba, siendo la ley de transformación ${\ Displaystyle v ^ {k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ Displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}} ^ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} \ cdots A_ {i_ {p}} ^ {i '_ {p}} {T_ {i' _ {1} \ cdots i '_ {p}}} ^ {j' _ {1} \ cdots j '_ { q}} (A ^ {- 1}) _ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} \ cdots (A ^ {- 1}) _ {j' _ {q}} ^ {j_ { q}}.}$

El concepto de campo tensorial se puede obtener especializando las transformaciones de coordenadas permitidas para que sean suaves (o diferenciables , analíticas , etc.). Un campo covector es una función de las coordenadas que transforma el jacobiano de las funciones de transición (en la clase dada). Asimismo, un campo vectorial contravariante se transforma por el jacobiano inverso. ${\ Displaystyle v_ {k}}$${\ Displaystyle v ^ {k}}$

Paquetes de tensores

Un haz tensorial es un haz de fibras donde la fibra es un producto tensorial de cualquier número de copias del espacio tangente y / o espacio cotangente del espacio base, que es una variedad. Como tal, la fibra es un espacio vectorial y el paquete tensorial es un tipo especial de paquete vectorial .

El haz de vector es una idea natural de "espacio vectorial dependiendo continuamente (o suavidad) en parámetros" - los parámetros son los puntos de un colector M . Por ejemplo, un espacio vectorial de una dimensión dependiendo de un ángulo podría verse como una tira de Möbius o alternativamente como un cilindro . Dado un paquete de vectores V sobre M , el concepto de campo correspondiente se llama una sección del paquete: para m que varía sobre M , una elección de vector

v _m en V _m ,

donde V _m es el espacio vectorial "en" m .

Dado que el concepto de producto tensorial es independiente de cualquier elección de base, tomar el producto tensorial de dos paquetes de vectores en M es una rutina. Comenzando con el paquete tangente (el paquete de espacios tangentes ), todo el aparato explicado en el tratamiento sin componentes de tensores se transfiere de manera rutinaria, nuevamente independientemente de las coordenadas, como se menciona en la introducción.

Por lo tanto, podemos dar una definición de campo tensorial , es decir, como una sección de algún paquete tensorial . (Hay paquetes de vectores que no son paquetes de tensores: la banda de Möbius, por ejemplo). Este es entonces contenido geométrico garantizado, ya que todo se ha hecho de manera intrínseca. Más precisamente, un campo tensorial asigna a cualquier punto dado de la variedad un tensor en el espacio

${\ Displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*},}$

donde V es el espacio tangente en ese punto y V ^∗ es el espacio cotangente . Consulte también paquete tangente y paquete cotangente .

Dados dos haces de tensores E → M y F → M , un mapa lineal A : Γ ( E ) → Γ ( F ) desde el espacio de las secciones de E a las secciones de F puede considerarse a sí mismo como una sección tensorial de si y solo si satisface a ( fs ) = fA ( s ), para cada sección de s en Γ ( e cada función lisa) y f en M . Por lo tanto, una sección tensorial no es solo un mapa lineal en el espacio vectorial de secciones, sino un mapa lineal C ^∞ ( M ) en el módulo de secciones. Esta propiedad se utiliza para comprobar, por ejemplo, que aunque la derivada de Lie y la derivada covariante no son tensores, los tensores de torsión y curvatura construidos a partir de ellos sí lo son. ${\ Displaystyle \ scriptstyle E ^ {*} \ otimes F}$

Notación

La notación para los campos tensoriales a veces puede ser confusamente similar a la notación para los espacios tensoriales. Por lo tanto, el paquete tangente TM = T ( M ) a veces se puede escribir como

${\ Displaystyle T_ {0} ^ {1} (M) = T (M) = TM}$

hacer hincapié en que el paquete de la tangente es el espacio gama de los campos (1,0) del tensor (es decir, los campos de vectores) en el colector de M . Esto no debe confundirse con la notación de aspecto muy similar

${\ Displaystyle T_ {0} ^ {1} (V)}$;

en el último caso, sólo tenemos un espacio tensor, mientras que en el primer caso, tenemos un espacio tensor definido para cada punto en el colector de M .

(Escritura) cartas rizados se utilizan a veces para denotar el conjunto de infinitamente diferenciables campos tensoriales en M . Por lo tanto,

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n} ^ {m} (M)}$

son las secciones del paquete tensorial ( m , n ) en M que son infinitamente diferenciables. Un campo tensorial es un elemento de este conjunto.

La explicación del módulo C ^∞ ( M )

Existe otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar los campos tensoriales en una variedad M , que convierte los campos tensoriales en tensores honestos (es decir, asignaciones multilineales simples ), aunque de un tipo diferente (aunque no suele ser por eso que se dice " tensor "cuando realmente significa" campo tensor "). Primero, podemos considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves (C ^∞ ) en M , (ver la sección sobre notación anterior) como un solo espacio - un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C ^∞ ( M ), por escalar puntual multiplicación. Las nociones de multilinealidad y productos tensoriales se extienden fácilmente al caso de los módulos sobre cualquier anillo conmutativo . ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Como ejemplo motivador, considérese el espacio de los campos de codificación suave ( 1-formas ), también un módulo sobre las funciones suaves. Estos actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante una evaluación puntual, es decir, dado un campo covector ω y un campo vectorial X , definimos ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

( ω ( X )) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p )).

Debido a la naturaleza puntual de todo lo involucrado, la acción de ω sobre X es un mapa lineal C ^∞ ( M ), es decir,

( ω ( fX )) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p )) = ( fω ) ( p ) ( X ( p )) = ( fω ( X )) ( p )

para cualquier p en M y función suave f . Por lo tanto, podemos considerar los campos de codificador no solo como secciones del paquete cotangente, sino también como asignaciones lineales de campos vectoriales en funciones. Mediante la construcción doble-dual, los campos vectoriales pueden expresarse de manera similar como asignaciones de campos de codificador en funciones (es decir, podríamos comenzar "de forma nativa" con campos de codificador y trabajar desde allí).

En un completo paralelo a la construcción de tensores simples ordinarios (¡no campos tensoriales!) En M como mapas multilineales en vectores y covectores, podemos considerar los campos tensoriales generales ( k , l ) en M como C ^∞ ( M ) - mapas multilineales definidos en l copias de y k copias de en C ^∞ ( M ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

Ahora bien, dado cualquier asignación arbitraria T partir de un producto de k copias de y l copias de en C ^∞ ( M ), resulta que surge de un campo tensor en M si y sólo si es multilineal sobre C ^∞ ( M ) . Por lo tanto, este tipo de multilinealidad expresa implícitamente el hecho de que realmente estamos tratando con un objeto definido puntualmente, es decir, un campo tensorial, en contraposición a una función que, incluso cuando se evalúa en un solo punto, depende de todos los valores de los campos vectoriales. y formas 1 simultáneamente. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Un ejemplo de aplicación frecuente de esta regla general está mostrando que la conexión de Levi-Civita , que es una asignación de campos vectoriales suaves que tienen un par de campos vectoriales a un campo de vector, no define un campo tensor en M . Esto se debe a que solo es R- lineal en Y (en lugar de la total linealidad C ^∞ ( M ), satisface la regla de Leibniz, )). Sin embargo, se debe enfatizar que aunque no es un campo tensorial, aún califica como un objeto geométrico con una interpretación libre de componentes. ${\ Displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f \ nabla _ {X} Y}$

Aplicaciones

El tensor de curvatura se analiza en geometría diferencial y el tensor de tensión-energía es importante en física, y estos dos tensores están relacionados por la teoría de la relatividad general de Einstein .

En el electromagnetismo , los campos eléctricos y magnéticos se combinan en un campo tensor electromagnético .

Vale la pena señalar que las formas diferenciales , utilizadas para definir la integración en variedades, son un tipo de campo tensorial.

Cálculo tensorial

En la física teórica y otros campos, las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de campos tensoriales proporcionan una forma muy general de expresar relaciones que son tanto de naturaleza geométrica (garantizada por la naturaleza tensorial) como convencionalmente vinculadas al cálculo diferencial . Incluso para formular tales ecuaciones se requiere una noción nueva, la derivada covariante . Esto maneja la formulación de variación de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial . La noción original de cálculo diferencial absoluto , que más tarde se denominó cálculo tensorial , llevó al aislamiento del concepto geométrico de conexión .

Torciendo por un paquete de líneas

Una extensión de la idea de campo de tensores incorpora un extra de línea de haz L de M . Si W es el paquete de productos tensor de V con L , entonces W es un haz de espacios vectoriales de sólo la misma dimensión que V . Esto permite definir el concepto de densidad tensorial , un tipo "retorcido" de campo tensorial. Una densidad tensor es el caso especial donde L es el haz de densidades en un colector , a saber, el haz determinante del fibrado cotangente . (Para ser estrictamente precisos, también se debe aplicar el valor absoluto a las funciones de transición ; esto hace poca diferencia para una variedad orientable ). Para una explicación más tradicional, vea el artículo de densidad de tensor .

Una característica del conjunto de densidades (asumiendo nuevamente la orientabilidad) L es que L ^s está bien definido para valores numéricos reales de s ; esto se puede leer en las funciones de transición, que toman valores reales estrictamente positivos. Esto significa, por ejemplo, que podemos tomar una densidad media , el caso donde s = ½. En general, podemos tomar secciones de W , el producto tensorial de V con L ^s , y considerar campos de densidad de tensor con peso s .

Las medias densidades se aplican en áreas como la definición de operadores integrales en variedades y la cuantificación geométrica .

El caso plano

Cuando M es un espacio euclidiano y todos los campos se toman como invariantes por las traslaciones de los vectores de M , volvemos a una situación en la que un campo tensorial es sinónimo de un tensor 'sentado en el origen'. Esto no causa gran daño y se usa a menudo en aplicaciones. Aplicado a las densidades de tensores, hace una diferencia. El conjunto de densidades no puede definirse seriamente "en un punto"; y, por tanto, una limitación del tratamiento matemático contemporáneo de los tensores es que las densidades de los tensores se definen de forma indirecta.

Ciclos y reglas de la cadena

Como una explicación avanzada del concepto de tensor , se puede interpretar la regla de la cadena en el caso multivariable, aplicada a cambios de coordenadas, también como el requisito de conceptos autoconsistentes de tensor que dan lugar a campos tensoriales.

De manera abstracta, podemos identificar la regla de la cadena como un ciclo 1 . Da la consistencia necesaria para definir el paquete tangente de forma intrínseca. Los otros paquetes vectoriales de tensores tienen ciclos comparables, que provienen de la aplicación de propiedades functoriales de construcciones de tensores a la regla de la cadena misma; por eso también son conceptos intrínsecos (leídos, "naturales").

Lo que generalmente se conoce como el enfoque "clásico" de los tensores intenta leer esto al revés y, por lo tanto, es un enfoque heurístico y post hoc en lugar de uno verdaderamente fundamental. Implícito en la definición de tensores por cómo se transforman bajo un cambio de coordenadas está el tipo de autoconsistencia que expresa el ciclo. La construcción de densidades de tensor es una "torsión" a nivel del ciclo. Los geómetros no han tenido ninguna duda sobre la naturaleza geométrica de las cantidades tensoriales ; este tipo de argumento de la descendencia justifica de manera abstracta toda la teoría.

Generalizaciones

Densidades de tensor

El concepto de campo tensorial se puede generalizar considerando objetos que se transforman de manera diferente. Un objeto que se transforma como un campo tensorial ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también se multiplica por el determinante del jacobiano de la transformación de coordenadas inversa a la potencia w , se llama densidad tensorial con peso w . De manera invariable, en el lenguaje del álgebra multilineal, uno puede pensar en las densidades de tensores como mapas multilineales que toman sus valores en un conjunto de densidades como el espacio (unidimensional) de n- formas (donde n es la dimensión del espacio), como en lugar de tomar sus valores en apenas R . Los "pesos" más altos corresponden entonces a tomar productos tensores adicionales con este espacio en el rango.

Un caso especial son las densidades escalares. Las densidades escalares 1 son especialmente importantes porque tiene sentido definir su integral sobre una variedad. Aparecen, por ejemplo, en la acción de Einstein-Hilbert en la relatividad general. El ejemplo más común de una densidad 1 escalar es el elemento de volumen , que en presencia de un tensor métrico g es la raíz cuadrada de su determinante en coordenadas, denotado . El tensor métrico es un tensor covariante de orden 2, por lo que su determinante se escala por el cuadrado de la transición de coordenadas: ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ det g}}}$

${\ Displaystyle \ det (g ') = \ left (\ det {\ frac {\ partial x} {\ partial x'}} \ right) ^ {2} \ det (g),}$

que es la ley de transformación para una densidad escalar de peso +2.

De manera más general, cualquier densidad de tensor es el producto de un tensor ordinario con una densidad escalar del peso apropiado. En el lenguaje de los paquetes vectoriales , el paquete determinante del paquete tangente es un paquete de líneas que se puede usar para "retorcer" otros paquetes w veces. Si bien a nivel local la ley de transformación más general puede usarse para reconocer estos tensores, surge una pregunta global que refleja que en la ley de transformación se puede escribir el determinante jacobiano o su valor absoluto. Las potencias no integrales de las funciones de transición (positivas) del conjunto de densidades tienen sentido, de modo que el peso de una densidad, en ese sentido, no se restringe a valores enteros. Restringir a cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo es posible en variedades orientables , porque hay una forma global consistente de eliminar los signos menos; pero por lo demás, el conjunto de líneas de densidades y el conjunto de líneas de n- formas son distintos. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte densidad en una variedad .

Ver también

• Paquete Jet
• Cálculo de Ricci  : notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensor
• Campo spinor

Notas

Referencias

• Frankel, T. (2012), La geometría de la física (tercera edición) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Universidad Abierta], RJA (2010), Relatividad, Gravitación y Cosmología , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Encyclopaedia of Physics (2.a edición) , VHC Publishers.
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• Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). La topología de los paquetes de fibra . Serie matemática de Princeton. 14 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .