Tensor de torsión - Torsion tensor

Torsión a lo largo de una geodésica.

En geometría diferencial , la noción de torsión es una forma de caracterizar un giro o tornillo de un marco en movimiento alrededor de una curva. La torsión de una curva , como aparece en las fórmulas de Frenet-Serret , por ejemplo, cuantifica el giro de una curva alrededor de su vector tangente a medida que la curva evoluciona (o más bien la rotación del marco Frenet-Serret alrededor del vector tangente). En la geometría de superficies, la torsión geodésica describe cómo una superficie gira alrededor de una curva en la superficie. La noción complementaria de curvatura mide cómo los fotogramas en movimiento "ruedan" a lo largo de una curva "sin torcerse".

De manera más general, en una variedad diferenciable equipada con una conexión afín (es decir, una conexión en el haz tangente ), la torsión y la curvatura forman las dos invariantes fundamentales de la conexión. En este contexto, la torsión proporciona una caracterización intrínseca de cómo los espacios tangentes giran alrededor de una curva cuando son transportados en paralelo ; mientras que la curvatura describe cómo los espacios tangentes ruedan a lo largo de la curva. La torsión puede describirse concretamente como un tensor , o como una forma 2 con valores vectoriales en la variedad. Si ∇ es una conexión afín en una variedad diferencial , entonces el tensor de torsión se define, en términos de campos vectoriales X e Y , por

${\ Displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

donde [ X , Y ] es el corchete de Lie de los campos vectoriales .

La torsión es particularmente útil en el estudio de la geometría de las geodésicas . Dado un sistema de geodésicas parametrizadas, se puede especificar una clase de conexiones afines que tengan esas geodésicas, pero que difieran por sus torsiones. Hay una conexión única que absorbe la torsión , generalizando la conexión Levi-Civita a otras situaciones posiblemente no métricas (como la geometría de Finsler ). La diferencia entre una conexión con torsión y una conexión correspondiente sin torsión es un tensor, llamado tensor de contorsión . La absorción de la torsión también juega un papel fundamental en el estudio de las estructuras G y el método de equivalencia de Cartan . La torsión también es útil en el estudio de familias de geodésicas no parametrizadas, a través de la conexión proyectiva asociada . En la teoría de la relatividad , estas ideas se han implementado en forma de teoría de Einstein-Cartan .

El tensor de torsión

Sea M una variedad con una conexión afín en el paquete tangente (también conocida como derivada covariante ) ∇. El tensor de torsión (a veces llamada la Cartan ( torsión ) tensor ) de ∇ es la 2-forma de valor vectorial definida en vector campos X y Y por

${\ Displaystyle T (X, Y): = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

donde [ X , Y ] es el corchete de Lie de dos campos vectoriales. Por la regla de Leibniz , T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) para cualquier función suave f . Entonces, T es tensorial , a pesar de estar definido en términos de la conexión, que es un operador diferencial de primer orden: da una forma 2 en vectores tangentes, mientras que la derivada covariante solo se define para campos vectoriales.

Componentes del tensor de torsión

Los componentes del tensor de torsión en términos de una base local ( e ₁ , ..., e _n ) de las secciones del haz tangente se pueden derivar estableciendo X = e _i , Y = e _j e introduciendo los coeficientes del conmutador γ ^k _ij e _k  : = [ e _i , e _j ] . Los componentes de la torsión son entonces ${\ Displaystyle T ^ {c} {} _ {ab}}$

${\ Displaystyle T ^ {k} {} _ {ij}: = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} - \ Gamma ^ {k} {} _ {ji} - \ gamma ^ {k} {} _ {ij}, \ quad i, j, k = 1,2, \ ldots, n.}$

Aquí están los coeficientes de conexión que definen la conexión. Si la base es holonómico continuación, los soportes de Lie se desvanecen, . Entonces . En particular (ver más abajo), mientras que las ecuaciones geodésicas determinan la parte simétrica de la conexión, el tensor de torsión determina la parte antisimétrica. ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {k}} _ {ij}}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {k} {} _ {ij} = 0}$${\ Displaystyle T ^ {k} {} _ {ij} = 2 \ Gamma ^ {k} {} _ {[ij]}}$

La forma de torsión

La forma de torsión , una caracterización alternativa de torsión, se aplica al marco haz F M del colector M . Este paquete principal está equipado con una forma de conexión ω , una forma unitaria valorada en gl ( n ) que mapea vectores verticales a los generadores de la acción correcta en gl ( n ) y entrelaza de manera equivariante la acción correcta de GL ( n ) en el haz tangente de F M con la representación adjunta en gl ( n ). El paquete de tramas también tiene una forma canónica θ, con valores en R ⁿ , definidos en una trama u ∈ F _x M (considerada como una función lineal u  : R ⁿ → T _x M ) por

${\ Displaystyle \ theta (X) = u ^ {- 1} (\ pi _ {*} (X))}$

donde π  : F M → M es el mapeo de proyección para el paquete principal y π ∗ es su avance. La forma de torsión es entonces

${\ Displaystyle \ Theta = d \ theta + \ omega \ wedge \ theta.}$

De manera equivalente, Θ = Dθ , donde D es la derivada covariante exterior determinada por la conexión.

La forma de torsión es una forma tensorial (horizontal) con valores en R ⁿ , lo que significa que bajo la acción derecha de g ∈ Gl ( n ) se transforma de manera equivariante :

${\ Displaystyle R_ {g} ^ {*} \ Theta = g ^ {- 1} \ cdot \ Theta}$

donde g actúa en el lado derecho a través de su representación adjunta en R ⁿ .

Forma de torsión en un marco

La forma de torsión puede expresarse en términos de una forma de conexión en el colector base M , escrito en un marco particular del haz tangente ( e ₁ , ..., e _n ) . La forma de conexión expresa la derivada covariante exterior de estas secciones básicas:

${\ Displaystyle D \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {\ omega ^ {j}} _ {i}.}$

La forma de soldadura para el haz tangente (en relación con este marco) es la base dual θ ⁱ ∈ T ^∗ M del e _i , de modo que θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (el delta de Kronecker ). Entonces la forma de torsión 2 tiene componentes

${\ Displaystyle \ Theta ^ {k} = d \ theta ^ {k} + {\ omega ^ {k}} _ {j} \ wedge \ theta ^ {j} = {T ^ {k}} _ {ij} \ theta ^ {i} \ wedge \ theta ^ {j}.}$

En la expresión más a la derecha,

${\ Displaystyle {T ^ {k}} _ {ij} = \ theta ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} \ mathbf {e} _ {j} - \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} - \ left [\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j} \ right] \ right) }$

son los componentes del marco del tensor de torsión, como se indica en la definición anterior.

Se puede demostrar fácilmente que Θ ^{i se} transforma tensorialmente en el sentido de que si un marco diferente

${\ Displaystyle {\ tilde {\ mathbf {e}}} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {g ^ {j}} _ {i}}$

para alguna función con valores de matriz invertible ( g ^j _i ), entonces

${\ Displaystyle {\ tilde {\ Theta}} ^ {i} = {\ left (g ^ {- 1} \ right) ^ {i}} _ {j} \ Theta ^ {j}.}$

En otros términos, Θ es un tensor de tipo (1, 2) (que lleva un índice contravariante y dos índices covariantes).

Alternativamente, la forma de soldadura puede ser caracterizada de una forma de marco independiente como el T M -valued de una sola forma θ en M correspondiente a la endomorphism identidad del paquete de la tangente bajo la dualidad isomorfismo End (T M ) ≈ T M ⊗ T ^* M . Entonces la forma de torsión 2 es una sección

${\ Displaystyle \ Theta \ in {\ text {Hom}} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ right)}$

dada por

${\ Displaystyle \ Theta = D \ theta,}$

donde D es la derivada covariante exterior . (Consulte el formulario de conexión para obtener más detalles).

Descomposición irreducible

El tensor de torsión se puede descomponer en dos partes irreductibles : una parte sin trazas y otra parte que contiene los términos de las trazas. Usando la notación de índice , la traza de T viene dada por

${\ Displaystyle a_ {i} = T ^ {k} {} _ {ik},}$

y la parte sin rastro es

${\ Displaystyle B ^ {i} {} _ {jk} = T ^ {i} {} _ {jk} + {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {j } a_ {k} - {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {k} a_ {j},}$

donde δ ⁱ _j es el delta de Kronecker .

Intrínsecamente, uno tiene

${\ Displaystyle T \ in \ operatorname {Hom} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ right).}$

La traza de T , tr T , es un elemento de T ^∗ M definido como sigue. Para cada vector fijo X ∈ T M , T define un elemento T ( X ) de Hom (T M , T M ) a través de

${\ Displaystyle T (X): Y \ mapsto T (X \ wedge Y).}$

Entonces (tr T ) ( X ) se define como el rastro de este endomorfismo. Es decir,

${\ Displaystyle (\ operatorname {tr} \, T) (X) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ operatorname {tr} (T (X)).}$

La parte libre de trazas de T es entonces

${\ Displaystyle T_ {0} = T - {\ frac {1} {n-1}} \ iota (\ operatorname {tr} \, T),}$

donde ι denota el producto interior .

Curvatura y las identidades Bianchi

El tensor de curvatura de ∇ es un mapeo T M × T M → Fin (T M ) definido en los campos vectoriales X , Y y Z por

${\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z .}$

Para los vectores en un punto, esta definición es independiente de cómo se extienden los vectores a los campos vectoriales alejados del punto (por lo tanto, define un tensor, muy parecido a la torsión).

Las identidades de Bianchi relacionan la curvatura y la torsión de la siguiente manera. Deje que denotan la suma cíclica sobre X , Y , y Z . Por ejemplo, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (R \ left (X, Y \ right) Z \ right): = R (X, Y) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X ) Y.}$

Entonces las siguientes identidades se mantienen

1. Primera identidad de Bianchi:

   ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (R \ left (X, Y \ right) Z \ right) = {\ mathfrak {S}} \ left (T \ left (T (X, Y), Z \ derecha) + \ izquierda (\ nabla _ {X} T \ derecha) \ izquierda (Y, Z \ derecha) \ derecha)}$

2. Segunda identidad de Bianchi:

   ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (\ left (\ nabla _ {X} R \ right) \ left (Y, Z \ right) + R \ left (T \ left (X, Y \ right) , Z \ derecha) \ derecha) = 0}$

La forma de curvatura y las identidades de Bianchi

La forma de curvatura es la forma 2 valorada en gl ( n )

${\ Displaystyle \ Omega = D \ omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega}$

donde, nuevamente, D denota la derivada covariante exterior. En términos de forma de curvatura y forma de torsión, las identidades de Bianchi correspondientes son

1. ${\ Displaystyle D \ Theta = \ Omega \ wedge \ theta}$
2. ${\ Displaystyle D \ Omega = 0.}$

Además, se pueden recuperar los tensores de curvatura y torsión de las formas de curvatura y torsión de la siguiente manera. En un punto u de F _x M , uno tiene

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} R (X, Y) Z & = u \ left (2 \ Omega \ left (\ pi ^ {- 1} (X), \ pi ^ {- 1} (Y) \ right ) \ right) \ left (u ^ {- 1} (Z) \ right), \\ T (X, Y) & = u \ left (2 \ Theta \ left (\ pi ^ {- 1} (X) , \ pi ^ {- 1} (Y) \ right) \ right), \ end {alineado}}}$

donde nuevamente u  : R ⁿ → T _x M es la función que especifica el marco en la fibra, y la elección de la elevación de los vectores a través de π ⁻¹ es irrelevante ya que las formas de curvatura y torsión son horizontales (desaparecen en los vectores verticales ambiguos ).

Caracterizaciones e interpretaciones

A lo largo de esta sección, se supone que M es una variedad diferenciable y ∇ una derivada covariante en el haz tangente de M, a menos que se indique lo contrario.

Retorcimiento de marcos de referencia

En la geometría diferencial clásica de curvas , las fórmulas de Frenet-Serret describen cómo un marco móvil particular (el marco de Frenet-Serret) se retuerce a lo largo de una curva. En términos físicos, la torsión corresponde al momento angular de una cima idealizada que apunta a lo largo de la tangente de la curva.

El caso de una variedad con una conexión (métrica) admite una interpretación análoga. Suponga que un observador se mueve a lo largo de una geodésica para la conexión. Por lo general, se considera que un observador de este tipo es inercial, ya que no experimenta aceleración . Suponga que además el observador lleva consigo un sistema de varillas de medición rectas rígidas (un sistema de coordenadas ). Cada varilla es un segmento recto; una geodésica . Suponga que cada barra se transporta en paralelo a lo largo de la trayectoria. El hecho de que estas barras sean transportadas físicamente a lo largo de la trayectoria significa que son arrastradas por Lie o propagadas de modo que la derivada de Lie de cada barra a lo largo de la tangente desaparece. Sin embargo, pueden experimentar un par (o fuerzas de torsión) análogas al par que siente la parte superior en el marco Frenet-Serret. Esta fuerza se mide por la torsión.

Más precisamente, suponga que el observador se mueve a lo largo de una trayectoria geodésica γ ( t ) y lleva una vara de medir a lo largo de ella. La varilla barre una superficie a medida que el observador viaja a lo largo del camino. Hay coordenadas naturales ( t , x ) a lo largo de esta superficie, donde t es el parámetro de tiempo que toma el observador y x es la posición a lo largo de la varilla de medición. La condición de que la tangente de la varilla sea paralela trasladada a lo largo de la curva es

${\ estilo de visualización \ izquierda. \ nabla _ {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ derecha | _ {x = 0} = 0.}$

En consecuencia, la torsión viene dada por

${\ Displaystyle \ left.T \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ derecha) \ derecha | _ {x = 0} = \ izquierda. \ nabla _ {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ derecha | _ {x = 0}.}$

Si no es cero, los puntos marcados en la varilla (las x = curvas constantes ) trazarán hélices en lugar de geodésicas. Tienden a girar alrededor del observador. Tenga en cuenta que para este argumento no era imprescindible que sea ​​una geodésica. Cualquier curva funcionaría. ${\ Displaystyle \ gamma (t)}$

Esta interpretación de la torsión juega un papel en la teoría del teleparallelismo , también conocida como teoría de Einstein-Cartan , una formulación alternativa de la teoría de la relatividad .

La torsión de un filamento

En la ciencia de los materiales , y especialmente en la teoría de la elasticidad , las ideas de torsión también juegan un papel importante. Un problema modela el crecimiento de las enredaderas, centrándose en la cuestión de cómo las enredaderas se las arreglan para girar alrededor de los objetos. La vid en sí está modelada como un par de filamentos elásticos enrollados entre sí. En su estado de minimización de energía, la vid crece naturalmente en forma de hélice . Pero la vid también se puede estirar para maximizar su extensión (o longitud). En este caso, la torsión de la vid está relacionada con la torsión del par de filamentos (o equivalentemente la torsión superficial de la cinta que conecta los filamentos), y refleja la diferencia entre la configuración maximizadora de longitud (geodésica) de la vid. y su configuración de minimización de energía.

Torsión y vorticidad

En la dinámica de fluidos , la torsión está naturalmente asociada a las líneas de vórtice .

Geodésica y absorción de torsión

Supongamos que γ ( t ) es una curva en M . Entonces γ es una geodésica afinamente parametrizada siempre que

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t) = 0}$

para todo el tiempo t en el dominio de γ . (Aquí el punto indica diferenciación con respecto a t , que se asocia con γ el vector tangente apuntando a lo largo de él.) Cada geodésica se determina de forma única por su vector tangente inicial en el tiempo t = 0 , . ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0)}$

Una aplicación de la torsión de una conexión implica el rociado geodésico de la conexión: aproximadamente la familia de todas las geodésicas afinamente parametrizadas. La torsión es la ambigüedad de clasificar las conexiones en términos de sus aerosoles geodésicos:

• Dos conexiones ∇ y ∇ ′ que tienen las mismas geodésicas afinamente parametrizadas (es decir, la misma pulverización geodésica) difieren solo por la torsión.

Más precisamente, si X e Y son un par de vectores tangentes en p ∈ M , entonces sea

${\ Displaystyle \ Delta (X, Y) = \ nabla _ {X} {\ tilde {Y}} - \ nabla '_ {X} {\ tilde {Y}}}$

ser la diferencia de las dos conexiones, calculada en términos de extensiones arbitrarias de X e Y desde p . Según la regla del producto de Leibniz , se ve que Δ en realidad no depende de cómo se extienden X e Y ′ (por lo que define un tensor en M ). Sean S y A las partes simétricas y alternas de Δ:

${\ Displaystyle S (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ Delta (X, Y) + \ Delta (Y, X) \ right)}$

${\ Displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ Delta (X, Y) - \ Delta (Y, X) \ right)}$

Luego

• ${\ Displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (T (X, Y) -T '(X, Y) \ right)}$ es la diferencia de los tensores de torsión.
• ∇ y ∇ ′ definen las mismas familias de geodésicas afinamente parametrizadas si y solo si S ( X , Y ) = 0 .

En otras palabras, la parte simétrica de la diferencia de dos conexiones determina si tienen las mismas geodésicas parametrizadas, mientras que la parte sesgada de la diferencia está determinada por las torsiones relativas de las dos conexiones. Otra consecuencia es:

• Dada cualquier conexión afín ∇, existe una conexión única libre de torsión ∇ ′ con la misma familia de geodésicas afinamente parametrizadas. La diferencia entre estas dos conexiones es de hecho un tensor, el tensor de torsión .

Esta es una generalización del teorema fundamental de la geometría de Riemann a conexiones afines generales (posiblemente no métricas). La selección de la conexión sin torsión única subordinada a una familia de geodésicas parametrizadas se conoce como absorción de torsión , y es una de las etapas del método de equivalencia de Cartan .

Ver también

• Tensor de contorsión
• Campo de Curtright
• Tensor de curvatura
• Conexión Levi-Civita
• Coeficiente de torsión
• Torsión de curvas

Notas

Referencias

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