Conexión Levi-Civita - Levi-Civita connection

En la geometría riemanniana o pseudoriemanniana (en particular la geometría lorentziana de la relatividad general ), la conexión Levi-Civita es la conexión única en el haz tangente de una variedad (es decir, conexión afín ) que conserva la métrica ( pseudo ) riemanniana y es la torsión. -gratis.

El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que existe una conexión única que satisface estas propiedades.

En la teoría de variedades riemannianas y pseudo-riemannianas, el término derivada covariante se usa a menudo para la conexión Levi-Civita. Los componentes (coeficientes de estructura) de esta conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel .

Historia

La conexión Levi-Civita lleva el nombre de Tullio Levi-Civita , aunque originalmente "descubierta" por Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, junto con Gregorio Ricci-Curbastro , utilizó los símbolos de Christoffel para definir la noción de transporte paralelo y explorar la relación del transporte paralelo con la curvatura , desarrollando así la noción moderna de holonomía .

En 1869, Christoffel descubrió que los componentes de la derivada intrínseca de un campo vectorial, al cambiar el sistema de coordenadas, se transforman como componentes de un vector contravariante. Este descubrimiento fue el verdadero comienzo del análisis tensorial.

En 1906, LEJ Brouwer fue el primer matemático en considerar el transporte paralelo de un vector para el caso de un espacio de curvatura constante .

En 1917, Levi-Civita señaló su importancia para el caso de una hipersuperficie inmersa en un espacio euclidiano , es decir, para el caso de una variedad riemanniana incrustada en un espacio ambiental "más grande". Interpretó la derivada intrínseca en el caso de una superficie incrustada como el componente tangencial de la derivada habitual en el espacio afín ambiental. Las nociones de Levi-Civita de derivada intrínseca y desplazamiento paralelo de un vector a lo largo de una curva tienen sentido en una variedad riemanniana abstracta, aunque la motivación original se basó en una inserción específica.${\ Displaystyle M ^ {n} \ subconjunto \ mathbf {R} ^ {n (n + 1) / 2}.}$

En 1918, independientemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtuvo resultados análogos. En el mismo año, Hermann Weyl generalizó los resultados de Levi-Civita.

Notación

• ( M , g ) denota una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana .
• TM es el paquete de la tangente de M .
• g es la de Riemann o métrica pseudo-riemanniana de M .
• X , Y , Z son campos vectoriales suaves en M , es decir, secciones suavesde TM .
• [ X , Y ] es el soporte de la mentira de X y Y . De nuevo es un campo vectorial suave.

La métrica g puede tomar hasta dos vectores o campos vectoriales X , Y como argumentos. En el primer caso, la salida es un número, el (pseudo-) producto interno de X y Y . En el último caso, el producto interno de X _p , Y _p se toma en todos los puntos p en el colector de manera que g ( X , Y ) define una función suave en M . Los campos vectoriales actúan (por definición) como operadores diferenciales en funciones suaves. En coordenadas locales , la acción dice ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

${\ estilo de visualización X (f) = X ^ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} f = X ^ {i} \ parcial _ {i} f}$

donde se usa la convención de suma de Einstein .

Definicion formal

Una conexión afín ∇ se llama conexión Levi-Civita si

1. conserva la métrica , es decir, ∇ g = 0 .
2. es de torsión exento , es decir, para cualquier vector campos X y Y tenemos ∇ _X Y - ∇ _Y X = [ X , Y ] , donde [ X , Y ] es el soporte de la mentira del vector campos X y Y .

La condición 1 anterior a veces se denomina compatibilidad con la métrica , y la condición 2 a veces se denomina simetría, cf. Haz el texto de Carmo.

Teorema fundamental de la (pseudo) geometría riemanniana

Teorema Cada variedad pseudoriemanniana tiene una conexión Levi Civita única . ${\ Displaystyle (M, g)}$${\ Displaystyle \ nabla}$

prueba : si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única. Para ver esto, desentrañe la definición de la acción de una conexión sobre tensores para encontrar

${\ Displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = (\ nabla _ {X} g) (Y, Z) + g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Por tanto, podemos escribir la condición 1 como

${\ Displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Por la simetría del tensor métrico encontramos: ${\ Displaystyle g}$

${\ Displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} + ​​Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)} - Z {\ bigl (} g (Y, X ) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y + \ nabla _ {Y} X, Z) + g (\ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {Z} X, Y) + g ( \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Z} Y, X).}$

Por la condición 2, el lado derecho es, por tanto, igual a

${\ Displaystyle 2g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g ([X, Y], Z) + g ([X, Z], Y) + g ([Y, Z], X),}$

y encontramos la fórmula de Koszul

${\ Displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ Big \ {} X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} + Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)} - Z {\ bigl (} g (X, Y) {\ bigr)} + ​​g ([X, Y], Z) -g ([ Y, Z], X) -g ([X, Z], Y) {\ Big \}}.}$

Por lo tanto, si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única, porque es arbitraria, no degenerada y el lado derecho no depende . ${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ nabla}$

Para probar la existencia, tenga en cuenta que para un campo vectorial dado y , el lado derecho de la expresión de Koszul es una función lineal en el campo vectorial , no solo lineal real. Por lo tanto, por la no degeneración de , el lado derecho define de forma única algún nuevo campo vectorial que denotamos sugestivamente como en el lado izquierdo. Al sustituir la fórmula de Koszul, ahora se comprueba eso para todos los campos vectoriales y todas las funciones.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ nabla _ {X} Y}$${\ Displaystyle X, Y, Z}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle g (\ nabla _ {X} (Y_ {1} + Y_ {2}), Z) = g (\ nabla _ {X} Y_ {1}, Z) + g (\ nabla _ {X} Y_ {2}, Z)}$

${\ Displaystyle g (\ nabla _ {X} (fY), Z) = X (f) g (Y, Z) + fg (\ nabla _ {X} Y, Z)}$

${\ Displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (\ nabla _ {X} Z, Y) = X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)}}$

${\ Displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g (\ nabla _ {Y} X, Z) = g ([X, Y], Z).}$

Por lo tanto, la expresión Koszul define, de hecho, una conexión, y esta conexión es compatible con la métrica y está libre de torsión, es decir, es una (de ahí la) conexión Levi-Civita.

Tenga en cuenta que, con variaciones menores, la misma prueba muestra que hay una conexión única que es compatible con la métrica y tiene torsión prescrita.

Símbolos de Christoffel

Sea una conexión afín en el paquete tangente. Elija coordenadas locales con campos vectoriales de base de coordenadas y escriba para . Los símbolos de Christoffel con respecto a estas coordenadas se definen como ${\ Displaystyle \ nabla}$${\ Displaystyle x ^ {1}, \ ldots, x ^ {n}}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {1}, \ ldots, \ parcial _ {n}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {j}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {j}}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l}}$${\ Displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {j} \ partial _ {k} = \ Gamma _ {jk} ^ {l} \ partial _ {l}}$

Los símbolos de Christoffel definen a la inversa la conexión en la vecindad de coordenadas porque ${\ Displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ nabla _ {X ^ {j} \ parcial _ {j}} Y = X ^ {j} \ nabla _ {j} Y = X ^ {j} \ nabla _ {j} (Y ^ {k} \ parcial _ {k}) = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {k}) \ parcial _ {k} + Y ^ { k} \ nabla _ {j} \ parcial _ {k} {\ bigr)} = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {k}) \ parcial _ {k} + Y ^ {k} \ Gamma _ {jk} ^ {l} \ parcial _ {l} {\ bigr)} = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {l}) + Y ^ {k} \ Gamma _ {jk} ^ {l} {\ bigr)} \ parcial _ {l}}$

es decir,

${\ Displaystyle (\ nabla _ {j} Y) ^ {l} = \ partial _ {j} Y ^ {l} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} Y ^ {k}}$

Una conexión afín es compatible con una métrica iff ${\ Displaystyle \ nabla}$

${\ estilo de visualización \ parcial _ {i} {\ bigl (} sol (\ parcial _ {j}, \ parcial _ {k}) {\ bigr)} = sol (\ nabla _ {i} \ parcial _ {j} , \ parcial _ {k}) + g (\ parcial _ {j}, \ nabla _ {i} \ parcial _ {k}) = g (\ Gamma _ {ij} ^ {l} \ parcial _ {l} , \ parcial _ {k}) + g (\ parcial _ {j}, \ Gamma _ {ik} ^ {l} \ parcial _ {l})}$

es decir, si y solo si

${\ Displaystyle \ parcial _ {i} g_ {jk} = \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {lk} + \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {jl}.}$

Una conexión afín ∇ está libre de torsión si

${\ Displaystyle \ nabla _ {i} \ parcial _ {j} - \ nabla _ {j} \ parcial _ {i} = (\ Gamma _ {jk} ^ {l} - \ Gamma _ {kj} ^ {l }) \ parcial _ {l} = [\ parcial _ {i}, \ parcial _ {j}] = 0.}$

es decir, si y solo si

${\ Displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = \ Gamma _ {kj} ^ {l}}$

es simétrico en sus dos índices inferiores.

Como se comprueba tomando para campos vectoriales coordinados (o calculando directamente), la expresión de Koszul de la conexión Levi-Civita derivada anteriormente es equivalente a una definición de los símbolos de Christoffel en términos de la métrica como ${\ Displaystyle X, Y, Z}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {j}, \ parcial _ {k}, \ parcial _ {l}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = {\ tfrac {1} {2}} sol ^ {lr} \ izquierda (\ parcial _ {k} sol {rj} + \ parcial _ {j} sol {rk} - \ parcial _ {r} g_ {jk} \ right)}$

donde como de costumbre son los coeficientes del tensor métrico dual, es decir, las entradas de la inversa de la matriz . ${\ Displaystyle g ^ {ij}}$${\ Displaystyle g_ {kl}}$

Derivada a lo largo de la curva

La conexión de Levi-Civita (como cualquier conexión affine) también define un derivado de a lo largo de curvas , a veces denotado por D .

Dada una curva suave γ en ( M , g ) y un campo vectorial V a lo largo de γ, su derivada está definida por

${\ Displaystyle D_ {t} V = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} V.}$

Formalmente, D es la conexión de retroceso γ * ∇ en el paquete de retroceso γ * TM .

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la propia curva γ . Si desaparece, la curva se denomina geodésica de la derivada covariante. Formalmente, la condición se puede reformular como la desaparición de la conexión de retroceso aplicada a : ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

${\ Displaystyle \ left (\ gamma ^ {*} \ nabla \ right) {\ dot {\ gamma}} \ equiv 0.}$

Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una determinada métrica, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente aquellas geodésicas de la métrica que están parametrizadas proporcionalmente a la longitud de su arco.

Transporte paralelo

En general, el transporte paralelo a lo largo de una curva con respecto a una conexión define isomorfismos entre los espacios tangentes en los puntos de la curva. Si la conexión es una conexión Levi-Civita, entonces estos isomorfismos son ortogonales , es decir, conservan los productos internos en los diversos espacios tangentes.

Las imágenes a continuación muestran el transporte paralelo de la conexión Levi-Civita asociada a dos métricas riemannianas diferentes en el plano, expresadas en coordenadas polares . La métrica de la imagen de la izquierda corresponde a la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha tiene forma estándar en coordenadas polares y, por lo tanto, conserva el vector tangente al círculo. Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, como se puede ver al expresarla en coordenadas cartesianas: ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}}$

${\ displaystyle dr = {\ frac {xdx + ydy} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}$

${\ Displaystyle d \ theta = {\ frac {xdy-ydx} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle dr ^ {2} + d \ theta ^ {2} = {\ frac {(xdx + ydy) ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} + {\ frac { (xdy-ydx) ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}}$

Ejemplo: la esfera unitaria en R ³

Sea ⟨,⟩ el producto escalar habitual en R ³ . Sea S ² la esfera unitaria en R ³ . El espacio tangente a S ² en un punto m se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de R ^{3 que} consta de todos los vectores ortogonales am . De ello se deduce que un campo vectorial Y en S ² puede verse como un mapa Y  : S ² → R ³ , que satisface

${\ Displaystyle {\ bigl \ langle} Y (m), m {\ bigr \ rangle} = 0, \ qquad \ forall m \ in \ mathbf {S} ^ {2}.}$

Denotar como d _m Y ( X ) la derivada covariante del mapa Y en la dirección del vector X . Entonces tenemos:

Lema: la fórmula

${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {X} Y \ right) (m) = d_ {m} Y (X) + \ langle X (m), Y (m) \ rangle m}$

define una conexión afín en S ² con torsión que desaparece.

Prueba: Es sencillo demostrar que ∇ satisface la identidad de Leibniz y es C ^∞ ( S ² ) lineal en la primera variable. También es un cálculo sencillo para mostrar que esta conexión está libre de torsión. Entonces, todo lo que debe probarse aquí es que la fórmula anterior de hecho define un campo vectorial. Es decir, necesitamos demostrar que para todo m en S ²

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} \ left (\ nabla _ {X} Y \ right) (m), m {\ bigr \ rangle} = 0 \ qquad (1).}$

Considere el mapa f que envía cada m en S ² a ⟨ Y ( m ), m ⟩ , que es siempre 0. El mapa f es constante, de ahí su Vanishes diferenciales. En particular

${\ Displaystyle d_ {m} f (X) = {\ bigl \ langle} d_ {m} Y (X), m {\ bigr \ rangle} + {\ bigl \ langle} Y (m), X (m) {\ bigr \ rangle} = 0.}$

A continuación se muestra la ecuación (1) anterior. QED

De hecho, esta conexión es la conexión Levi-Civita para la métrica en S ² heredada de R ³ . De hecho, se puede comprobar que esta conexión conserva la métrica.

Ver también

• Conexión Weitzenböck

Notas

Referencias

• Boothby, William M. (1986). Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann . Prensa académica. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial . John Wiley e hijos. ISBN 0-470-49647-9.Ver Volumen I pág. 158

enlaces externos

• "Conexión Levi-Civita" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: Conexión Levi-Civita
• PlanetMath: Conexión Levi-Civita
• Conexión Levi-Civita en Manifold Atlas