Homomorfismo del módulo - Module homomorphism

En álgebra , un homomorfismo de módulo es una función entre módulos que conserva las estructuras del módulo. Explícitamente, si M y N son módulos dejaron sobre un anillo R , entonces una función se denomina R - homomorfismo módulo de una o R - mapa lineal si para cualquier x , y en M y r en R , ${\ Displaystyle f: M \ a N}$

${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y),}$

${\ Displaystyle f (rx) = rf (x).}$

En otras palabras, f es un homomorfismo de grupo (para los grupos aditivos subyacentes) que conmuta con la multiplicación escalar. Si M , N son módulos R correctos, entonces la segunda condición se reemplaza con

${\ Displaystyle f (xr) = f (x) r.}$

La preimagen del elemento cero debajo de f se llama núcleo de f . El conjunto de todos los homomorfismos de módulo de M a N se denota por . Es un grupo abeliano (en adición puntual) pero no es necesariamente un módulo a menos que R sea conmutativo . ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$

La composición de los homomorfismos de módulo es nuevamente un homomorfismo de módulo, y el mapa de identidad en un módulo es un homomorfismo de módulo. Por lo tanto, todos los módulos (digamos a la izquierda) junto con todos los homomorfismos de módulo entre ellos forman la categoría de módulos .

Terminología

Un homomorfismo de módulo se denomina isomorfismo de módulo si admite un homomorfismo inverso; en particular, es una biyección . A la inversa, se puede mostrar que el homomorfismo de un módulo biyectivo es un isomorfismo; es decir, lo inverso es un homomorfismo de módulo. En particular, un homomorfismo de módulo es un isomorfismo si y solo si es un isomorfismo entre los grupos abelianos subyacentes.

Los teoremas de isomorfismo son válidos para los homomorfismos de módulo.

Un homomorfismo de módulo de un módulo M a sí mismo se denomina endomorfismo y un isomorfismo de M a sí mismo un automorfismo . Uno escribe para el conjunto de todos los endomorfismos entre un módulo M . No es sólo un grupo abeliano pero es también un anillo con multiplicación dada por la composición de funciones, llamado el anillo endomorphism de M . El grupo de unidades de este anillo es el grupo de automorfismos de M . ${\ Displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (M) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, M)}$

El lema de Schur dice que un homomorfismo entre módulos simples (un módulo sin submódulos no triviales ) debe ser cero o un isomorfismo. En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división .

En el lenguaje de la teoría de categorías , un homomorfismo inyectivo también se llama monomorfismo y un homomorfismo sobreyectivo un epimorfismo .

Ejemplos de

• El mapa cero M → N que asigna cada elemento a cero.
• Una transformación lineal entre espacios vectoriales .
• ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (\ mathbb {Z} / n, \ mathbb {Z} / m) = \ mathbb {Z} / \ operatorname {gcd} (n, m) }$.
• Para un anillo conmutativo R e ideales I , J , existe la identificación canónica

  ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (R / I, R / J) = \ {r \ in R | rI \ subconjunto J \} / J}$

dado por . En particular, es el aniquilador de yo .${\ Displaystyle f \ mapsto f (1)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (R / I, R)}$

• Dado un anillo R y un elemento r , denotemos la multiplicación por la izquierda por r . Entonces, para cualquier s , t en R , ${\ Displaystyle l_ {r}: R \ a R}$

  ${\ Displaystyle l_ {r} (st) = rst = l_ {r} (s) t}$.

Es decir, es R- lineal a la derecha .${\ Displaystyle l_ {r}}$

• Para cualquier anillo R ,
  • ${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} _ {R} (R) = R}$como anillos cuando R se ve como un módulo derecho sobre sí mismo. Explícitamente, este isomorfismo viene dado por la representación regular izquierda .${\ Displaystyle R {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {End} _ {R} (R), \, r \ mapsto l_ {r}}$
  • Del mismo modo, como anillos cuando R se ve como un módulo izquierdo sobre sí mismo. Los libros de texto u otras referencias suelen especificar qué convención se utiliza.${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} _ {R} (R) = R ^ {op}}$
  • ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (R, M) = M}$a través de cualquier módulo izquierdo M . (La estructura del módulo en Hom aquí proviene de la acción R derecha en R ; vea # Estructuras de módulo en Hom a continuación).${\ Displaystyle f \ mapsto f (1)}$
  • ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, R)}$se llama módulo dual de M ; se trata de un módulo de la izquierda (resp. a la derecha) si M es un derecho (resp. a la izquierda) módulo sobre R con la estructura del módulo procedente de la R -action en R . Se denota por .${\ Displaystyle M ^ {*}}$
• Dado un homomorfismo de anillo R → S de anillos conmutativos y un módulo S M , un mapa lineal R θ: S → M se llama derivación si para cualquier f , g en S , θ ( fg ) = f θ ( g ) + θ ( f ) g .
• Si S , T son álgebras asociativas unitales sobre un anillo R , entonces un homomorfismo de álgebra de S a T es un homomorfismo de anillo que también es un homomorfismo del módulo R.

Estructuras de módulos en Hom

En resumen, Hom hereda una acción de anillo que no se utilizó para formar Hom. Más preciso, dejar que M , N dejarse R -modules. Supongamos que M tiene una acción correcta de un anillo S que conmuta con la acción R ; es decir, M es un módulo ( R , S ). Luego

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$

tiene la estructura de una izquierda S -módulo definida por: para s en S y x en M ,

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (x) = f (xs).}$

Está bien definido (es decir, es R- lineal) ya que ${\ Displaystyle s \ cdot f}$

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (rx) = f (rxs) = rf (xs) = r (s \ cdot f) (x),}$

y es una acción de anillo ya que ${\ Displaystyle s \ cdot f}$

${\ Displaystyle (st \ cdot f) (x) = f (xst) = (t \ cdot f) (xs) = s \ cdot (t \ cdot f) (x)}$.

Nota: la verificación anterior "fallaría" si se usara la acción R izquierda en lugar de la acción S derecha. En este sentido, a menudo se dice que Hom " agota " la acción R.

De manera similar, si M es un módulo R izquierdo y N es un módulo ( R , S ), entonces es un módulo S derecho de . ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$${\ Displaystyle (f \ cdot s) (x) = f (x) s}$

Una representación matricial

La relación entre matrices y transformaciones lineales en álgebra lineal se generaliza de forma natural para modular homomorfismos entre módulos libres. Precisamente, dado un módulo R derecho U , existe el isomorfismo canónico de los grupos abelianos

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (U ^ {\ oplus n}, U ^ {\ oplus m}) {\ overset {f \ mapsto [f_ {ij}]} {\ underset {\ sim} {\ to}}} M_ {m, n} (\ operatorname {End} _ {R} (U))}$

obtenido al ver que consta de vectores de columna y luego escribir f como una matriz m × n . En particular, viendo R como un módulo R correcto y usando , uno tiene ${\ Displaystyle U ^ {\ oplus n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (R) \ simeq R}$

${\ Displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (R ^ {n}) \ simeq M_ {n} (R)}$,

que resulta ser un isomorfismo de anillo (ya que una composición corresponde a una multiplicación de matrices ).

Tenga en cuenta que el isomorfismo anterior es canónico; no hay elección involucrada. Por otro lado, si se le da un homomorfismo de módulo entre módulos libres de rango finito , entonces la elección de una base ordenada corresponde a la elección de un isomorfismo . El procedimiento anterior proporciona entonces la representación matricial con respecto a tales elecciones de las bases. Para módulos más generales, las representaciones matriciales pueden carecer de unicidad o no existir. ${\ Displaystyle F \ simeq R ^ {n}}$

Definiendo

En la práctica, a menudo se define un homomorfismo de módulo especificando sus valores en un grupo electrógeno . Más precisamente, dejemos que M y N sean módulos R. Suponga que un subconjunto S genera M ; es decir, hay una sobreyección con un módulo libre F con una base indexada por S y kernel K (es decir, uno tiene una presentación libre ). Luego, dar un homomorfismo de módulo es dar un homomorfismo de módulo que mata a K (es decir, asigna K a cero). ${\ Displaystyle F \ a M}$${\ Displaystyle M \ a N}$${\ Displaystyle F \ a N}$

Operaciones

Si y son homomorfismos de módulo, entonces su suma directa es ${\ Displaystyle f: M \ a N}$${\ Displaystyle g: M '\ to N'}$

${\ Displaystyle f \ oplus g: M \ oplus M '\ to N \ oplus N', \, (x, y) \ mapsto (f (x), g (y))}$

y su producto tensorial es

${\ Displaystyle f \ otimes g: M \ otimes M '\ to N \ otimes N', \, x \ otimes y \ mapsto f (x) \ otimes g (y).}$

Sea un homomorfismo de módulo entre módulos de la izquierda. La gráfica Γ _f de f es el submódulo de M ⊕ N dado por ${\ Displaystyle f: M \ a N}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {f} = \ {(x, f (x)) | x \ in M ​​\}}$,

que es la imagen del homomorfismo del módulo M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), llamado morfismo gráfico .

La transposición de f es

${\ Displaystyle f ^ {*}: N ^ {*} \ to M ^ {*}, \, f ^ {*} (\ alpha) = \ alpha \ circ f.}$

Si f es un isomorfismo, entonces la transpuesta de la inversa de f se llama contragrediente de f .

Secuencias exactas

Considere una secuencia de homomorfismos de módulo

${\ Displaystyle \ cdots {\ overset {f_ {3}} {\ longrightarrow}} M_ {2} {\ overset {f_ {2}} {\ longrightarrow}} M_ {1} {\ overset {f_ {1}} {\ longrightarrow}} M_ {0} {\ overset {f_ {0}} {\ longrightarrow}} M _ {- 1} {\ overset {f _ {- 1}} {\ longrightarrow}} \ cdots.}$

Esta secuencia se denomina complejo de cadena (o, a menudo, simplemente complejo) si cada composición es cero; es decir, o de manera equivalente, la imagen de está contenida en el núcleo de . (Si los números aumentan en lugar de disminuir, entonces se llama complejo cocadena; por ejemplo, complejo de Rham .) Un complejo en cadena se llama secuencia exacta si . Un caso especial de una secuencia exacta es una breve secuencia exacta: ${\ Displaystyle f_ {i} \ circ f_ {i + 1} = 0}$${\ Displaystyle f_ {i + 1}}$${\ Displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i + 1}) = \ operatorname {ker} (f_ {i})}$

${\ Displaystyle 0 \ to A {\ overset {f} {\ to}} B {\ overset {g} {\ to}} C \ to 0}$

donde es inyectivo, el núcleo de es la imagen de y es sobreyectivo. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$

Cualquier homomorfismo de módulo define una secuencia exacta ${\ Displaystyle f: M \ a N}$

${\ Displaystyle 0 \ to K \ to M {\ overset {f} {\ to}} N \ to C \ to 0,}$

donde es el núcleo de , y es el cokernel, que es el cociente de por la imagen de . ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f}$

En el caso de módulos sobre un anillo conmutativo , una secuencia es exacta si y solo si es exacta en todos los ideales máximos ; eso son todas las secuencias

${\ Displaystyle 0 \ to A _ {\ mathfrak {m}} {\ overset {f} {\ to}} B _ {\ mathfrak {m}} {\ overset {g} {\ to}} C _ {\ mathfrak {m }} \ a 0}$

son exactos, donde el subíndice significa la localización en un ideal máximo . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Si son homomorfismos de módulo, entonces se dice que forman un cuadrado de fibra (o cuadrado de retroceso ), denotado por M × _B N , si encaja en ${\ Displaystyle f: M \ a B, g: N \ a B}$

${\ Displaystyle 0 \ a M \ times _ {B} N \ a M \ times N {\ overset {\ phi} {\ to}} B \ a 0}$

donde . ${\ Displaystyle \ phi (x, y) = f (x) -g (x)}$

Ejemplo: sean anillos conmutativos y sea yo el aniquilador del cociente B -módulo A / B (que es un ideal de A ). Luego, los mapas canónicos forman un cuadrado de fibra con${\ Displaystyle B \ subconjunto A}$${\ Displaystyle A \ a A / I, B / I \ a A / I}$${\ Displaystyle B = A \ times _ {A / I} B / I.}$

Endomorfismos de módulos generados finitamente

Dejado ser un endomorphism entre finitamente generados R -modules para un anillo conmutativo R . Luego ${\ Displaystyle \ phi: M \ a M}$

• ${\ Displaystyle \ phi}$es asesinado por su polinomio característico relativo a los generadores de M ; ver el lema de Nakayama # Prueba .
• Si es sobreyectiva, entonces es inyectiva.${\ Displaystyle \ phi}$

Ver también: Cociente de Herbrand (que se puede definir para cualquier endomorfismo con algunas condiciones de finitud).

Variante: relaciones aditivas

Una relación aditivo a partir de un módulo M a un módulo N es un submódulo de En otras palabras, se trata de un " multivaluada homomorfismo" definida en algunos submódulo de M . La inversa de f es el submódulo . Cualquier relación aditiva f determina un homomorfismo de un submódulo de M a un cociente de N${\ Displaystyle M \ a N}$${\ Displaystyle M \ oplus N.}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ {(y, x) | (x, y) \ in f \}}$

${\ Displaystyle D (f) \ to N / \ {y | (0, y) \ in f \}}$

donde consiste de todos los elementos x en M tal que ( x , Y ) pertenece a f para algunos y en N . ${\ Displaystyle D (f)}$

Una transgresión que surge de una secuencia espectral es un ejemplo de relación aditiva.

Ver también

• Cono de mapeo (álgebra homológica)
• Smith forma normal
• Complejo de cadenas
• Emparejamiento

Notas

Referencias

• Bourbaki, Álgebra . Capitulo dos.
• S. MacLane, Homología
• H. Matsumura, teoría del anillo conmutativo. Traducido del japonés por M. Reid. Segunda edicion. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, 8.