Teorema de Riemann-Roch - Riemann–Roch theorem

Teorema de Riemann-Roch

Campo	Geometría algebraica y análisis complejo
Primera prueba por	Gustav Roch
Primera prueba en	1865
Generalizaciones	Teorema del índice de Atiyah-Singer Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch Teorema de Riemann-Roch para superficies Teorema de Riemann-Roch
Consecuencias	Teorema de Clifford sobre divisores especiales Fórmula de Riemann-Hurwitz

El teorema de Riemann-Roch es un teorema importante en matemáticas , específicamente en análisis complejo y geometría algebraica , para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromórficas con ceros prescritos y polos permitidos . Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta conectada con el género g puramente topológico de la superficie , de una manera que puede trasladarse a escenarios puramente algebraicos.

Inicialmente probado como la desigualdad de Riemann por Riemann (1857) , el teorema alcanzó su forma definitiva para las superficies de Riemann después del trabajo del breve estudiante de Riemann , Gustav Roch  ( 1865 ). Más tarde se generalizó a curvas algebraicas , a variedades de dimensiones superiores y más allá.

Nociones preliminares

Una superficie de Riemann es un espacio topológico que es localmente homeomórfico a un subconjunto abierto del conjunto de números complejos. Además, se requiere que los mapas de transición entre estos subconjuntos abiertos sean holomórficos . La última condición le permite a uno transferir las nociones y métodos de análisis complejo tratar con holomorfas y funciones meromorfas en a la superficie . Para los propósitos del teorema de Riemann-Roch, siempre se supone que la superficie es compacta . Hablando coloquialmente, el género de una superficie de Riemann es su número de asas; por ejemplo, el género de la superficie de Riemann que se muestra a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti , es decir, la mitad de la dimensión-del primer grupo de homología singular con coeficientes complejos. El género clasifica superficies de Riemann compactas hasta el homeomorfismo , es decir, dos de tales superficies son homeomorfas si y solo si su género es el mismo. Por lo tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie de Riemann. Por otro lado, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con la dimensión -del espacio de las formas holomórficas , por lo que el género también codifica información analítica compleja sobre la superficie de Riemann. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle H_ {1} (X, \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X}$

Un divisor es un elemento del grupo abeliano libre en los puntos de la superficie. De manera equivalente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros. ${\ Displaystyle D}$

Cualquier función meromórfica da lugar a un divisor denotado definido como ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (f)}$

${\ Displaystyle (f): = \ sum _ {z _ {\ nu} \ in R (f)} s _ {\ nu} z _ {\ nu}}$

donde es el conjunto de todos los ceros y polos de , y viene dado por ${\ Displaystyle R (f)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle s _ {\ nu}}$

${\ displaystyle s _ {\ nu}: = {\ begin {cases} a & {\ text {if}} z _ {\ nu} {\ text {es un cero de orden}} a \\ - a & {\ text {if }} z _ {\ nu} {\ text {es un polo de orden}} a. \ end {cases}}}$

Se sabe que el conjunto es finito; esto es una consecuencia de ser compacto y del hecho de que los ceros de una función holomórfica (distinta de cero) no tienen un punto de acumulación . Por tanto, está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se llama divisor principal . Dos divisores que se diferencian por un divisor principal se denominan linealmente equivalentes . El divisor de una forma 1 meromórfica se define de manera similar. Un divisor de una forma 1 meromórfica global se llama divisor canónico (generalmente se denota ). Cualesquiera dos formas 1 meromórficas producirán divisores linealmente equivalentes, por lo que el divisor canónico se determina de forma única hasta la equivalencia lineal (de ahí "el" divisor canónico). ${\ Displaystyle R (f)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (f)}$${\ Displaystyle K}$

El símbolo denota el grado (en ocasiones también llamado índice) del divisor , es decir, la suma de los coeficientes que aparecen en . Se puede demostrar que el divisor de una función meromórfica global siempre tiene grado 0, por lo que el grado de un divisor depende solo de su clase de equivalencia lineal. ${\ Displaystyle \ deg (D)}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$

El número es la cantidad de interés principal: la dimensión (sobre ) del espacio vectorial de las funciones meromórficas en la superficie, de manera que todos los coeficientes de son no negativos. Intuitivamente, podemos pensar en esto como en todas las funciones meromórficas cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en ; si el coeficiente de a es negativo, entonces requerimos que tiene un cero de al menos esa multiplicidad en - si el coeficiente de es positiva, puede tener un polo de como máximo ese orden. Los espacios vectoriales para divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomórficos mediante la multiplicación con la función meromórfica global (que está bien definida hasta un escalar). ${\ Displaystyle \ ell (D)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle (h) + D}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle h}$

Declaración del teorema

El teorema de Riemann-Roch para una superficie compacta de Riemann de género con estados divisores canónicos${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = \ deg (D) -g + 1.}$

Por lo general, el número es el de interés, mientras que se considera un término de corrección (también llamado índice de especialidad), por lo que el teorema puede parafrasearse más o menos diciendo ${\ Displaystyle \ ell (D)}$${\ Displaystyle \ ell (KD)}$

dimensión - corrección = grado - género + 1.

Debido a que es la dimensión de un espacio vectorial, el término de corrección siempre es no negativo, por lo que ${\ Displaystyle \ ell (KD)}$

${\ Displaystyle \ ell (D) \ geq \ deg (D) -g + 1.}$

Esto se llama desigualdad de Riemann . La parte de Roch del enunciado es la descripción de la posible diferencia entre los lados de la desigualdad. En una superficie general de Riemann de género , tiene grado , independientemente de la forma meromórfica elegida para representar el divisor. Esto se sigue de poner el teorema. En particular, siempre que tenga al menos grado , el término de corrección es 0, de modo que ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 2g-2}$${\ Displaystyle D = K}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle 2g-1}$

${\ Displaystyle \ ell (D) = \ deg (D) -g + 1.}$

Ahora se ilustrará el teorema para superficies de género bajo. También hay otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema usando haces de líneas y una generalización del teorema a curvas algebraicas .

Ejemplos de

El teorema se ilustrará eligiendo un punto de la superficie en cuestión y considerando la secuencia de números ${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ ell (n \ cdot P), n \ geq 0}$

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en donde se permite que la función tenga un polo de orden como máximo . Por tanto , se requiere que las funciones sean completas , es decir, holomórficas en toda la superficie . Según el teorema de Liouville , tal función es necesariamente constante. Por lo tanto, . En general, la secuencia es una secuencia creciente. ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ ell (0) = 1}$${\ Displaystyle \ ell (n \ cdot P)}$

Género zero

La esfera de Riemann (también llamada línea proyectiva compleja ) está simplemente conectada y, por lo tanto, su primera homología singular es cero. En particular, su género es cero. La esfera se puede cubrir con dos copias de , con el mapa de transición dado por ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ ni z \ mapsto {\ frac {1} {z}} \ in \ mathbb {C} ^ {\ times}.}$

Por lo tanto, la forma en una copia de se extiende a una forma meromórfica en la esfera de Riemann: tiene un doble polo en el infinito, ya que ${\ Displaystyle \ omega = dz}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle d \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) = - {\ frac {1} {z ^ {2}}} \, dz.}$

Por lo tanto, su divisor (donde está el punto en el infinito). ${\ Displaystyle K: = \ operatorname {div} (\ omega) = - 2P}$${\ Displaystyle P}$

Por lo tanto, el teorema dice que la secuencia se lee ${\ Displaystyle \ ell (n \ cdot P)}$

1, 2, 3, ....

Esta secuencia también se puede leer de la teoría de fracciones parciales . Por el contrario, si esta secuencia comienza de esta manera, entonces debe ser cero. ${\ Displaystyle g}$

Género uno

El siguiente caso es una superficie de género de Riemann , como un toro , donde hay una red bidimensional (un grupo isomorfo a ). Su género es uno: su primer grupo de homología singular se genera libremente mediante dos bucles, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar en produce una forma única en que es holomórfica en todas partes, es decir, no tiene polos en absoluto. Por lo tanto, el divisor de es cero. ${\ Displaystyle g = 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ omega = dz}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ omega}$

En esta superficie, esta secuencia es

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...;

y esto caracteriza el caso . De hecho, para , como se mencionó anteriormente. Para con , el grado de es estrictamente negativo, por lo que el término de corrección es 0. La secuencia de dimensiones también se puede derivar de la teoría de funciones elípticas . ${\ Displaystyle g = 1}$${\ Displaystyle D = 0}$${\ Displaystyle \ ell (KD) = \ ell (0) = 1}$${\ Displaystyle D = n \ cdot P}$${\ Displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle KD}$

Género dos y más allá

Porque , la secuencia mencionada anteriormente es ${\ Displaystyle g = 2}$

1, 1,?, 2, 3, ....

Se muestra a partir de esto que el? el término del grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede comprobar que en cualquier curva del género 2 existen exactamente seis puntos cuyas secuencias son 1, 1, 2, 2, ... y el resto de los puntos tienen la secuencia genérica 1, 1, 1, 2, ... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperelíptica . Porque siempre es cierto que en la mayoría de los puntos la secuencia comienza con unos y hay un número finito de puntos con otras secuencias (ver puntos de Weierstrass ). ${\ Displaystyle g> 2}$${\ Displaystyle g + 1}$

Riemann – Roch para paquetes de líneas

Uso de la estrecha correspondencia entre divisores y línea paquetes holomorfas en una superficie de Riemann, el teorema también puede establecerse de una manera diferente, pero equivalente: que L sea un paquete de línea de holomorphic en X . Dejar que denotan el espacio de secciones holomorfas de L . Este espacio será de dimensión finita; se denota su dimensión . Let K denota el haz canónica en X . Entonces, el teorema de Riemann-Roch establece que ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, L)}$${\ Displaystyle h ^ {0} (X, L)}$

${\ Displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, L ^ {- 1} \ otimes K) = \ deg (L) + 1-g.}$

El teorema de la sección anterior es el caso especial de cuando L es un conjunto de puntos .

El teorema se puede aplicar para demostrar que hay g secciones holomórficas linealmente independientes de K , o formas uniformes en X , como sigue. Tomando L como el paquete trivial, ya que las únicas funciones holomórficas en X son constantes. El grado de L es cero y es el paquete trivial. Por lo tanto, ${\ Displaystyle h ^ {0} (X, L) = 1}$${\ Displaystyle L ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle 1-h ^ {0} (X, K) = 1-g.}$

Por lo tanto, demostrando que hay g formas unitarias holomórficas. ${\ Displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$

Grado de paquete canónico

Dado que el paquete canónico tiene , la aplicación de Riemann-Roch a da ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$${\ Displaystyle L = K}$

${\ Displaystyle h ^ {0} (X, K) -h ^ {0} (X, K ^ {- 1} \ otimes K) = \ deg (K) + 1-g}$

que se puede reescribir como

${\ Displaystyle g-1 = \ deg (K) + 1-g}$

por tanto, el grado del paquete canónico es . ${\ Displaystyle \ deg (K) = 2g-2}$

Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Cada elemento de la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica . El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica no singular C sobre un campo k . La diferencia en la terminología (curva frente a superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como variedad real es dos, pero una como variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann es paralela a la condición de que la curva algebraica sea completa , lo que equivale a ser proyectiva . Sobre un campo general k , no existe una buena noción de (co) homología singular. El llamado género geométrico se define como

${\ Displaystyle g (C): = \ dim _ {k} \ Gamma (C, \ Omega _ {C} ^ {1})}$

es decir, como la dimensión del espacio de formas uniformes (algebraicas) definidas globalmente (ver diferencial de Kähler ). Finalmente, las funciones meromórficas en una superficie de Riemann se representan localmente como fracciones de funciones holomórficas. Por tanto, son reemplazadas por funciones racionales que son localmente fracciones de funciones regulares . Por lo tanto, escribiendo para la dimensión (sobre k ) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en D , se aplica la misma fórmula anterior: ${\ Displaystyle \ ell (D)}$

${\ Displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = \ deg (D) -g + 1.}$

donde C es una curva algebraica proyectiva no singular sobre un campo k algebraicamente cerrado . De hecho, la misma fórmula es válida para las curvas proyectivas sobre cualquier campo, excepto que el grado de un divisor debe tener en cuenta las multiplicidades que provienen de las posibles extensiones del campo base y los campos de residuos de los puntos que sostienen el divisor. Finalmente, para una curva adecuada sobre un anillo artiniano , la característica de Euler del haz de líneas asociado a un divisor viene dada por el grado del divisor (definido apropiadamente) más la característica de Euler del haz estructural . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$

La suposición de suavidad en el teorema también se puede relajar: para una curva (proyectiva) sobre un campo algebraicamente cerrado, todos cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein , se cumple el mismo enunciado anterior, siempre que el género geométrico definido anteriormente sea reemplazado por el género aritmético g _a , definido como

${\ Displaystyle g_ {a}: = \ dim _ {k} H ^ {1} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}).}$

(Para curvas suaves, el género geométrico concuerda con el aritmético). El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y variedades de dimensiones superiores).

Aplicaciones

Polinomio de Hilbert

Una de las consecuencias importantes de Riemann-Roch es que proporciona una fórmula para calcular el polinomio de Hilbert de haces de líneas en una curva. Si un paquete de líneas es amplio, entonces el polinomio de Hilbert dará el primer grado dando una incrustación en el espacio proyectivo. Por ejemplo, la gavilla canónica tiene grado , lo que da un paquete de líneas amplio para el género . Si configuramos , la fórmula de Riemann-Roch dice ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes n}}$${\ Displaystyle \ omega _ {C}}$${\ Displaystyle 2g-2}$${\ Displaystyle g \ geq 2}$${\ Displaystyle \ omega _ {C} (n) = \ omega _ {C} ^ {\ otimes n}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ chi (\ omega _ {C} (n)) & = \ deg (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) - g + 1 \\ & = n ( 2g-2) -g + 1 \\ & = 2ng-2n-g + 1 \\ & = (2n-1) (g-1) \ end {alineado}}}$

Dando el grado polinomio de Hilbert de${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ omega _ {C}}$

${\ Displaystyle H _ {\ omega _ {C}} (t) = 2 (g-1) t-g + 1}$

Debido a que la gavilla tri-canónica se usa para incrustar la curva, el polinomio de Hilbert ${\ Displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$

${\ Displaystyle H_ {C} (t) = H _ {\ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}} (t)}$

generalmente se considera al construir el esquema de Hilbert de curvas (y los módulos de curvas algebraicas ). Este polinomio es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} H_ {C} (t) & = (6t-1) (g-1) \\ & = 6 (g-1) t + (1-g) \ end {alineado}} }$

y se llama polinomio de Hilbert de una curva de género g .

Incrustación pluricanónica

Analizando esta ecuación más a fondo, la característica de Euler se lee como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ chi (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) & = h ^ {0} \ left (C, \ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ derecha) -h ^ {0} \ left (C, \ omega _ {C} \ otimes \ left (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ right) ^ {\ vee} \ right) \\ & = h ^ {0} \ left (C, \ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ right) -h ^ {0} \ left (C, \ left (\ omega _ {C} ^ {\ otimes (n-1)} \ derecha) ^ {\ vee} \ derecha) \ end {alineado}}}$

Desde ${\ Displaystyle \ deg (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) = n (2g-2)}$

${\ Displaystyle h ^ {0} \ left (C, \ left (\ omega _ {C} ^ {\ otimes (n-1)} \ right) ^ {\ vee} \ right) = 0}$

porque , dado que su grado es negativo para todos , lo que implica que no tiene secciones globales, hay una incrustación en algún espacio proyectivo de las secciones globales de . En particular, da una incrustación en dónde desde . Esto es útil en la construcción de los módulos de curvas algebraicas porque puede usarse como espacio proyectivo para construir el esquema de Hilbert con el polinomio de Hilbert . ${\ Displaystyle n \ geq 3}$${\ Displaystyle g \ geq 2}$${\ Displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes n}}$${\ Displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {N} \ cong \ mathbb {P} (H ^ {0} (C, \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}))}$${\ Displaystyle N = 5g-5-1 = 5g-6}$${\ Displaystyle h ^ {0} (\ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}) = 6g-6-g + 1}$${\ Displaystyle H_ {C} (t)}$

Género de curvas planas con singularidades

Una curva algebraica plana irreducible de grado d tiene ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 -  g singularidades, cuando se cuenta correctamente. De ello se deduce que, si una curva tiene ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 singularidades diferentes, es una curva racional y, por tanto, admite una parametrización racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz relativa a mapas (ramificados) entre superficies de Riemann o curvas algebraicas es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiales

El teorema de Clifford sobre divisores especiales también es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch. Establece que para un divisor especial (es decir, tal que ) se cumple la siguiente desigualdad: ${\ Displaystyle \ ell (KD)> 0}$${\ Displaystyle \ ell (D)> 0,}$

${\ Displaystyle \ ell (D) \ leq {\ frac {\ deg D} {2}} + 1.}$

Prueba

Prueba de curvas algebraicas

El enunciado de las curvas algebraicas se puede demostrar utilizando la dualidad de Serre . El número entero es la dimensión del espacio de las secciones globales del paquete de líneas asociado a D ( cf. divisor de Cartier ). En términos de cohomología de gavilla , por lo tanto , tenemos , y lo mismo . Pero la dualidad de Serre para variedades proyectivas no singulares en el caso particular de una curva establece que es isomorfa al dual . Así pues, el lado izquierdo es igual a la característica de Euler del divisor D . Cuando D = 0, encontramos que la característica de Euler para la estructura de la gavilla es por definición. Para demostrar el teorema del divisor general, se puede proceder agregando puntos uno por uno al divisor y asegurarse de que la característica de Euler se transforme de acuerdo con el lado derecho. ${\ Displaystyle \ ell (D)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (D)}$ ${\ Displaystyle \ ell (D) = \ mathrm {dim} H ^ {0} (X, {\ mathcal {L}} (D))}$${\ Displaystyle \ ell ({\ mathcal {K}} _ {X} -D) = \ dim H ^ {0} (X, \ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {L}} (D) ^ {\ vee})}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, \ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {L}} (D) ^ {\ vee})}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {L}} (D)) ^ {\ vee}}$${\ Displaystyle 1-g}$

Prueba para superficies compactas de Riemann

El teorema para superficies compactas de Riemann se puede deducir de la versión algebraica usando el teorema de Chow y el principio GAGA : de hecho, cada superficie compacta de Riemann está definida por ecuaciones algebraicas en algún espacio proyectivo complejo. (El teorema de Chow dice que cualquier subvariedad analítica cerrada del espacio proyectivo se define mediante ecuaciones algebraicas, y el principio GAGA dice que la cohomología de gavilla de una variedad algebraica es la misma que la cohomología de gavilla de la variedad analítica definida por las mismas ecuaciones).

Se puede evitar el uso del teorema de Chow argumentando de manera idéntica a la demostración en el caso de curvas algebraicas, pero reemplazándolo con el conjunto de funciones meromórficas h de manera que todos los coeficientes del divisor sean no negativos. Aquí, el hecho de que la característica de Euler se transforma como se desea cuando se agrega un punto al divisor se puede leer a partir de la secuencia larga exacta inducida por la secuencia exacta corta. ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (D)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {D}}$${\ Displaystyle (h) + D}$

${\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {D} \ to {\ mathcal {O}} _ {D + P} \ to \ mathbb {C} _ {P} \ to 0}$

donde está el haz de rascacielos en P , y el mapa devuelve el coeficiente de Laurent, donde . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {P}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {D + P} \ to \ mathbb {C} _ {P}}$${\ Displaystyle -k-1}$${\ Displaystyle k = D (P)}$

Generalizaciones del teorema de Riemann-Roch

El teorema de Riemann-Roch para curvas fue probado para superficies de Riemann por Riemann y Roch en la década de 1850 y para curvas algebraicas por Friedrich Karl Schmidt en 1931 mientras trabajaba en campos perfectos de característica finita . Como dijo Peter Roquette ,

El primer logro principal de FK Schmidt es el descubrimiento de que el teorema clásico de Riemann-Roch sobre superficies compactas de Riemann se puede transferir a campos funcionales con campo base finito. En realidad, su demostración del teorema de Riemann-Roch funciona para campos base perfectos arbitrarios, no necesariamente finitos.

Es fundamental en el sentido de que la teoría posterior de las curvas intenta refinar la información que proporciona (por ejemplo, en la teoría de Brill-Noether ).

Hay versiones en dimensiones superiores (para la noción apropiada de divisor o haz de líneas ). Su formulación general depende de dividir el teorema en dos partes. Uno, que ahora se llamaría dualidad de Serre , interpreta el término como una dimensión de un primer grupo de cohomología de la gavilla ; con la dimensión de un grupo de cohomología cero, o espacio de secciones, el lado izquierdo del teorema se convierte en una característica de Euler y el lado derecho en un cálculo del mismo como un grado corregido de acuerdo con la topología de la superficie de Riemann. ${\ Displaystyle \ ell (KD)}$${\ Displaystyle \ ell (D)}$

En geometría algebraica de dimensión dos, los geómetras de la escuela italiana encontraron una fórmula de este tipo ; Se demostró un teorema de Riemann-Roch para superficies (existen varias versiones, la primera posiblemente se deba a Max Noether ).

Un n generalización -dimensional, el teorema Hirzebruch-Riemann-Roch , fue encontrado y demostrado por Friedrich Hirzebruch , como una aplicación de clases características en la topología algebraica ; estuvo muy influenciado por el trabajo de Kunihiko Kodaira . Casi al mismo tiempo, Jean-Pierre Serre estaba dando la forma general de la dualidad de Serre, tal como la conocemos ahora.

Alexander Grothendieck demostró una generalización de gran alcance en 1957, ahora conocido como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Su trabajo reinterpreta a Riemann-Roch no como un teorema sobre una variedad, sino sobre un morfismo entre dos variedades. Los detalles de las pruebas fueron publicados por Armand Borel y Jean-Pierre Serre en 1958. Posteriormente, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba.

Finalmente , también se encontró una versión general en topología algebraica . Estos desarrollos se llevaron a cabo esencialmente entre 1950 y 1960. Después de eso, el teorema del índice de Atiyah-Singer abrió otra ruta hacia la generalización. En consecuencia, la característica de Euler de una gavilla coherente es razonablemente calculable. Para un solo sumando dentro de la suma alterna, se deben usar más argumentos como los teoremas de desaparición .

Ver también

• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki
• Polinomio de Hilbert
• Módulos de curvas algebraicas

Notas

Referencias

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