Variedad completa - Complete variety
En matemáticas , en particular en geometría algebraica , una variedad algebraica completa es una variedad algebraica X , tal que para cualquier variedad Y el morfismo de proyección
- X × Y → Y
es un mapa cerrado (es decir, mapea conjuntos cerrados sobre conjuntos cerrados). Esto puede verse como un análogo de la compacidad en la geometría algebraica: un espacio topológico X es compacto si y solo si el mapa de proyección anterior está cerrado con respecto a los productos topológicos.
La imagen de una variedad completa es cerrada y es una variedad completa. Se completa una subvariedad cerrada de una variedad completa.
Una variedad compleja es completa si y solo si es compacta como variedad analítica compleja .
El ejemplo más común de una variedad completa es una variedad proyectiva , pero existen variedades completas no proyectivas en dimensiones 2 y superiores. Si bien cualquier superficie completa no singular es proyectiva, existen variedades completas no singulares en la dimensión 3 y superiores que no son proyectivas. Masayoshi Nagata y Heisuke Hironaka dieron los primeros ejemplos de variedades completas no proyectivas . Un espacio afín de dimensión positiva no está completo.
El morfismo que lleva una variedad completa a un punto es un morfismo propio , en el sentido de la teoría de esquemas . Se puede dar una justificación intuitiva de "completo", en el sentido de "sin puntos faltantes", sobre la base del criterio de valoración de la propiedad , que se remonta a Claude Chevalley .
Ver también
Notas
Referencias
- Sección II.4 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Capítulo 7 de Milne, James S. (2009), Geometría algebraica , v. 5.20 , consultado el 4 de agosto de 2010
- Sección I.9 de Mumford, David (1999), El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, 1358 (Segunda edición ampliada), Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1