Escuela italiana de geometría algebraica - Italian school of algebraic geometry

En relación con la historia de las matemáticas , la escuela italiana de geometría algebraica se refiere al trabajo de más de medio siglo o más (floreciendo aproximadamente entre 1885-1935) realizado internacionalmente en geometría biracional , particularmente en superficies algebraicas . Hubo en la región de 30 a 40 matemáticos destacados que hicieron contribuciones importantes, aproximadamente la mitad de los cuales eran italianos. El liderazgo recayó en el grupo en Roma de Guido Castelnuovo , Federigo Enriques y Francesco Severi , quienes estuvieron involucrados en algunos de los descubrimientos más profundos, además de marcar el estilo.

Superficies algebraicas

El énfasis en las superficies algebraicas - variedades algebraicas de dimensión dos - siguió a una teoría geométrica esencialmente completa de curvas algebraicas (dimensión 1). La posición alrededor de 1870 era que la teoría de la curva había incorporado con la teoría de Brill-Noether el teorema de Riemann-Roch en todos sus refinamientos (a través de la geometría detallada del divisor theta ).

La clasificación de superficies algebraicas fue un intento audaz y exitoso de repetir la división de curvas algebraicas por su género g . La división de curvas corresponde a la clasificación aproximada en tres tipos: g = 0 ( línea proyectiva ); g = 1 ( curva elíptica ); y g > 1 ( superficies de Riemann con diferenciales holomórficos independientes). En el caso de las superficies, la clasificación de Enriques fue en cinco grandes clases similares, siendo tres de ellas análogas a los casos de curva, y dos más ( fibraciones elípticas y superficies K3 , como ahora se llamarían) siendo con el caso de variedades abelianas de dos dimensiones en el territorio "medio". Se trataba de un conjunto de ideas esencialmente sólido y revolucionario, recuperado en un lenguaje moderno complejo y múltiple por Kunihiko Kodaira en la década de 1950, y refinado para incluir fenómenos mod p por Zariski , la escuela Shafarevich y otros alrededor de 1960. La forma de Riemann-Roch También se elaboró el teorema sobre una superficie .

Problemas fundamentales

Algunas pruebas producidas por la escuela no se consideran satisfactorias debido a dificultades fundamentales. Estos incluyeron el uso frecuente de modelos biracionales en la dimensión tres de superficies que pueden tener modelos no singulares solo cuando están incrustados en un espacio proyectivo de dimensiones superiores . Para evitar estos problemas, se desarrolló una teoría sofisticada del manejo de un sistema lineal de divisores (en efecto, una teoría de haz de líneas para secciones de hiperplanos de incrustaciones putativas en el espacio proyectivo). Se encontraron muchas técnicas modernas, en forma embrionaria, y en algunos casos la articulación de estas ideas excedió el lenguaje técnico disponible.

Los geómetras

Según Guerraggio & Nastasi (página 9, 2005), Luigi Cremona es "considerado el fundador de la escuela italiana de geometría algebraica". Posteriormente explican que en Turín la colaboración de Enrico D'Ovidio y Corrado Segre "llevaría, ya sea por sus propios esfuerzos o los de sus alumnos, la geometría algebraica italiana a la plena madurez". Un ex alumno de Segre, escribió HF Baker (1926, página 269), Corrado Segre "probablemente se puede decir que es el padre de esa maravillosa escuela italiana que tanto ha logrado en la teoría biracional de los loci algebraicos". Sobre este tema, Brigaglia & Ciliberto (2004) dicen que "Segre había dirigido y mantenido la escuela de geometría que Luigi Cremona había establecido en 1860". La referencia al Proyecto de Genealogía Matemática muestra que, en términos de doctorados italianos , la productividad real de la escuela comenzó con Guido Castelnuovo y Federigo Enriques . En los EE. UU., Oscar Zariski inspiró a muchos doctores

El cuadro de honor de la escuela incluye a los siguientes italianos: Giacomo Albanese , Eugenio Bertini , Luigi Campedelli, Oscar Chisini , Michele De Franchis , Pasquale del Pezzo , Beniamino Segre , Francesco Severi , Guido Zappa (con contribuciones también de Gino Fano , Carlo Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese ).

Por otra parte, participaron HF Baker y Patrick du Val (Reino Unido), Arthur Byron Coble (EE. UU.), Georges Humbert y Charles Émile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Bélgica), Hermann Schubert y Max Noether , y más tarde Erich Kähler (Alemania). HG Zeuthen (Dinamarca).

Todas estas figuras estaban involucradas en la geometría algebraica, en lugar de la búsqueda de la geometría proyectiva como geometría sintética , que durante el período en discusión fue un tema enorme (en términos de volumen) pero secundario (cuando se juzga por su importancia como investigación).

Advenimiento de la topología

La nueva geometría algebraica que sucedería a la escuela italiana se distinguió también por el uso intensivo de la topología algebraica . El fundador de esa tendencia fue Henri Poincaré ; durante la década de 1930 fue desarrollado por Lefschetz , Hodge y Todd . La síntesis moderna reunió su trabajo, el de la escuela Cartan , y de WL Chow y Kunihiko Kodaira , con el material tradicional.

Colapso de la escuela

En los primeros años de la escuela italiana de Castelnuovo, los estándares de rigor eran tan altos como la mayoría de las áreas de las matemáticas. Con Enriques se volvió gradualmente aceptable el uso de argumentos algo más informales en lugar de pruebas rigurosas completas, como el "principio de continuidad" que dice que lo que es verdadero hasta el límite es verdadero en el límite, una afirmación que no tenía una prueba rigurosa ni incluso una declaración precisa. Al principio, esto no importaba demasiado, ya que la intuición de Enriques era tan buena que esencialmente todos los resultados que afirmaba eran de hecho correctos, y el uso de este estilo de argumentación más informal le permitió producir resultados espectaculares sobre superficies algebraicas. Desafortunadamente, desde alrededor de 1930 en adelante, bajo el liderazgo de Severi, los estándares de precisión disminuyeron aún más, hasta el punto en que algunos de los resultados declarados no solo se probaron de manera inadecuada, sino que eran irremediablemente erróneos. Por ejemplo, en 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racional de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo, y en 1946 Severi publicó un artículo afirmando para demostrar que una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo 52 nodos, pero el séptico de Barth tiene 65 nodos. Severi no aceptó que sus argumentos fueran inadecuados, lo que llevó a algunas disputas enconadas sobre el estado de algunos resultados.

Alrededor de 1950 se había vuelto demasiado difícil decir cuáles de los resultados afirmados eran correctos, y la escuela intuitiva informal de geometría algebraica simplemente colapsó debido a sus fundamentos inadecuados. Desde aproximadamente 1950 hasta 1980 hubo un esfuerzo considerable para salvar tanto como fuera posible de los restos y convertirlos en el riguroso estilo algebraico de geometría algebraica establecido por Weil y Zariski. En particular, en la década de 1960, Kodaira y Shafarevich y sus estudiantes reescribieron la clasificación de Enriques de superficies algebraicas en un estilo más riguroso, y también la extendieron a todas las superficies complejas compactas, mientras que en la década de 1970 Fulton y MacPherson pusieron los cálculos clásicos de la teoría de la intersección en rigurosos cimientos.

Referencias

enlaces externos