Dominio Dedekind - Dedekind domain

En álgebra abstracta , un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind , que lleva el nombre de Richard Dedekind , es un dominio integral en el que todo ideal propio distinto de cero se convierte en un producto de ideales primos . Se puede demostrar que tal factorización es necesariamente única hasta el orden de los factores. Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición: ver más abajo .

Un campo es un anillo conmutativo en el que no existen ideales propios no triviales, por lo que cualquier campo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacía . Algunos autores añaden el requisito de que un dominio Dedekind no sea un campo. Muchos más autores establecen teoremas para los dominios de Dedekind con la condición implícita de que pueden requerir modificaciones triviales para el caso de los campos.

Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio ideal principal (PID) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio Dedekind es un dominio de factorización único (UFD) si y solo si es un PID.

La prehistoria de los dominios de Dedekind

En el siglo XIX se convirtió en una técnica común para comprender mejor las soluciones enteras de ecuaciones polinomiales utilizando anillos de números algebraicos de mayor grado. Por ejemplo, corrija un número entero positivo . En el intento de determinar qué números enteros están representados por la forma cuadrática , es natural factorizar la forma cuadrática en , la factorización que tiene lugar en el anillo de números enteros del campo cuadrático . De manera similar, para un número entero positivo, el polinomio (que es relevante para resolver la ecuación de Fermat ) se puede factorizar sobre el anillo , donde es una raíz n -ésima primitiva de la unidad .

Para unos pocos valores pequeños de y estos anillos de números enteros algebraicos son PID, y esto puede verse como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat ( ) y Euler ( ). En ese momento, los teóricos de la forma cuadrática conocían bien un procedimiento para determinar si el anillo de todos los enteros algebraicos de un campo cuadrático dado es un PID. Especialmente, Gauss había estudiado el caso de campos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores para los cuales el anillo de números enteros es un PID y conjeturó que no había más valores. (La conjetura de Gauss fue probada más de cien años después por Kurt Heegner , Alan Baker y Harold Stark .) Sin embargo, esto se entendió (solo) en el lenguaje de clases de equivalencia de formas cuadráticas, de modo que en particular la analogía entre formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece no haberse percibido. En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución para todos del Último Teorema de Fermat ; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en números enteros distintos de cero, pero resultó que su solución dependía del supuesto de que el anillo ciclotómico es un UFD. Ernst Kummer había demostrado tres años antes que este no era el caso ya ( ahora se conoce la lista completa y finita de valores para los que es un UFD). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló nuevos y poderosos métodos para probar el último teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos usando lo que ahora reconocemos como el hecho de que el anillo es un dominio de Dedekind. De hecho, Kummer no trabajó con ideales sino con " números ideales ", y Dedekind dio la definición moderna de un ideal.

En el siglo XX, los algebristas y los teóricos de los números se habían dado cuenta de que la condición de ser un PID es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio de Dedekind es bastante sólida. Por ejemplo, el anillo de enteros ordinarios es un PID, pero como se ve arriba, el anillo de enteros algebraicos en un campo numérico no necesita ser un PID. De hecho, aunque Gauss también conjeturaba que hay infinitos números primos tales que el anillo de enteros de es un PID, a partir de 2016 aún no se sabe si hay infinitos campos numéricos (de grado arbitrario) tal que sea ​​un PID. Por otro lado, el anillo de números enteros en un campo numérico es siempre un dominio de Dedekind.

Otro ejemplo de la dicotomía delicado / robusto es el hecho de que ser un dominio de Dedekind es, entre los dominios noetherianos , una propiedad local : un dominio noetheriano es Dedekind si por cada ideal máximo de la localización es un anillo de Dedekind. Pero un dominio local es un anillo de Dedekind si es un PID si es un anillo de valoración discreto (DVR), por lo que la misma caracterización local no puede ser válida para los PID: más bien, se puede decir que el concepto de un anillo de Dedekind es la globalización de el de un DVR.

Definiciones alternativas

Para un dominio integral que no es un campo, todas las siguientes condiciones son equivalentes:

(DD1) Todo ideal propio distinto de cero se factoriza en números primos.
(DD2) es noetheriano y la localización en cada ideal máximo es un anillo de valoración discreto.
(DD3) Cada distinto de cero ideales fraccional de es invertible.
(DD4) es un dominio noetheriano integralmente cerrado con dimensión uno de Krull (es decir, todo ideal primo distinto de cero es máximo).
(DD5) es noetheriano, y para dos ideales cualesquiera y en , está contenido en si y solo si se divide como ideales. Es decir, existe un ideal tal que . Un anillo conmutativo con unidad que satisface la última condición se denomina anillo de división de contención (CDR).

Por lo tanto, un dominio de Dedekind es un dominio que es un campo o satisface cualquiera, y por lo tanto los cinco, de (DD1) a (DD5). Por lo tanto, cuál de estas condiciones se toma como definición es simplemente una cuestión de gustos. En la práctica, suele ser más fácil de verificar (DD4).

Un dominio de Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio de Dedekind: un dominio de Dedekind que no es un campo es un dominio de Krull de dimensión 1. Esta noción se puede utilizar para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio de Dedekind. De hecho, esta es la definición de un dominio de Dedekind utilizada en el "Álgebra conmutativa" de Bourbaki .

Un dominio de Dedekind también se puede caracterizar en términos de álgebra homológica : un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si es un anillo hereditario ; es decir, cada submódulo de un módulo proyectivo sobre él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si cada módulo divisible sobre él es inyectivo .

Algunos ejemplos de dominios de Dedekind

Todos los dominios ideales principales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.

El anillo de enteros algebraicos en un campo numérico K es noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión uno: para ver la última propiedad, observe que para cualquier ideal primo distinto de cero I de R , R / I es un conjunto finito, y recuerde que un el dominio integral finito es un campo; entonces por (DD4) R es un dominio de Dedekind. Como anteriormente, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el caso motivador para la definición general, y estos siguen siendo uno de los ejemplos más estudiados.

La otra clase de anillos de Dedekind que es posiblemente de igual importancia proviene de la geometría: sea C una curva algebraica afín geométricamente integral no singular sobre un campo k . Entonces el anillo de coordenadas k [ C ] de las funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto queda en gran parte claro simplemente traduciendo términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un k- álgebra finitamente generada , por lo tanto, noetheriano; además curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal , que por definición significa integralmente cerrado .

Ambas construcciones pueden verse como casos especiales del siguiente resultado básico:

Teorema : Let R ser un dominio de Dedekind con campo fracción K . Deje que L sea un finito grado de extensión de campo de K y denotan por S el cierre integral de R en L . Entonces S es en sí mismo un dominio de Dedekind.

Aplicar este teorema cuando R es en sí mismo un PID nos da una forma de construir dominios Dedekind a partir de PID. Tomando R = Z , esta construcción dice precisamente que los anillos de números enteros de campos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R = k [ t ], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como cubiertas ramificadas de la línea afín.

Zariski y Samuel estaban lo suficientemente cautivados con esta construcción como para preguntarse si todos los dominios de Dedekind surgen de ella; es decir, comenzando con un PID y tomando el cierre integral en una extensión de campo de grado finito. L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple.

Si la situación es la anterior pero la extensión L de K es algebraica de grado infinito, entonces todavía es posible que la clausura integral S de R en L sea ​​un dominio de Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, vuelva a tomar R = Z , K = Q y ahora tome L como el campo de todos los números algebraicos. El cierre integral no es más que el anillo de todos los enteros algebraicos. Dado que la raíz cuadrada de un entero algebraico es de nuevo un entero algebraico, no es posible factorizar ningún entero algebraico no unitario distinto de cero en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que ni siquiera es noetheriano. En general, el cierre integral de un dominio de Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio de Prüfer ; resulta que el anillo de enteros algebraicos es un poco más especial que esto: es un dominio de Bézout .

Los ideales fraccionarios y el grupo de clases

Deje que R sea un dominio de integridad con el campo fracción K . Un ideal fraccionario es un R -submódulo I de K distinto de cero para el cual existe una x distinta de cero en K tal que

Dados dos ideales fraccionarios I y J , se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas : el producto IJ es nuevamente un ideal fraccionario. El conjunto Frac ( R ) de todos los ideales fraccionarios dotados con el producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoid : el elemento de identidad es el ideal fraccional R .

Para cualquier ideal fraccionario I , se puede definir el ideal fraccionario

Entonces uno lo ha hecho tautológicamente . De hecho, uno tiene igualdad si y solo si I , como elemento del monoide de Frac ( R ), es invertible. En otras palabras, si tengo alguna inversa, entonces la inversa debe ser .

Un ideales fraccional director es una de la forma para algunos distinto de cero x en K . Tenga en cuenta que cada ideal fraccionario principal es invertible, lo contrario de ser simple . Denotamos el subgrupo de ideales fraccionarios principales por Prin ( R ).

Un dominio R es un PID si y solo si todo ideal fraccionario es principal. En este caso, tenemos Frac ( R ) = Prin ( R ) = , ya que dos principales ideales fraccionarios y son iguales si y sólo si es una unidad en R .

Para un dominio general R , es significativo tomar el cociente del monoide Frac ( R ) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin ( R ) de los principales ideales fraccionarios. Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente solo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac ( R ) / Prin ( R ) es invertible si y solo si I mismo es invertible.

Ahora podemos apreciar (DD3): en un dominio de Dedekind (y solo en un dominio de Dedekind) todo ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto estos son precisamente la clase de dominios para los que Frac ( R ) / Prin ( R ) forma un grupo , el grupo ideal de la clase Cl ( R ) de R . Este grupo es trivial si y solo si R es un PID, por lo que puede considerarse como una cuantificación de la obstrucción a un dominio de Dedekind general que es un PID.

Observamos que para un dominio arbitrario se puede definir el grupo Picard Pic ( R ) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv ( R ) módulo el subgrupo de ideales fraccionarios principales. Para un dominio de Dedekind, esto es, por supuesto, lo mismo que el grupo de clase ideal. Sin embargo, en una clase más general de dominios, incluidos los dominios noetherianos y los dominios Krull, el grupo de clases ideal se construye de una manera diferente y existe un homomorfismo canónico

Imagen ( R ) → Cl ( R )

que, sin embargo, generalmente no es inyectiva ni sobreyectiva . Este es un análogo afín de la distinción entre divisores de Cartier y divisores de Weil en una variedad algebraica singular.

Un notable teorema de L. Claborn (Claborn 1966) afirma que para cualquier grupo abeliano G en absoluto, existe un dominio de Dedekind R cuyo grupo clase ideal es isomorfo a G . Más tarde, CR Leedham-Green mostró que tal R puede construirse como el cierre integral de un PID en una extensión de campo cuadrática (Leedham-Green 1972). En 1976, M. Rosen mostró cómo realizar cualquier grupo abeliano contable como el grupo de clases de un dominio de Dedekind que es un subanillo del campo de función racional de una curva elíptica, y conjeturó que tal construcción "elíptica" debería ser posible para un grupo abeliano general (Rosen 1976). La conjetura de Rosen fue probada en 2008 por PL Clark (Clark 2009).

En contraste, uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números afirma que el grupo de clases del anillo de números enteros de un campo numérico es finito; su cardinalidad se llama número de clase y es una invariante importante y bastante misteriosa, a pesar del arduo trabajo de muchos matemáticos destacados desde Gauss hasta la actualidad.

Módulos finamente generados sobre un dominio Dedekind

En vista del teorema de estructura muy conocido y extremadamente útil para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal (PID), es natural pedir una teoría correspondiente para módulos generados finitamente sobre un dominio Dedekind.

Recordemos brevemente la teoría de la estructura en el caso de un módulo generado finitamente sobre un PID . Definimos el submódulo de torsión como el conjunto de elementos de tal que para algunos distintos de cero en . Luego:

(M1) se puede descomponer en una suma directa de módulos de torsión cíclica , cada uno de los cuales tiene la forma de algún ideal distinto de cero . Según el teorema chino del residuo, cada uno de ellos puede descomponerse en una suma directa de submódulos de la forma , donde es una potencia de un ideal primo. Esta descomposición no necesita ser única, pero dos descomposiciones cualesquiera

difieren sólo en el orden de los factores.

(M2) El submódulo de torsión es un sumando directo. Es decir, existe un submódulo complementario de tal que .

(M3PID) isomorfo a para un entero no negativo determinado de forma única . En particular, es un módulo gratuito generado de forma finita.

Ahora sea ​​un módulo generado de forma finita sobre un dominio de Dedekind arbitrario . Entonces (M1) y (M2) son válidos literalmente. Sin embargo, de (M3PID) se deduce que un módulo libre de torsión generado finitamente sobre un PID es gratuito. En particular, afirma que todos los ideales fraccionarios son principales, una afirmación que es falsa siempre que no sea un PID. En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clases Cl (R) hace que (M3PID) falle. Sorprendentemente, la estructura adicional en módulos generados finitamente libres de torsión sobre un dominio arbitrario de Dedekind está controlada con precisión por el grupo de clases, como explicamos ahora. Sobre un dominio arbitrario de Dedekind, uno tiene

(M3DD) es isomorfo a una suma directa de rango uno módulos proyectivas: . Además, para cualquier módulo proyectivo de rango uno , uno tiene

si y solo si

y

Los módulos proyectivos de rango uno se pueden identificar con ideales fraccionarios, y la última condición se puede reformular como

Por lo tanto, un módulo de rango libre de torsión generado finitamente se puede expresar como , donde es un módulo proyectivo de rango uno. La clase de Steinitz para P sobre R es la clase de en Cl (R): está determinada de forma única. Una consecuencia de esto es:

Teorema: Sea R un dominio de Dedekind. Entonces , donde K 0 ( R ) es el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de módulos R proyectivos generados finitamente .

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Una consecuencia adicional de esta estructura, que no está implícita en el teorema anterior, es que si los dos módulos proyectivos sobre un dominio de Dedekind tienen la misma clase en el grupo de Grothendieck, entonces son de hecho abstractamente isomórficos.

Anillos locales de Dedekind

Existen dominios integrales que son localmente pero no globalmente Dedekind: la localización de en cada ideal máximo es un anillo de Dedekind (equivalentemente, un DVR) pero en sí mismo no es Dedekind. Como se mencionó anteriormente, tal anillo no puede ser noetheriano. Parece que los primeros ejemplos de tales anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953. En la literatura, tales anillos a veces se denominan "anillos casi de Dedekind propios".

Ver también

Notas

Referencias

  • Bourbaki, Nicolas (1972), álgebra conmutativa , Addison-Wesley
  • Claborn, Luther (1965), "Dominios de Dedekind y anillos de cocientes" , Pacific J. Math. , 15 : 59–64, doi : 10.2140 / pjm.1965.15.59
  • Claborn, Luther (1966), "Cada grupo abeliano es un grupo de clase" , Pacific J. Math. , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140 / pjm.1966.18.219
  • Clark, Pete L. (2009), "Dominios elípticos de Dedekind revisitados" (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math / 0612469 , doi : 10.4171 / lem / 55-3-1
  • Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones . Saltador. ISBN 1-85233-667-6.
  • Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991), "II. Dominios de Dedekind", Teoría algebraica de números , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 27 , Cambridge University Press , págs. 35–101, ISBN 0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
  • Gomez-Ramirez, Danny (2015), "La combinación conceptual como un metagenerador creativo de conceptos matemáticos: los ideales primarios y los dominios de Dedekind como una combinación", En: TR Besold, KU Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (eds. ) Actas del IV Taller internacional sobre creatividad computacional, invención de conceptos e inteligencia general (C3GI) PICS , 2[1]
  • Leedham-Green, CR (1972), "El grupo de clases de los dominios de Dedekind", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 163 : 493–500, doi : 10.2307 / 1995734 , JSTOR  1995734
  • Milne, JS (2008), Teoría algebraica de números (v3.00)
  • Nakano, Noburu (1953), "Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper", J. Sci. Universidad de Hiroshima Ser. A. , 16 : 425–439
  • Rosen, Michael (1976), "Curvas elípticas y dominios de Dedekind", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 57 (2): 197–201, doi : 10.2307 / 2041187 , JSTOR  2041187
  • Steinitz, E. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern" , Math. Ana. , 71 (3): 328–354, doi : 10.1007 / BF01456849
  • Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1958), Álgebra conmutativa, Volumen I , D. Van Nostrand Company

Otras lecturas

enlaces externos