Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius
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Ferdinand Georg Frobenius
Nació ( 26/10/1849 ) 26 de octubre de 1849
Fallecido 3 de agosto de 1917 (03-08-1917) (67 años)
Nacionalidad alemán
alma mater Universidad de Göttingen
Universidad de Berlín
Conocido por Ecuaciones diferenciales
Teoría de grupos
Teorema de Cayley-Hamilton
Método de
Frobenius Matriz de Frobenius
Carrera científica
Campos Matemáticas
Instituciones Universidad de Berlín
ETH Zurich
Asesor de doctorado Karl Weierstrass
Ernst Kummer
Estudiantes de doctorado Richard Fuchs
Edmund Landau
Issai Schur
Konrad Knopp
Walter Schnee

Ferdinand Georg Frobenius (26 de octubre de 1849 - 3 de agosto de 1917) fue un matemático alemán , mejor conocido por sus contribuciones a la teoría de funciones elípticas , ecuaciones diferenciales , teoría de números y teoría de grupos . Es conocido por las famosas identidades determinantes, conocidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que gobiernan las funciones elípticas y por desarrollar la teoría de las formas bicuadráticas. También fue el primero en introducir la noción de aproximaciones racionales de funciones (hoy en día conocidas como aproximantes de Padé ) y dio la primera demostración completa del teorema de Cayley-Hamilton . También prestó su nombre a ciertos objetos geométricos diferenciales en la física matemática moderna, conocidos como variedades de Frobenius .

Biografía

Ferdinand Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Charlottenburg , un suburbio de Berlín de padres Christian Ferdinand Frobenius, un párroco protestante , y Christine Elizabeth Friedrich. Ingresó en el Joachimsthal Gymnasium en 1860 cuando tenía casi once años. En 1867, después de graduarse, fue a la Universidad de Göttingen donde comenzó sus estudios universitarios, pero solo estudió allí durante un semestre antes de regresar a Berlín, donde asistió a conferencias de Kronecker , Kummer y Karl Weierstrass . Recibió su doctorado (otorgado con distinción) en 1870 supervisado por Weierstrass . Su tesis fue sobre la solución de ecuaciones diferenciales. En 1874, después de haber enseñado en la escuela secundaria primero en el Joachimsthal Gymnasium y luego en la Sophienrealschule, fue nombrado profesor extraordinario de matemáticas en la Universidad de Berlín. Frobenius estuvo en Berlín solo un año antes de ir a Zúrich para tomar un puesto como profesor ordinario en el Eidgenössische Polytechnikum . Durante diecisiete años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zürich. Fue allí donde se casó, crió a su familia e hizo un trabajo muy importante en áreas muy diferentes de las matemáticas. En los últimos días de diciembre de 1891 murió Kronecker y, por tanto, su cátedra en Berlín quedó vacante. Weierstrass, convencido de que Frobenius era la persona adecuada para mantener a Berlín a la vanguardia de las matemáticas, utilizó su considerable influencia para designar a Frobenius. En 1893 regresó a Berlín, donde fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Prusia .

Contribuciones a la teoría de grupos

La teoría de grupos fue uno de los principales intereses de Frobenius en la segunda mitad de su carrera. Una de sus primeras contribuciones fue la demostración de los teoremas de Sylow para grupos abstractos. Las pruebas anteriores habían sido para grupos de permutación . Su demostración del primer teorema de Sylow (sobre la existencia de grupos de Sylow) es una de las que se utilizan con frecuencia en la actualidad.

  • Frobenius también ha demostrado el siguiente teorema fundamental: Si un entero positivo n divide el orden | G | de un grupo finito G , entonces el número de soluciones de la ecuación x n  = 1 en G es igual a kn para algún entero positivo  k . También planteó el siguiente problema: si, en el teorema anterior, k  = 1, entonces las soluciones de la ecuación x n  = 1 en G forman un subgrupo. Hace muchos años, este problema se resolvió para grupos con solución . Solo en 1991, después de la clasificación de grupos finitos simples , este problema se resolvió en general.

Más importante fue su creación de la teoría de los personajes grupales y las representaciones grupales , que son herramientas fundamentales para estudiar la estructura de los grupos. Este trabajo condujo a la noción de reciprocidad de Frobenius y la definición de lo que ahora se llaman grupos de Frobenius . Se dice que un grupo G es un grupo de Frobenius si hay un subgrupo H  <  G tal que

para todos .

En ese caso, el conjunto

junto con el elemento de identidad de G forma un subgrupo que es nilpotente como mostró John G. Thompson en 1959. Todas las demostraciones conocidas de ese teorema hacen uso de caracteres. En su primer artículo sobre caracteres (1896), Frobenius construyó la tabla de caracteres del grupo de orden (1/2) ( p 3  - p) para todos los primos impares  p (este grupo es simple siempre que  p  > 3). También hizo contribuciones fundamentales a la teoría de la representación de los grupos simétricos y alternos .

Contribuciones a la teoría de números

Frobenius introdujo una forma canónica de convertir los números primos en clases de conjugación de grupos de Galois sobre Q . Específicamente, si K / Q es una extensión finita de Galois, entonces para cada primo (positivo) p que no se ramifica en K y para cada ideal primo P que se encuentra sobre p en K hay un elemento único g de Gal ( K / Q ) que satisface la condición g ( x ) =  x p  (mod  P ) para todos los números enteros x de K . Al variar P sobre p , g se convierte en un conjugado (y cada conjugado de g ocurre de esta manera), por lo que la clase de conjugación de g en el grupo de Galois se asocia canónicamente ap . Esto se llama la clase de conjugación de Frobenius de p y cualquier elemento de la clase de conjugación se llama un elemento de Frobenius de p . Si tomamos para K el m - ésimo campo ciclotómico , cuyo grupo de Galois sobre Q son las unidades módulo m (y por lo tanto es abeliano, por lo que las clases de conjugación se convierten en elementos), entonces para p no dividir m la clase de Frobenius en el grupo de Galois es p  mod  m . Desde este punto de vista, la distribución de las clases de conjugación de Frobenius en los grupos de Galois sobre Q (o, más generalmente, los grupos de Galois sobre cualquier campo numérico) generaliza el resultado clásico de Dirichlet sobre los números primos en las progresiones aritméticas. El estudio de los grupos de Galois de extensiones de grado infinito de Q depende fundamentalmente de esta construcción de elementos de Frobenius, que proporciona en cierto sentido un subconjunto denso de elementos que son accesibles para un estudio detallado.

Ver también

Publicaciones

Referencias

enlaces externos