Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius
Ferdinand Georg Frobenius | |
---|---|
Nació |
Charlottenburg , Berlín
|
26 de octubre de 1849
Fallecido | 3 de agosto de 1917 |
(67 años)
Nacionalidad | alemán |
alma mater |
Universidad de Göttingen Universidad de Berlín |
Conocido por |
Ecuaciones diferenciales Teoría de grupos Teorema de Cayley-Hamilton Método de Frobenius Matriz de Frobenius |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones |
Universidad de Berlín ETH Zurich |
Asesor de doctorado |
Karl Weierstrass Ernst Kummer |
Estudiantes de doctorado |
Richard Fuchs Edmund Landau Issai Schur Konrad Knopp Walter Schnee |
Ferdinand Georg Frobenius (26 de octubre de 1849 - 3 de agosto de 1917) fue un matemático alemán , mejor conocido por sus contribuciones a la teoría de funciones elípticas , ecuaciones diferenciales , teoría de números y teoría de grupos . Es conocido por las famosas identidades determinantes, conocidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que gobiernan las funciones elípticas y por desarrollar la teoría de las formas bicuadráticas. También fue el primero en introducir la noción de aproximaciones racionales de funciones (hoy en día conocidas como aproximantes de Padé ) y dio la primera demostración completa del teorema de Cayley-Hamilton . También prestó su nombre a ciertos objetos geométricos diferenciales en la física matemática moderna, conocidos como variedades de Frobenius .
Biografía
Ferdinand Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Charlottenburg , un suburbio de Berlín de padres Christian Ferdinand Frobenius, un párroco protestante , y Christine Elizabeth Friedrich. Ingresó en el Joachimsthal Gymnasium en 1860 cuando tenía casi once años. En 1867, después de graduarse, fue a la Universidad de Göttingen donde comenzó sus estudios universitarios, pero solo estudió allí durante un semestre antes de regresar a Berlín, donde asistió a conferencias de Kronecker , Kummer y Karl Weierstrass . Recibió su doctorado (otorgado con distinción) en 1870 supervisado por Weierstrass . Su tesis fue sobre la solución de ecuaciones diferenciales. En 1874, después de haber enseñado en la escuela secundaria primero en el Joachimsthal Gymnasium y luego en la Sophienrealschule, fue nombrado profesor extraordinario de matemáticas en la Universidad de Berlín. Frobenius estuvo en Berlín solo un año antes de ir a Zúrich para tomar un puesto como profesor ordinario en el Eidgenössische Polytechnikum . Durante diecisiete años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zürich. Fue allí donde se casó, crió a su familia e hizo un trabajo muy importante en áreas muy diferentes de las matemáticas. En los últimos días de diciembre de 1891 murió Kronecker y, por tanto, su cátedra en Berlín quedó vacante. Weierstrass, convencido de que Frobenius era la persona adecuada para mantener a Berlín a la vanguardia de las matemáticas, utilizó su considerable influencia para designar a Frobenius. En 1893 regresó a Berlín, donde fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Prusia .
Contribuciones a la teoría de grupos
La teoría de grupos fue uno de los principales intereses de Frobenius en la segunda mitad de su carrera. Una de sus primeras contribuciones fue la demostración de los teoremas de Sylow para grupos abstractos. Las pruebas anteriores habían sido para grupos de permutación . Su demostración del primer teorema de Sylow (sobre la existencia de grupos de Sylow) es una de las que se utilizan con frecuencia en la actualidad.
- Frobenius también ha demostrado el siguiente teorema fundamental: Si un entero positivo n divide el orden | G | de un grupo finito G , entonces el número de soluciones de la ecuación x n = 1 en G es igual a kn para algún entero positivo k . También planteó el siguiente problema: si, en el teorema anterior, k = 1, entonces las soluciones de la ecuación x n = 1 en G forman un subgrupo. Hace muchos años, este problema se resolvió para grupos con solución . Solo en 1991, después de la clasificación de grupos finitos simples , este problema se resolvió en general.
Más importante fue su creación de la teoría de los personajes grupales y las representaciones grupales , que son herramientas fundamentales para estudiar la estructura de los grupos. Este trabajo condujo a la noción de reciprocidad de Frobenius y la definición de lo que ahora se llaman grupos de Frobenius . Se dice que un grupo G es un grupo de Frobenius si hay un subgrupo H < G tal que
- para todos .
En ese caso, el conjunto
junto con el elemento de identidad de G forma un subgrupo que es nilpotente como mostró John G. Thompson en 1959. Todas las demostraciones conocidas de ese teorema hacen uso de caracteres. En su primer artículo sobre caracteres (1896), Frobenius construyó la tabla de caracteres del grupo de orden (1/2) ( p 3 - p) para todos los primos impares p (este grupo es simple siempre que p > 3). También hizo contribuciones fundamentales a la teoría de la representación de los grupos simétricos y alternos .
Contribuciones a la teoría de números
Frobenius introdujo una forma canónica de convertir los números primos en clases de conjugación de grupos de Galois sobre Q . Específicamente, si K / Q es una extensión finita de Galois, entonces para cada primo (positivo) p que no se ramifica en K y para cada ideal primo P que se encuentra sobre p en K hay un elemento único g de Gal ( K / Q ) que satisface la condición g ( x ) = x p (mod P ) para todos los números enteros x de K . Al variar P sobre p , g se convierte en un conjugado (y cada conjugado de g ocurre de esta manera), por lo que la clase de conjugación de g en el grupo de Galois se asocia canónicamente ap . Esto se llama la clase de conjugación de Frobenius de p y cualquier elemento de la clase de conjugación se llama un elemento de Frobenius de p . Si tomamos para K el m - ésimo campo ciclotómico , cuyo grupo de Galois sobre Q son las unidades módulo m (y por lo tanto es abeliano, por lo que las clases de conjugación se convierten en elementos), entonces para p no dividir m la clase de Frobenius en el grupo de Galois es p mod m . Desde este punto de vista, la distribución de las clases de conjugación de Frobenius en los grupos de Galois sobre Q (o, más generalmente, los grupos de Galois sobre cualquier campo numérico) generaliza el resultado clásico de Dirichlet sobre los números primos en las progresiones aritméticas. El estudio de los grupos de Galois de extensiones de grado infinito de Q depende fundamentalmente de esta construcción de elementos de Frobenius, que proporciona en cierto sentido un subconjunto denso de elementos que son accesibles para un estudio detallado.
Ver también
Publicaciones
- Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (ed.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7 , MR 0235974
- De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (en latín), disertación, 1870
- Über die Entwicklung analytischer Functionen en Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1-30 (1871)
- Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254-272 (1872)
- Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236-270 (1873)
- Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214-235 (1873)
- Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245-257 (1874)
- Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
- Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
- Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183-193 (1875)
- Problema Über das Pfaffsche (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230-315 (1875)
- Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
- Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (en francés), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131-133 (1877)
- Zur Theorie der elliptischen Functionen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175-179 (1877)
- Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185-213 (1878)
- Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1-63 (1878)
- Über homogene totale Differentialgleichungen (en alemán), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1-19 (1879)
- Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (en alemán), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456—477 (1912)
Referencias
- Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer , Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2677-5 , MR 1715145 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ) Revisar