Biholomorfismo - Biholomorphism

La función exponencial compleja mapea biholomórficamente un rectángulo a un cuarto de anillo .

En la teoría matemática de funciones de una o más variables complejas , y también en geometría algebraica compleja , un biholomorfismo o función biholomorfa es una función biyectiva holomorfa cuya inversa también es holomorfa .

Definicion formal

Formalmente, una función biholomórfica es una función definida en un subconjunto abierto U del espacio complejo -dimensional C ⁿ con valores en C ⁿ que es holomórfico y uno a uno , de modo que su imagen es un conjunto abierto en C ⁿ y el el inverso también es holomórfico . De manera más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de las funciones de una sola variable compleja, una condición suficiente para que un mapa holomórfico sea biholomórfico en su imagen es que el mapa sea inyectivo, en cuyo caso la inversa también es holomórfica (p. Ej., Ver Gunning 1990, Teorema I. 11). ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1}: V \ a U}$

Si existe un biholomorfismo , decimos que U y V son biholomorphically equivalentes o que son biholomorphism . ${\ Displaystyle \ phi \ colon U \ to V}$

Teorema de mapeo de Riemann y generalizaciones

Si cada conjunto abierto simplemente conectado que no sea el plano complejo completo es biholomórfico para el disco unitario (este es el teorema de mapeo de Riemann ). La situación es muy diferente en dimensiones superiores. Por ejemplo, las bolas unitarias abiertas y los polidiscos unitarios abiertos no son biholomórficamente equivalentes para. De hecho, ni siquiera existe una función holomórfica adecuada de uno a otro. ${\ Displaystyle n = 1,}$${\ Displaystyle n> 1.}$

Definiciones alternativas

En el caso de los mapas f  : U → C definidos en un subconjunto abierto U del plano complejo C , algunos autores (por ejemplo, Freitag 2009, Definición IV.4.1) definen un mapa conforme como un mapa inyectivo con derivada distinta de cero, es decir, f '( z ) ≠ 0 para cada z en U . Según esta definición, un mapa f  : U → C es conforme si y solo si f : U → f ( U ) es biholomórfico. Otros autores (por ejemplo, Conway 1978) definen un mapa conforme como uno con derivada distinta de cero, sin requerir que el mapa sea inyectivo. Según esta definición más débil de conformalidad, un mapa conforme no necesita ser biholomórfico aunque sea localmente biholomórfico. Por ejemplo, si f : U → U está definida por f ( z ) = z ² con U = C - {0}, entonces f es conforme a U , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomórfico, ya que es 2-1.

Referencias

• John B. Conway (1978). Funciones de una variable compleja . Springer-Verlag. ISBN   3-540-90328-3 .
• John P. D'Angelo (1993). Varias variables complejas y la geometría de hipersuperficies reales . Prensa CRC. ISBN   0-8493-8272-6 .
• Eberhard Freitag y Rolf Busam (2009). Análisis complejo . Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-93982-5 .
• Robert C. Gunning (1990). Introducción a las funciones holomórficas de varias variables, vol. II . Wadsworth. ISBN   0-534-13309-6 .
• Steven G. Krantz (2002). Teoría de funciones de varias variables complejas . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN   0-8218-2724-3 .

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