Cálculo icosiano - Icosian calculus

El cálculo icosiano es una estructura algebraica no conmutativa descubierta por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856. En términos modernos, dio una presentación grupal del grupo de rotación icosaédrico por generadores y relaciones.

El descubrimiento de Hamilton derivó de sus intentos de encontrar un álgebra de "tripletes" o 3-tuplas que él creía reflejaría los tres ejes cartesianos . Los símbolos del cálculo icosiano pueden equipararse a movimientos entre vértices en un dodecaedro . El trabajo de Hamilton en esta área resultó indirectamente en los términos circuito hamiltoniano y trayectoria hamiltoniana en la teoría de grafos. También inventó el juego icosiano como medio para ilustrar y popularizar su descubrimiento.

Definición informal

Proyección estereográfica del dodecaedro utilizado para el juego icosiano de Hamilton

El álgebra se basa en tres símbolos que son raíces de unidad , en el sentido de que la aplicación repetida de cualquiera de ellos produce el valor 1 después de un número particular de pasos. Son:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ iota ^ {2} & = 1, \\\ kappa ^ {3} & = 1, \\\ lambda ^ {5} & = 1. \ end {alineado}}}

Hamilton también da otra relación entre los símbolos:

{\ Displaystyle \ lambda = \ iota \ kappa.}

(En términos modernos, este es el grupo de triángulos (2,3,5) ).

La operación es asociativa pero no conmutativa . Generan un grupo de orden 60, isomorfo al grupo de rotaciones de un icosaedro o dodecaedro regular , y por tanto al grupo alterno de grado cinco.

Aunque el álgebra existe como una construcción puramente abstracta, se puede visualizar más fácilmente en términos de operaciones en los bordes y vértices de un dodecaedro. El propio Hamilton usó un dodecaedro aplanado como base para su juego de instrucción.

Imagine un insecto arrastrándose a lo largo de un borde particular del dodecaedro etiquetado de Hamilton en una determinada dirección, digamos de a . Podemos representar este borde dirigido por . ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle BC}$

Ilustración geométrica de la operación iota en cálculo icosiano

El símbolo icosiano equivale a cambiar de dirección en cualquier borde, por lo que el insecto se arrastra de a (siguiendo el borde dirigido ). ${\ Displaystyle \ iota}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ displaystyle CB}$
El símbolo icosiano equivale a rotar el recorrido actual del insecto en sentido antihorario alrededor del punto final. En nuestro ejemplo, esto significaría cambiar la dirección inicial para convertirse . ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle BC}$ ${\ Displaystyle DC}$
El símbolo icosiano equivale a girar a la derecha en el punto final, moviéndose de a . ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle BC}$ ${\ Displaystyle CD}$