Transformada fraccional de Fourier - Fractional Fourier transform
En matemáticas , en el área del análisis armónico , la transformada fraccional de Fourier ( FRFT ) es una familia de transformaciones lineales que generalizan la transformada de Fourier . Se puede considerar como la transformada de Fourier a la n -ésima potencia, donde n no necesita ser un número entero ; por lo tanto, puede transformar una función en cualquier dominio intermedio entre el tiempo y la frecuencia . Sus aplicaciones van desde el diseño de filtros y el análisis de señales hasta la recuperación de fases y el reconocimiento de patrones .
La FRFT se puede utilizar para definir la convolución fraccionaria , la correlación y otras operaciones, y también se puede generalizar aún más en la transformación canónica lineal (LCT). Condon introdujo una definición temprana de FRFT , resolviendo la función de Green para las rotaciones de espacio de fase, y también por Namias, generalizando el trabajo de Wiener sobre polinomios de Hermite .
Sin embargo, no fue ampliamente reconocido en el procesamiento de señales hasta que fue reintroducido independientemente alrededor de 1993 por varios grupos. Desde entonces, ha habido un gran interés en extender el teorema de muestreo de Shannon para señales que están limitadas en banda en el dominio de Fourier fraccional.
Bailey y Swartztrauber introdujeron un significado completamente diferente para "transformada fraccional de Fourier" como esencialmente otro nombre para una transformada z , y en particular para el caso que corresponde a una transformada de Fourier discreta desplazada por una cantidad fraccionaria en el espacio de frecuencia (multiplicando el entrada mediante un chirrido lineal ) y evaluando en un conjunto fraccional de puntos de frecuencia (por ejemplo, considerando solo una pequeña parte del espectro). (Dichas transformaciones pueden evaluarse de manera eficiente mediante el algoritmo FFT de Bluestein ). Sin embargo, esta terminología ha dejado de utilizarse en la mayor parte de la literatura técnica, con preferencia a la FRFT. El resto de este artículo describe el FRFT.
Introducción
La transformada de Fourier continua de una función es un operador unitario de que mapea la función a su versión frecuencial (todas las expresiones se toman en el sentido, en lugar de puntual):
y se determina mediante la transformada inversa
Estudiemos su n -ésimo iterado definido por y cuando n es un número entero no negativo, y . Su secuencia es finito, ya está a 4 periódica automorphism : para cada función ƒ, .
Más precisamente, vamos a introducir el operador de paridad que se invierte , . Entonces se mantienen las siguientes propiedades:
El FRFT proporciona una familia de transformaciones lineales que amplía aún más esta definición para manejar potencias no enteras del FT.
Definición
Nota: algunos autores escriben la transformada en términos del "orden a " en lugar del "ángulo α ", en cuyo caso el α suele ser a multiplicado por π / 2 . Aunque estas dos formas son equivalentes, hay que tener cuidado con la definición que utiliza el autor.
Para cualquier α real , la transformada de Fourier fraccional de ángulo α de una función ƒ se denota y se define por
Formalmente, esta fórmula solo es válida cuando la función de entrada está en un espacio suficientemente agradable (como L1 o el espacio de Schwartz), y se define a través de un argumento de densidad, de una manera similar a la de la transformada de Fourier ordinaria (ver artículo), en el caso general.
Si α es un múltiplo entero de π, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. Sin embargo, esto se puede manejar tomando el límite y conduce a una función delta de Dirac en el integrando. Más directamente, ya que debe ser simplemente f ( t ) o f (- t ) para α un par o impar múltiplo de π respectivamente.
Para α = π / 2 , esto se convierte precisamente en la definición de la transformada de Fourier continua, y para α = - π / 2 es la definición de la transformada de Fourier continua inversa.
El argumento FRFT u no es espacial x ni una frecuencia ξ . Veremos por qué se puede interpretar como una combinación lineal de ambas coordenadas ( x , ξ ) . Cuando queramos distinguir el dominio fraccionario angular α , vamos a denotar el argumento de .
Observación: con la convención de frecuencia angular ω en lugar de la de frecuencia, la fórmula FRFT es el núcleo de Mehler ,
Propiedades
El operador de transformada de Fourier fraccional de orden α -ésimo , tiene las propiedades:
Aditividad
Para cualquier ángulo real α, β ,
Linealidad
Órdenes enteras
Si α es un múltiplo entero de , entonces:
Además, tiene la siguiente relación
Inverso
Conmutatividad
Asociatividad
Unitaridad
Inversión del tiempo
Transformación de una función desplazada
Defina los operadores de cambio y cambio de fase de la siguiente manera:
Luego
es decir,
Transformación de una función escalada
Defina los operadores de multiplicación de escala y chirrido de la siguiente manera:
Luego,
Observe que la transformada fraccionaria de Fourier de no se puede expresar como una versión escalada de . Más bien, la transformada fraccional de Fourier de resulta ser una versión escalada y modulada por chirrido de where es un orden diferente.
Núcleo fraccional
El FRFT es una transformación integral
Aquí nuevamente los casos especiales son consistentes con el comportamiento límite cuando α se acerca a un múltiplo de π .
El FRFT tiene las mismas propiedades que sus núcleos:
- simetría:
- inverso:
- aditividad:
Transformaciones relacionadas
También existen generalizaciones fraccionarias relacionadas de transformadas similares, como la transformada discreta de Fourier .
- La discreta fraccional transformada de Fourier se define por Zeev Zalevsky . Somma describe un algoritmo cuántico para implementar una versión de la transformada de Fourier fraccional discreta en el tiempo subpolinomial.
- La transformada de ondícula fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada de ondícula clásica en los dominios de la transformada de Fourier fraccional.
- La transformada chirplet para una generalización relacionada de la transformada wavelet .
Generalizaciones
La transformada de Fourier es esencialmente bosónica ; Funciona porque es consistente con el principio de superposición y los patrones de interferencia relacionados. También hay una transformada fermiónica de Fourier. Estos se han generalizado en una FRFT supersimétrica y una transformación de radón supersimétrica . También hay una transformada fraccional de radón, una FRFT simpléctica y una transformada de ondícula simpléctica . Debido a que los circuitos cuánticos se basan en operaciones unitarias , son útiles para calcular transformaciones integrales, ya que estas últimas son operadores unitarios en un espacio funcional . Se ha diseñado un circuito cuántico que implementa el FRFT.
Interpretación
La interpretación habitual de la transformada de Fourier es como una transformación de una señal en el dominio del tiempo en una señal en el dominio de la frecuencia. Por otro lado, la interpretación de la transformada de Fourier inversa es como una transformación de una señal en el dominio de la frecuencia en una señal en el dominio del tiempo. Las transformadas fraccionales de Fourier transforman una señal (ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia) en el dominio entre el tiempo y la frecuencia: es una rotación en el dominio del tiempo-frecuencia . Esta perspectiva se generaliza mediante la transformación canónica lineal , que generaliza la transformada fraccional de Fourier y permite transformaciones lineales del dominio tiempo-frecuencia distintas de la rotación.
Tome la siguiente figura como ejemplo. Si la señal en el dominio del tiempo es rectangular (como se muestra a continuación), se convierte en una función sinc en el dominio de la frecuencia. Pero si se aplica la transformada fraccionaria de Fourier a la señal rectangular, la salida de la transformación estará en el dominio entre el tiempo y la frecuencia.
La transformada fraccionaria de Fourier es una operación de rotación en una distribución de tiempo-frecuencia . De la definición anterior, para α = 0, no habrá ningún cambio después de aplicar la transformada fraccional de Fourier, mientras que para α = π / 2, la transformada fraccional de Fourier se convierte en una transformada de Fourier simple, que rota la distribución de tiempo-frecuencia con π / 2. Para otro valor de α , la transformada fraccional de Fourier rota la distribución de tiempo-frecuencia de acuerdo con α. La siguiente figura muestra los resultados de la transformada fraccional de Fourier con diferentes valores de α .
Solicitud
La transformada fraccional de Fourier se puede utilizar en análisis de frecuencia de tiempo y DSP . Es útil filtrar el ruido, pero con la condición de que no se superponga con la señal deseada en el dominio de tiempo-frecuencia. Considere el siguiente ejemplo. No podemos aplicar un filtro directamente para eliminar el ruido, pero con la ayuda de la transformada fraccional de Fourier, primero podemos rotar la señal (incluida la señal y el ruido deseados). Luego aplicamos un filtro específico, que permitirá que pase solo la señal deseada. Por lo tanto, el ruido se eliminará por completo. Luego usamos la transformada fraccional de Fourier nuevamente para rotar la señal hacia atrás y podemos obtener la señal deseada.
Por lo tanto, usando solo el truncamiento en el dominio del tiempo, o filtros de paso bajo equivalente en el dominio de la frecuencia, uno puede eliminar cualquier conjunto convexo en el espacio de tiempo-frecuencia; El simple uso de métodos en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia sin transformadas fraccionarias de Fourier solo permite cortar rectángulos paralelos a los ejes.
Las transformadas fraccionales de Fourier también tienen aplicaciones en física cuántica. Por ejemplo, se utilizan para formular relaciones de incertidumbre entrópica.
También son útiles en el diseño de sistemas ópticos y para optimizar la eficiencia del almacenamiento holográfico.
Ver también
Otras transformaciones de frecuencia de tiempo:
- Transformación canónica lineal
- Transformada de Fourier de corta duración
- Transformada wavelet
- Transformación de chirplet
- Función de distribución en forma de cono
- Transformada cuadrática de Fourier
Referencias
Bibliografía
- Candan, C .; Kutay, MA; Ozaktas, HM (mayo de 2000). "La transformada de Fourier fraccional discreta" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 48 (5): 1329-1337. Código Bibliográfico : 2000ITSP ... 48.1329C . doi : 10.1109 / 78.839980 . hdl : 11693/11130 .
- Ding, Jian-Jiun (2007). Análisis de frecuencia de tiempo y transformada de ondículas (notas de clase). Taipei, Taiwán: Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU).
- Lohmann, AW (1993). "Rotación de imagen, rotación de Wigner y la transformada fraccional de Fourier". J. Opt. Soc. Am . A (10): 2181–2186. Código Bibliográfico : 1993JOSAA..10.2181L . doi : 10.1364 / JOSAA.10.002181 .
- Ozaktas, Haldun M .; Zalevsky, Zeev; Kutay, M. Alper (2001). La transformada fraccional de Fourier con aplicaciones en óptica y procesamiento de señales . Serie en Óptica Pura y Aplicada. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-96346-2.
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- Saxena, Rajiv; Singh, Kulbir (enero-febrero de 2005). "Transformada fraccional de Fourier: una herramienta novedosa para el procesamiento de señales" (PDF) . J. Indian Inst. Sci . 85 : 11-26. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011.
enlaces externos
- DiscreteTFDs: software para calcular la transformada fraccional de Fourier y las distribuciones de tiempo-frecuencia.
- " Transformada Fraccional de Fourier " de Enrique Zeleny, El Proyecto de Demostraciones Wolfram .
- Páginas web de FRFT (Transformada de Fourier fraccional) del Dr. YangQuan Chen
- LTFAT: una caja de herramientas Matlab / Octave gratuita (GPL) Contiene varias versiones de la transformada fraccional de Fourier .