Subgrupo característico - Characteristic subgroup
En matemáticas , particularmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , un subgrupo característico es un subgrupo que se asigna a sí mismo por cada automorfismo del grupo principal . Debido a que cada mapa de conjugación es un automorfismo interno , cada subgrupo característico es normal ; aunque no se garantiza lo contrario. Ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo de conmutadores y el centro de un grupo .
Definición
Un subgrupo H de un grupo G se denomina subgrupo característico si para cada automorfismo φ de G , se tiene φ ( H ) ≤ H ; luego escribir H Char G .
Sería equivalente a requerir la condición más fuerte φ ( H ) = H para cada automorfismo φ de G , porque φ −1 ( H ) ≤ H implica la inclusión inversa H ≤ φ ( H ) .
Propiedades básicas
Dado H char G , cada automorfismo de G induce un automorfismo del grupo cociente G / H , que produce un homomorfismo Aut ( G ) → Aut ( G / H ) .
Si G tiene un subgrupo único H de un índice dado, entonces H es característico en G .
Conceptos relacionados
Subgrupo normal
Un subgrupo de H que es invariante bajo todos los automorfismos internos se llama normal ; también, un subgrupo invariante.
- ∀φ ∈ Posada ( G ) ： φ [ H ] ≤ H
Dado que Inn ( G ) ⊆ Aut ( G ) y un subgrupo característico es invariante bajo todos los automorfismos, cada subgrupo característico es normal. Sin embargo, no todos los subgrupos normales son característicos. A continuación se muestran varios ejemplos:
- Deje que H sea un grupo no trivial, y dejar que G sea el producto directo , H × H . Entonces los subgrupos, {1} × H y H × {1} , son ambos normales, pero ninguno es característico. En particular, ninguno de estos subgrupos es invariante bajo el automorfismo, ( x , y ) → ( y , x ) , que cambia los dos factores.
- Para un ejemplo concreto de esto, sea V el grupo de cuatro de Klein (que es isomorfo al producto directo, ℤ 2 × ℤ 2 ). Dado que este grupo es abeliano , todos los subgrupos son normales; pero cada permutación de los 3 elementos no identitarios es un automorfismo de V , por lo que los 3 subgrupos de orden 2 no son característicos. Aquí V = { e , a , b , ab } . Considere H = { e , a } y considere el automorfismo, T ( e ) = e , T ( a ) = b , T ( b ) = a , T ( ab ) = ab ; entonces T ( H ) no está contenido en H .
- En el grupo de cuaterniones de orden 8, cada uno de los subgrupos cíclicos de orden 4 es normal, pero ninguno de estos es característico. Sin embargo, el subgrupo, {1, −1} , es característico, ya que es el único subgrupo de orden 2.
- Si n es par, el grupo diedro de orden 2 n tiene 3 subgrupos de índice 2, todos los cuales son normales. Uno de ellos es el subgrupo cíclico, que es característico. Los otros dos subgrupos son diedros; estos están permutados por un automorfismo externo del grupo padre y, por lo tanto, no son característicos.
Subgrupo estrictamente característico
A subgrupo estrictamente característico , o unsubgrupo distinguido , que es invariante bajoendomorfismossobreyectivos . Paragrupos finitos, la sobrejetividad de un endomorfismo implica inyectividad, por lo que un endomorfismo sobreyectiva es un automorfismo; por tanto, serestrictamente característicoequivale acaracterístico. Este ya no es el caso de los grupos infinitos.
Subgrupo completamente característico
Para una restricción aún más fuerte, un subgrupo completamente característico (también, subgrupo completamente invariante ; cf. subgrupo invariante), H , de un grupo G , es un grupo que permanece invariante bajo cada endomorfismo de G ; es decir,
- ∀φ ∈ End ( G ): φ [ H ] ≤ H .
Cada grupo se tiene a sí mismo (el subgrupo impropio) y al subgrupo trivial como dos de sus subgrupos completamente característicos. El subgrupo de conmutadores de un grupo es siempre un subgrupo completamente característico.
Cada endomorfismo de G induce un endomorfismo de G / H , que produce un mapa Fin ( G ) → Fin ( G / H ) .
Subgrupo verbal
Una restricción aún más fuerte es el subgrupo verbal , que es la imagen de un subgrupo completamente invariante de un grupo libre bajo un homomorfismo. De manera más general, cualquier subgrupo verbal es siempre completamente característico. Para cualquier grupo libre reducido y, en particular, para cualquier grupo libre , lo contrario también es válido: todo subgrupo completamente característico es verbal.
Transitividad
La propiedad de ser característico o completamente característico es transitiva ; Si H es un (completamente) subgrupo característico de K , y K es un (completamente) subgrupo característico de G , entonces H es un (completamente) subgrupo característico de G .
- H Char K Char G ⇒ H Char G .
Además, aunque la normalidad no es transitiva, es cierto que todos los subgrupos característicos de un subgrupo normal son normales.
- H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G
De manera similar, aunque ser estrictamente característico (distinguido) no es transitivo, es cierto que todo subgrupo completamente característico de un subgrupo estrictamente característico es estrictamente característico.
Sin embargo, a diferencia de la normalidad, si H Char G y K es un subgrupo de G que contiene H , a continuación, en general H no es necesariamente característica en K .
- H carácter G , H < K < G ⇏ H carácter K
Contención
Cada subgrupo que es completamente característico es ciertamente estrictamente característico y característico; pero un subgrupo característico o incluso estrictamente característico no necesita ser completamente característico.
El centro de un grupo es siempre un subgrupo estrictamente característico, pero no siempre es completamente característico. Por ejemplo, el grupo finito de orden 12, Sym (3) × ℤ / 2ℤ , tiene un homomorfismo que toma ( π , y ) a ((1, 2) y , 0) , que toma el centro, 1 × ℤ / 2ℤ , en un subgrupo de Sym (3) × 1 , que se encuentra con el centro solo en la identidad.
La relación entre estas propiedades de subgrupos se puede expresar como:
- Subgrupo ⇐ Subgrupo normal ⇐ Subgrupo característico ⇐ Subgrupo estrictamente característico ⇐ Subgrupo completamente característico ⇐ Subgrupo verbal
Ejemplos de
Ejemplo finito
Considere el grupo G = S 3 × ℤ 2 (el grupo de orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de orden 6 y un grupo cíclico de orden 2). El centro de G es isomorfo a su segundo factor ℤ 2 . Tenga en cuenta que el primer factor, S 3 , contiene subgrupos isomorfos a ℤ 2 , por ejemplo {e, (12)} ; sea f : ℤ 2 → S 3 el mapeo de morfismo ℤ 2 en el subgrupo indicado. Entonces, la composición de la proyección de G sobre su segundo factor ℤ 2 , seguida de f , seguida de la inclusión de S 3 en G como su primer factor, proporciona un endomorfismo de G bajo el cual la imagen del centro, ℤ 2 , es no contenía en el centro, por lo que aquí el centro no es un subgrupo completamente característico de G .
Grupos cíclicos
Cada subgrupo de un grupo cíclico es característico.
Functores de subgrupos
El subgrupo derivado (o subgrupo de conmutadores) de un grupo es un subgrupo verbal. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es un subgrupo completamente invariante.
Grupos topológicos
El componente de identidad de un grupo topológico es siempre un subgrupo característico.