algebraica de números - Algebraic number


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Un número algebraico es cualquier número complejo (incluyendo números reales ) que es una raíz de un no-cero polinomio (es decir, un valor que hace que el polinomio a igual a 0) en una variable con racionales coeficientes (o equivalentemente - por despejar denominadores - con enteros coeficientes). Todos los números enteros y números racionales son algebraicos, como lo son todas las raíces de números enteros . Lo mismo no es cierto para todos los números reales o todos los números complejos. Esos números reales y complejos que no son algebraica son llamados números trascendentes . Incluyen π y e . Mientras que el conjunto de los números complejos es incontable , el conjunto de números algebraicos es numerable y tiene medida cero en la medida de Lebesgue como un subconjunto de los números complejos, y en este sentido casi todos los números complejos son trascendentales.

Ejemplos

  • Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de dos números enteros un y b , b no es igual a cero, satisface la definición anterior porque x = un / b es la raíz de un polinomio no es cero, a saber bx - una .
  • Los irracionales cuadráticos (raíces irracionales de un polinomio cuadrático ax 2 + bx + c con número entero coeficientes de un , b , y c ) son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es mónico ( un = 1 ), entonces las raíces son más cualificado como números enteros cuadráticos .
  • Los números construibles son aquellos números que se pueden construir a partir de una unidad de longitud dada usando regla y compás. Estos incluyen todos los irracionales de segundo grado, todos los números racionales, y todos los números que se pueden formar a partir de éstos mediante las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Tenga en cuenta que, designando direcciones cardinales para 1, -1, i , y - i , números complejos tales como 3 + 2 i construible se consideran.)
  • Cualquier expresión formado a partir de los números algebraicos utilizando cualquier combinación de las operaciones aritméticas básicas y extracción de n º raíces da otro número algebraico.
  • Raíces polinomio que no pueden ser expresadas en términos de las operaciones aritméticas básicas y extracción de n º raíces (tales como las raíces de x 5 - x + 1 ). Esto sucede con muchos , pero no todos, los polinomios de grado 5 o superior.
  • Enteros de Gauss : los números complejos a + bi donde tanto un y b son números enteros son también enteros cuadrática.
  • Los valores de las funciones trigonométricas de racionales múltiplos de π (excepto cuando no definido): es decir, los números trigonométricas . Por ejemplo, cada uno de cos pi / 7 , cos / 7 , cos / 7 satisface 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . Este polinomio es irreducible sobre los números racionales, y por lo que estos tres cosenos son conjugadas números algebraicos. Del mismo modo, tan / 16 , tan / 16 , tan 11π / 16 , tan 15π / 16 todos satisfacen el polinomio irreducible x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , y también lo son conjugadas enteros algebraicos .
  • Algunos números irracionales son algebraicos y algunos no lo son:
    • Los números 2 y 33 / 2 son algebraica ya que son raíces de polinomios x 2 - 2 y 8 x 3 - 3 , respectivamente.
    • El número de oro φ es algebraico, ya que es una raíz del polinomio x 2 - x - 1 .
    • Los números π y e no son números algebraicas (ver el teorema de Lindemann-Weierstrass ); por lo tanto son trascendental.

propiedades

Números algebraicos en el plano complejo de color por grado (rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4)
  • El conjunto de números algebraicos es numerable (enumerable).
  • De ahí que el conjunto de números algebraicos tiene medida de Lebesgue cero (como un subconjunto de los números complejos), es decir, " casi todos " los números complejos no son algebraicos.
  • Dado un número algebraico, existe un único polinomio mónico (con coeficientes racionales) de menor grado que tiene el número como una raíz. Este polinomio se llama el polinomio mínimo . Si su mínima polinomio tiene grado n , entonces el número algebraico se dice que es de grado n . Un número algebraico de grado 1 es un número racional . Un número algebraico de grado 2 es un irracional cuadrática .
  • Todos los números algebraicos son computables y por lo tanto definible y aritmética .
  • El conjunto de números algebraicos reales se ordenó linealmente , contable, densamente ordenada y sin primer o último elemento, por lo que es el fin-isomorfo al conjunto de los números racionales.
  • Para los números reales a y b , el número complejo a + bi es algebraico si y sólo si ambos una y b son algebraicos.

El cuerpo de los números algebraicos

números algebraicos coloreadas por grado (azul = 4, cian = 3, rojo = 2, verde = 1). El círculo de la unidad es de color negro.

La suma, diferencia, producto y cociente (si el denominador es distinto de cero) de dos números algebraica es de nuevo algebraica (este hecho se puede demostrar utilizando el resultante ), y por lo tanto los números algebraicos forman un campo Q (a veces denotado por A , aunque esto generalmente denota el anillo de adele ). Cada raíz de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números algebraicos es nuevo algebraica. Esto puede ser reformulada diciendo que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado . De hecho, es el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales, y por lo tanto se llama la clausura algebraica de los racionales.

El conjunto de verdaderos números algebraicos misma forma un campo.

Campos relacionados

Números definidos por los radicales

Todos los números que se pueden obtener a partir de los números enteros usando un finito número de enteros adiciones , sustracciones , multiplicaciones , divisiones , y teniendo n º raíces donde n es un entero positivo ( expresiones radicales ) son algebraicos. Lo contrario, sin embargo, no es cierto: hay números algebraicos que no pueden obtenerse de esta manera. Todos estos números son raíces de los polinomios de grado 5 o más. Este es un resultado de la teoría de Galois (ver ecuaciones de quinto grado y el teorema de Abel-Ruffini ). Un ejemplo de un tal número es la raíz real único del polinomio x 5 - x - 1 (que es de aproximadamente 1.167 304 ).

Número de forma cerrada

Números algebraicos son todos los números que se pueden definir de forma explícita o implícitamente en términos de polinomios, a partir de los números racionales. Uno puede generalizar esto a " números de forma cerrada ", que se pueden definir de varias maneras. De forma más general, todos los números que se pueden definir de forma explícita o implícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos se denominan "números elementales", y éstos incluyen los números algebraicos, además de algunos números trascendentes. Más estrecho, se puede considerar números explícitamente definidos en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos - esto no incluye todos los números algebraicos, pero sí incluye algunos números trascendentales simples tales como correo o ln 2 .

enteros algebraicos

números algebraicos coloreadas por coeficiente principal (rojo significa 1 para un número entero algebraico)

Un entero algebraico es un número algebraico que es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros con coeficiente principal 1 (un polinomio mónico). Ejemplos de enteros algebraicos son 5 + 13 2 , 2 - 6 i y 1 / 2 (1 + i 3 ) . Tenga en cuenta, por tanto, que los enteros algebraicos constituyen una adecuada superconjunto de los números enteros , ya que estas últimas son las raíces de los polinomios monic x - k para todos kZ . En este sentido, son números enteros algebraicos a los números algebraicos lo que los números enteros son a números racionales .

La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos son de nuevo enteros algebraicos, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo . El nombre entero algebraico viene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los números enteros, y porque los enteros algebraicos en cualquier campo de número son de muchas maneras análogos a los números enteros. Si K es un campo de número, su anillo de los enteros es el subanillo de enteros algebraicos en K , y se denota con frecuencia como O K . Estos son los ejemplos prototípicos de dominios de Dedekind .

Clases especiales de números algebraicos

notas

referencias

  • Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall , ISBN  0-13-004763-5 , MR  1129886
  • Hardy, GH y Wright, EM 1978, 2000 (con el índice general) Una Introducción a la Teoría de Números: 5ª edición , Clarendon Press, Oxford Reino Unido, ISBN  0-19-853171-0
  • Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una Introducción a la clásica teoría moderna de Número , graduado en Matemáticas Textos, 84 (Segunda ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN  0-387-97329-X , MR  1070716
  • Lang, Serge (2002), Álgebra , Graduados Textos en Matemáticas , 211 (revisado tercera ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Niven, Ivan 1956. Los números irracionales , Carus Matemática monografía no. 11, Mathematical Association of America .
  • Ore, Øystein 1948, 1988, Teoría de Números y su historia , Dover Publications, Inc. Nueva York, ISBN  0-486-65620-9 (pbk.)