Regla integral de Leibniz - Leibniz integral rule

En cálculo , la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo de la integral, llamada así por Gottfried Leibniz , establece que para una integral de la forma

${\ Displaystyle \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}$

donde , la derivada de esta integral se puede expresar como ${\ Displaystyle - \ infty <a (x), b (x) <\ infty}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big ( } x, b (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} b (x) -f {\ big (} x, a (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} a (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} f (x, t) \, dt,}$

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Poder Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno Reynolds
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Poder Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Comparación de límites Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
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v t mi

donde la derivada parcial indica que dentro de la integral, solo se considera la variación de con al tomar la derivada. Observe que si y son constantes en lugar de funciones de , tenemos el caso especial: ${\ Displaystyle f (x, t)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle a (x)}$${\ Displaystyle b (x)}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt \ right) = \ int _ {a} ^ {b} { \ frac {\ parcial} {\ parcial x}} f (x, t) \, dt.}$

Además, si y , que también es una situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración repetida de Cauchy), tenemos: ${\ Displaystyle a (x) = a}$${\ Displaystyle b (x) = x}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a} ^ {x} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big (} x, x {\ grande)} + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} f (x, t) \, dt,}$

Así, bajo ciertas condiciones, se pueden intercambiar los operadores diferenciales parciales e integrales . Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que se puede diferenciar para generar los momentos de una variable aleatoria . La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .

Mayores dimensiones

La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla se conoce mejor en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds :

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {D (t)} F (\ mathbf {x}, t) \, dV = \ int _ {D (t)} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} F (\ mathbf {x}, t) \, dV + \ int _ {\ parcial D (t)} F (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {v} _ {b } \ cdot d \ mathbf {\ Sigma},}$

donde es una función escalar, D ( t ) y ∂ D ( t ) denotan una región conectada de R ^{3 que} varía en el tiempo y su límite, respectivamente, es la velocidad euleriana del límite (ver coordenadas lagrangianas y eulerianas ) y d Σ = n dS es la componente normal unidad de la superficie de elemento . ${\ Displaystyle F (\ mathbf {x}, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {b}}$

El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial , específicamente formas diferenciales , derivados exteriores , productos de cuña y productos interiores . Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega (t)} \ omega = \ int _ {\ Omega (t)} i _ {\ mathbf {v}} (d_ {x} \ omega) + \ int _ {\ parcial \ Omega (t)} i _ {\ mathbf {v}} \ omega + \ int _ {\ Omega (t)} {\ dot {\ omega}},}$

donde Ω ( t ) es un dominio de integración variable en el tiempo, ω es una forma p , es el campo vectorial de la velocidad, denota el producto interior con , d _x ω es la derivada exterior de ω con respecto a las variables espaciales solo y es la derivada de ω en el tiempo . ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}}}$${\ Displaystyle i _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle {\ dot {\ omega}}}$

Sin embargo, todas estas identidades se pueden derivar de una declaración más general sobre los derivados de Lie:

${\ Displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ right | _ {t = 0} \ int _ {\ operatorname {im} _ {\ psi _ {t}} (\ Omega)} \ omega = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} _ {\ Psi} \ omega,}$

Aquí, la variedad ambiental en la que vive la forma diferencial incluye tanto el espacio como el tiempo. ${\ Displaystyle \ omega}$

• ${\ Displaystyle \ Omega}$es la región de integración (una subvariedad) en un instante dado (no depende de , ya que su parametrización como subvariedad define su posición en el tiempo),${\ Displaystyle t}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$es la derivada de Lie ,
• ${\ Displaystyle \ Psi}$es el campo vectorial del espacio-tiempo obtenido al agregar el campo vectorial unitario en la dirección del tiempo al campo vectorial puramente espacial de las fórmulas anteriores (es decir, es la velocidad del espacio-tiempo de ),${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ Psi}$${\ Displaystyle \ Omega}$
• ${\ Displaystyle \ psi _ {t}}$es un difeomorfismo del grupo de un parámetro generado por el flujo de , y${\ Displaystyle \ Psi}$
• ${\ Displaystyle {\ text {im}} _ {\ psi _ {t}} (\ Omega)}$es la imagen de bajo tal difeomorfismo.${\ Displaystyle \ Omega}$

Algo notable de esta forma es que puede explicar el caso en el que cambia su forma y tamaño con el tiempo, ya que tales deformaciones están totalmente determinadas por . ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Psi}$

Declaración de la teoría de la medida

Sea un subconjunto abierto de y sea ​​un espacio de medida . Suponga que satisface las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle f \ colon X \ times \ Omega \ to \ mathbf {R}}$

1. ${\ Displaystyle f (x, \ omega)}$es una función integrable de Lebesgue de para cada uno .${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle x \ in X}$
2. Para casi todos , la derivada existe para todos .${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle f_ {x}}$${\ Displaystyle x \ in X}$
3. Existe una función integrable tal que para todos y casi todos .${\ Displaystyle \ theta \ colon \ Omega \ to \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle | f_ {x} (x, \ omega) | \ leq \ theta (\ omega)}$${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

Entonces, para todos , ${\ Displaystyle x \ in X}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {\ Omega} f (x, \ omega) \, d \ omega = \ int _ {\ Omega} f_ {x} (x, \ omega) \, d \ omega.}$

La demostración se basa en el teorema de convergencia dominado y el teorema del valor medio (detalles a continuación).

Pruebas

Prueba de forma básica

En primer lugar, demostramos el caso de límites constantes de integración una y b .

Usamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada x y h , tal que h > 0 y tanto x como x + h están dentro de [ x ₀ , x ₁ ], tenemos:

${\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {x + h} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx = \ int _ {a} ^ {b } \ int _ {x} ^ {x + h} f_ {x} (x, t) \, dx \, dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (f (x + h, t) -f (x, t) \ right) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt- \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt}$

Tenga en cuenta que las integrales en cuestión están bien definidas, ya que es continua en el rectángulo cerrado y, por lo tanto, también uniformemente continua allí; por tanto, sus integrales por dt o dx son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente esto se debe a que para funciones uniformemente continuas, uno puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica más adelante). ${\ Displaystyle f_ {x} (x, t)}$${\ Displaystyle [x_ {0}, x_ {1}] \ times [a, b]}$

Por lo tanto:

${\ Displaystyle {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt- \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt} { h}} = {\ frac {1} {h}} \ int _ {x} ^ {x + h} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx = {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}}}$

Donde hemos definido:

${\ Displaystyle F (u) \ equiv \ int _ {x_ {0}} ^ {u} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx}$

(podemos reemplazar x ₀ aquí por cualquier otro punto entre x ₀ y x )

F es diferenciable con derivada , por lo que podemos tomar el límite donde h tiende a cero. Para el lado izquierdo, este límite es: ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt}$

Para el lado derecho, obtenemos:

${\ Displaystyle F '(x) = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

Y así probamos el resultado deseado:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

Otra prueba usando el teorema de convergencia acotada

Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue , podemos usar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para integrales de Riemann ) para mostrar que el límite puede pasarse por el signo de la integral.

Tenga en cuenta que esta demostración es más débil en el sentido de que solo muestra que f _x ( x , t ) es integrable de Lebesgue, pero no que es integrable de Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f ( x , t ) es integrable de Riemann, entonces también lo es f _x ( x , t ) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable de Lebesgue).

Dejar

${\ Displaystyle u (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt.}$

( 1 )

Por la definición de la derivada,

${\ Displaystyle u '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {u (x + h) -u (x)} {h}}.}$

( 2 )

Sustituya la ecuación ( 1 ) en la ecuación ( 2 ). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1 / h es una constante, por lo que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} u '(x) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt - \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ int _ {a} ^ { b} \ left (f (x + h, t) -f (x, t) \ right) \, dt} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x + h, t) -f (x, t)} {h}} \, dt. \ end {alineado}}}$

Ahora mostramos que el límite se puede pasar a través del signo integral.

Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido por el teorema de la convergencia acotada (un corolario del teorema de la convergencia dominada ). Para cada δ > 0, considere el cociente de diferencias

${\ Displaystyle f _ {\ delta} (x, t) = {\ frac {f (x + \ delta, t) -f (x, t)} {\ delta}}.}$

Para t fijo, el teorema del valor medio implica que existe z en el intervalo [ x , x + δ ] tal que

${\ Displaystyle f _ {\ delta} (x, t) = f_ {x} (z, t).}$

La continuidad de f _x ( x , t ) y la compacidad del dominio juntas implican que f _x ( x , t ) está acotada. La aplicación anterior del teorema del valor medio, por lo tanto, da un límite uniforme (independiente de ) . Los cocientes de diferencias convergen puntualmente a la derivada parcial f _x asumiendo que existe la derivada parcial. ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle f _ {\ delta} (x, t)}$

El argumento anterior muestra que para cada secuencia { δ _n } → 0, la secuencia está uniformemente acotada y converge puntualmente af _x . El teorema de la convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medidas finitas está uniformemente acotada y converge puntualmente, entonces el paso del límite por debajo de la integral es válido. En particular, el límite y la integral se pueden intercambiar para cada secuencia { δ _n } → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 se puede pasar a través del signo de la integral. ${\ Displaystyle \ {f _ {\ delta _ {n}} (x, t) \}}$

Formulario de límites variables

Para una función continua de valor real g de una variable real , y funciones diferenciables de valor real y de una variable real, ${\ Displaystyle f_ {1}}$${\ Displaystyle f_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ right) = g \ left (f_ {2} (x) \ right) {f_ {2} '(x)} - g \ left (f_ {1} (x) \ right) {f_ {1}' (x)}.}$

Esto se sigue de la regla de la cadena y del primer teorema fundamental del cálculo . Definir

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt,}$

y

${\ Displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, dt.}$ (El límite inferior solo tiene que ser un número en el dominio de )${\ Displaystyle g}$

Entonces, se puede escribir como una composición : . La regla de la cadena implica entonces que ${\ Displaystyle G (x)}$${\ Displaystyle G (x) = (\ Gamma \ circ f_ {2}) (x) - (\ Gamma \ circ f_ {1}) (x)}$

${\ Displaystyle G '(x) = \ Gamma' \ left (f_ {2} (x) \ right) f_ {2} '(x) - \ Gamma' \ left (f_ {1} (x) \ right) f_ {1} '(x).}$

Por el primer teorema fundamental del cálculo , . Por lo tanto, sustituyendo este resultado anterior, obtenemos la ecuación deseada: ${\ Displaystyle \ Gamma '(x) = g (x)}$

${\ Displaystyle G '(x) = g \ left (f_ {2} (x) \ right) {f_ {2}' (x)} - g \ left (f_ {1} (x) \ right) {f_ {1} '(x)}.}$

Nota: Este formulario puede ser particularmente útil si la expresión a diferenciar tiene el siguiente formato:

${\ Displaystyle \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) \, dt}$

Debido a que no depende de los límites de integración, se puede mover desde debajo del signo integral, y la forma anterior se puede usar con la regla del Producto , es decir, ${\ Displaystyle h (x)}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) \, dt \ derecha) = {\ frac {d} {dx}} \ izquierda (h (x) \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ derecha) = h '(x) \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt + h (x) {\ frac {d} {dx }} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ right)}$

Forma general con límites variables

Colocar

${\ Displaystyle \ varphi (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx,}$

donde un y b son funciones de α que incrementos de exhibición delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [4pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [4pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \ , dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [4pt] & = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} [f ( x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx . \ end {alineado}}}$

Una forma del teorema de valor medio , donde un < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ varphi anteriormente, resultando en ${\ estilo de texto \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = (ba) f (\ xi)}$

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = - \ Delta af (\ xi _ {1}, \ alpha + \ Delta \ alpha) + \ int _ {a} ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ Delta bf (\ xi _ {2}, \ alpha + \ Delta \ alpha).}$

Dividir por Delta alpha y dejar Delta alpha → 0. Aviso ξ ₁ → una y ξ ₂ → b . Podemos pasar el límite a través del signo integral:

${\ Displaystyle \ lim _ {\ Delta \ alpha \ to 0} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)} {\ Delta \ alpha}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \, dx,}$

nuevamente por el teorema de convergencia acotada. Esto produce la forma general de la regla integral de Leibniz,

${\ Displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx + f (b, \ alpha) {\ frac {db} {d \ alpha}} - f (a, \ alpha) {\ frac {da} {d \ alpha}}.}$

Prueba alternativa de la forma general con límites variables, usando la regla de la cadena

La forma general de la regla integral de Leibniz con límites variables se puede derivar como consecuencia de la forma básica de la regla integral de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo . Supongamos que se define en un rectángulo en el plano, para y . Además, suponga que y la derivada parcial son funciones continuas en este rectángulo. Supongamos que se definen funciones diferenciables con valores reales , con valores en (es decir, para cada ). Ahora, establezca ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle xt}$${\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ Displaystyle t \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$${\ Displaystyle f}$${\ estilo de texto {\ frac {\ f parcial} {\ x parcial}}}$${\ Displaystyle a, b}$${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ Displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$${\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}], a (x), b (x) \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$

${\ Displaystyle F (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) \, dt,}$   para y ${\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ Displaystyle y \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$

y

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}$   por ${\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}$

Entonces, por las propiedades de las integrales definidas , podemos escribir

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (x) & = \ int _ {t_ {1}} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt- \ int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} f (x, t) \, dt \\ [4pt] & = F (x, b (x)) - F (x, a (x)) \ end {alineado}}}$

Dado que todas las funciones son diferenciables (ver el comentario al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable , se deduce que es diferenciable, y su derivada está dada por la fórmula: ${\ Displaystyle F, a, b}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle G '(x) = \ izquierda ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} (x, b (x)) + {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}} ( x, b (x)) b '(x) \ derecha) - \ izquierda ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} (x, a (x)) + {\ frac {\ parcial F} {\ y parcial}} (x, a (x)) a '(x) \ right)}$  

Ahora, nota que para cada , y para cada , se tiene que , debido a la hora de tomar la derivada parcial con respecto de , estamos manteniendo fijas en la expresión ; por tanto, se aplica la forma básica de la regla integral de Leibniz con límites constantes de integración. A continuación, según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo , tenemos eso ; porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , la primera variable es fija, por lo que el teorema fundamental se puede aplicar. ${\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ Displaystyle y \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$${\ estilo de texto {\ frac {\ F parcial} {\ x parcial}} (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} {\ frac {\ f parcial} {\ x parcial}} (x, t) \, dt}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle y}$${\ textstyle \ int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) \, dt}$${\ estilo de texto {\ dfrac {\ parcial F} {\ parcial y}} (x, y) = f (x, y)}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle x}$

Sustituyendo estos resultados en la ecuación anterior se obtiene: ${\ Displaystyle G '(x)}$

$( x, t) \, dt + f (x, b (x)) b '(x) \ right) - \ left (\ int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} {\ dfrac {\ parcial f} {\ parcial x}} (x, t) \, dt + f (x, a (x)) a '(x) \ right) \\ [2pt] & = f (x, b (x) ) b '(x) -f (x, a (x)) a' (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x }} (x, t) \, dt, \ end {alineado}}}$

como se desee.

Hay un punto técnico en la demostración anterior que vale la pena señalar: aplicar la regla de la cadena requiere que ya sea diferenciable . Aquí es donde usamos nuestras suposiciones sobre . Como se mencionó anteriormente, las derivadas parciales de vienen dadas por las fórmulas y . Dado que es continua, su integral también es una función continua, y dado que también es continua, estos dos resultados muestran que ambas derivadas parciales de son continuas. Dado que la continuidad de derivadas parciales implica diferenciabilidad de la función, es de hecho diferenciable. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle F}$${\ estilo de texto {\ frac {\ F parcial} {\ x parcial}} (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} {\ frac {\ f parcial} {\ x parcial}} (x, t) \, dt}$${\ estilo de texto {\ frac {\ F parcial} {\ y parcial}} (x, y) = f (x, y)}$${\ textstyle {\ dfrac {\ parcial f} {\ parcial x}}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$

Forma tridimensional dependiente del tiempo

En el momento t, la superficie Σ en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide . La función se puede escribir como ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {r} - \ mathbf {C} (t), t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t),}$

con independiente del tiempo. Las variables se desplazan a un nuevo marco de referencia adjunto a la superficie móvil, con origen en . Para una superficie de traslación rígida, los límites de integración son independientes del tiempo, por lo que: ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} (t)}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ iint _ {\ Sigma (t)} d \ mathbf {A} _ {\ mathbf {r}} \ cdot \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ right) = \ iint _ {\ Sigma} d \ mathbf {A} _ {\ mathbf {I}} \ cdot {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t),}$

donde los límites de integración que limitan la integral a la región Σ ya no dependen del tiempo, por lo que la diferenciación pasa por la integración para actuar solo sobre el integrando:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t) = \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf { C} (t) + \ mathbf {I}, t) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t) = \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t),}$

con la velocidad de movimiento de la superficie definida por

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {C} (t).}$

Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas adjunto a la superficie en movimiento. Una vez encontrada la derivada, las variables se pueden cambiar al marco de referencia original. Notamos que (ver artículo sobre curl )

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} + \ mathbf {F} \ cdot \ nabla) \ mathbf { v} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {F},}$

y que el teorema de Stokes iguala la integral de superficie del rizo sobre Σ con una integral de línea sobre ∂Σ:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ cdot d \ mathbf {A} \ right ) = \ iint _ {\ Sigma (t)} {\ big (} \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ left (\ mathbf {F \ cdot \ nabla} \ right ) \ mathbf {v} + \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathbf {v} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {F} {\ big)} \ cdot d \ mathbf {A} - \ oint _ {\ parcial \ Sigma (t)} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) \ cdot d \ mathbf {s}.}$

El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea d s . Para establecer este signo, por ejemplo, suponga que el campo F apunta en la dirección z positiva , y la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva . El recorrido positivo de ∂Σ es entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z ). Entonces, la integral del lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Suponga que Σ se traduce en la dirección x positiva a la velocidad v . Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y , digamos d s , barre un área v t × d s en el tiempo t . Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, v t × d s apunta en la dirección z negativa en el lado izquierdo de ∂Σ (donde d s apunta hacia abajo), y en la dirección z positiva a la derecha lado de ∂Σ (donde d s apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F ⋅ d s = - F × v ⋅ d s = - F ⋅ v × d s . En consecuencia, el signo de la integral de línea se toma como negativo.

Si v es una constante,

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ cdot d \ mathbf {A} = \ iint _ { \ Sigma (t)} {\ big (} \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathbf {v} {\ big)} \ cdot d \ mathbf {A} - \ oint _ {\ parcial \ Sigma (t)} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) \ cdot \, d \ mathbf {s},}$

que es el resultado citado. Esta prueba no considera la posibilidad de que la superficie se deforme a medida que se mueve.

Derivación alternativa

Lema. Uno tiene:

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial b}} \ izquierda (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ derecha) = f (b), \ qquad {\ frac {\ parcial} {\ parcial a}} \ izquierda (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ derecha) = - f (a).}$

Prueba. De la demostración del teorema fundamental del cálculo ,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial b}} \ izquierda (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ derecha) & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ left [\ int _ {a} ^ {b + \ Delta b} f (x) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right] \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x) \, dx \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ left [f (b ) \ Delta b + O \ left (\ Delta b ^ {2} \ right) \ right] \\ [6pt] & = f (b), \ end {alineado}}}$

y

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial a}} \ izquierda (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ derecha) & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ left [\ int _ {a + \ Delta a} ^ {b} f (x) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right] \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x) \, dx \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ left [-f ( a) \ Delta a + O \ left (\ Delta a ^ {2} \ right) \ right] \\ [6pt] & = - f (a). \ end {alineado}}}$

Supongamos un y b son constantes, y que f ( x ) implica un parámetro α que es constante en la integración pero puede variar para formar diferentes integrales. Suponga que f ( x , α ) es una función continua de x y α en el conjunto compacto {( x , α ): α ₀ ≤ α ≤ α ₁ y a ≤ x ≤ b }, y que la derivada parcial f _α ( x , α ) existe y es continua. Si uno define:

${\ Displaystyle \ varphi (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx,}$

entonces se puede diferenciar con respecto a α diferenciando bajo el signo integral, es decir, ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx.}$

Según el teorema de Heine-Cantor , es uniformemente continuo en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δ α tal que para todos los valores de x en [ a , b ],

${\ Displaystyle | f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha) | <\ varepsilon.}$

Por otra parte,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [6pt] & = \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {a} ^ {b} \ left (f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha) \ right) \, dx \\ [6pt] & \ leq \ varepsilon (ba). \ end {alineado }}}$

Por tanto, φ ( α ) es una función continua.

De manera similar, si existe y es continuo, entonces para todo ε > 0 existe Δ α tal que: ${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha)}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in [a, b], \ quad \ left | {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)} {\ Delta \ alpha} } - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ alpha}} \ derecha | <\ varepsilon.}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta \ varphi} {\ Delta \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x , \ alpha)} {\ Delta \ alpha}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial f (x, \ alpha)} {\ parcial \ alpha}} \, dx + R,}$

dónde

${\ Displaystyle | R | <\ int _ {a} ^ {b} \ varepsilon \, dx = \ varepsilon (ba).}$

Ahora, ε → 0 cuando Δ α → 0, entonces

${\ Displaystyle \ lim _ {{\ Delta \ alpha} \ to 0} {\ frac {\ Delta \ varphi} {\ Delta \ alpha}} = {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha) \, dx.}$

Esta es la fórmula que nos propusimos probar.

Ahora suponga

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx = \ varphi (\ alpha),}$

donde un y b son funciones de α que tienen incrementos delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [6pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \ , dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} [f ( x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx . \ end {alineado}}}$

Una forma del teorema del valor medio , donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, lo que da como resultado ${\ estilo de texto \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = (ba) f (\ xi),}$

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = - \ Delta a \, f (\ xi _ {1}, \ alpha + \ Delta \ alpha) + \ int _ {a} ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ Delta b \, f (\ xi _ {2}, \ alpha + \ Delta \ alpha).}$

Dividiendo por Delta alpha , dejando Delta alpha → 0, notando ξ ₁ → una y ξ ₂ → b y el uso de la derivación anteriormente para

${\ Displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx}$

rendimientos

${\ Displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx + f (b, \ alpha) {\ frac {\ parcial b} {\ parcial \ alfa}} - f (a, \ alpha) {\ frac {\ parcial a} {\ parcial \ alfa}}.}$

Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.

Ejemplos de

Ejemplo 1: límites fijos

Considere la función

${\ Displaystyle \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ alpha} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \, dx.}$

La función bajo el signo integral no es continua en el punto ( x , α ) = (0, 0), y la función φ ( α ) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ ( α ) se acerca a ± π / 2 cuando α → 0 ^± .

Si diferenciamos φ ( α ) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos

${\ Displaystyle {\ frac {d} {d \ alpha}} \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ left ({ \ frac {\ alpha} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ right) \, dx = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {(x ^ {2} + \ alpha ^ {2}) ^ {2}}} dx = \ left .- {\ frac {x} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2 }}} \ right | _ {0} ^ {1} = - {\ frac {1} {1+ \ alpha ^ {2}}},}$

lo cual es, por supuesto, cierto para todos los valores de α excepto α = 0. Esto puede integrarse (con respecto a α ) para encontrar

${\ Displaystyle \ varphi (\ alpha) = {\ begin {cases} 0, & \ alpha = 0, \\ - \ arctan ({\ alpha}) + {\ frac {\ pi} {2}}, & \ alpha \ neq 0. \ end {cases}}}$

Ejemplo 2: límites variables

Un ejemplo con límites variables:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dx}} \ int _ {\ sin x} ^ {\ cos x} \ cosh t ^ {2} \, dt & = \ cosh \ left (\ cos ^ {2} x \ right) {\ frac {d} {dx}} (\ cos x) - \ cosh \ left (\ sin ^ {2} x \ right) {\ frac {d} {dx}} (\ sin x) + \ int _ {\ sin x} ^ {\ cos x} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (\ cosh t ^ {2}) \, dt \\ [6pt] & = \ cosh (\ cos ^ {2} x) (- \ sin x) - \ cosh (\ sin ^ {2} x) (\ cos x) +0 \\ [6pt] & = - \ cosh (\ cos ^ {2} x) \ sin x- \ cosh (\ sin ^ {2} x) \ cos x. \ end {alineado}}}$

Aplicaciones

Evaluar integrales definidas

La formula

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big ( } x, b (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} b (x) -f {\ big (} x, a (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} a (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} f (x, t) \, dt}$

puede ser de utilidad al evaluar ciertas integrales definidas. Cuando se usa en este contexto, la regla integral de Leibniz para diferenciar bajo el signo integral también se conoce como truco de integración de Feynman.

Ejemplo 4

${\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {(a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x) ^ { 2}}} \, dx, \ qquad a, b> 0.}$

Primero calculamos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {J} & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ { 2} x}} dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} {a + b { \ frac {\ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}}}} dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sec ^ {2} x} {a + b \ tan ^ {2} x}} dx \\ [6pt] & = {\ frac {1} {b}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left ({\ sqrt {\ frac {a} {b}}} \ right) ^ {2} + \ tan ^ {2} x}} \, d (\ tan x) \ \ [6pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {ab}}} \ arctan \ left ({\ sqrt {\ frac {b} {a}}} \ tan x \ right) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {ab}}}}. \ End {alineado}}}$

Siendo independientes de los límites de integración , tenemos: ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {J}} {\ parcial a}} = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ izquierda (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2}}} \, dx}$

Por otra parte:

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ mathbf {J}} {\ parcial a}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial a}} \ izquierda ({\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {ab}}}} \ right) = - {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {a ^ {3} b}}}}.}$

Al equiparar estas dos relaciones se obtiene

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ derecha) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {a ^ {3} b}}}}.}$

De manera similar, persiguiendo rendimientos ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {J}} {\ parcial b}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin ^ {2} x} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ derecha) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {ab ^ {3}}}}}.}$

La suma de los dos resultados produce

${\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ derecha) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {ab}}}} \ left ({\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {brillante),}$

que calcula como se desea. ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$

Esta derivación puede generalizarse. Tenga en cuenta que si definimos

${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {n} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ { 2} x \ derecha) ^ {n}}} \, dx,}$

se puede demostrar fácilmente que

${\ Displaystyle (1-n) \ mathbf {I} _ {n} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {I} _ {n-1}} {\ parcial a}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {I} _ {n-1}} {\ parcial b}}}$

Dado , esta fórmula de reducción integral se puede utilizar para calcular todos los valores de para . Las integrales como y también pueden manejarse usando la sustitución de Weierstrass . ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {n}}$${\ Displaystyle n> 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$

Ejemplo 5

Aquí, consideramos la integral

${\ Displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \, dx, \ qquad 0 <\ alpha <\ pi.}$

Diferenciando bajo la integral con respecto a , tenemos ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {d \ alpha}} \ mathbf {I} (\ alpha) & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha}} \ izquierda ({\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \ derecha) \, dx \\ [6pt] & = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {1+ \ cos \ alpha \ cos x}} \, dx \\ & = - \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {\ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2} } \ right) + \ cos \ alpha \ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} - \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}} \ right)}} \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {\ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} {\ frac {1} {{\ frac {1+ \ cos \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} + \ tan ^ {2 } {\ frac {x} {2}}}} \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {2 \ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ frac {1} {2}} \ sec ^ {2} {\ frac {x} {2}}} {{\ frac {2 \ cos ^ {2} { \ frac {\ alpha} {2}}} {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}} } \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {2 \ left (2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) } {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2 }} \ derecha) \\ [6pt] & = - 2 \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2} } \ derecha) \\ [6pt] & = - 2 \ arctan \ left (\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {x} {2}} \ right) {\ bigg | } _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = - \ alpha. \ End {alineado}}}$

Por lo tanto:

${\ Displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = C - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}.}$

Pero por definición así y ${\ textstyle \ mathbf {I} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0}$${\ textstyle C = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}.}$

Ejemplo 6

Aquí, consideramos la integral

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {\ cos \ theta} \ cos (\ sin \ theta) \, d \ theta.}$

Introducimos una nueva variable φ y reescribimos la integral como

${\ Displaystyle f (\ varphi) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ cos (\ varphi \ sin \ theta) \, d \ theta.}$

Cuando φ = 1, esto es igual a la integral original. Sin embargo, esta integral más general puede diferenciarse con respecto a : ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {df} {d \ varphi}} & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \ izquierda (e ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ cos (\ varphi \ sin \ theta) \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ left (\ cos \ theta \ cos (\ varphi \ sin \ theta) - \ sin \ theta \ sin (\ varphi \ sin \ theta) \ right) \, d \ theta. \ end {alineado}}}$

Ahora, corrija φ y considere el campo vectorial definido por . Además, elegir el orientado positivo parametrización de la unidad de círculo dado por , , de manera que . Entonces la integral final anterior es precisamente ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = (F_ {1} (x, y), F_ {2} (x, y)): = (e ^ {\ varphi x} \ sin (\ varphi y), e ^ {\ varphi x} \ cos (\ varphi y))}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ colon [0,2 \ pi) \ to \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (\ theta): = (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (- \ sin \ theta, \ cos \ theta)}$

la integral de línea de más . Según el teorema de Green , esto es igual a la integral doble ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

${\ Displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ parcial F_ {2}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial F_ {1}} {\ parcial y}} \, dA,}$

¿Dónde está el

disco de la unidad cerrada ? Su integrando es idénticamente 0, por lo que también es idénticamente cero. Esto implica que f ( φ ) es constante. La constante se puede determinar evaluando en : ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle df / d \ varphi}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ varphi = 0}$

${\ Displaystyle f (0) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 1 \, d \ theta = 2 \ pi.}$

Por lo tanto, la integral original también es igual . ${\ Displaystyle 2 \ pi}$

Otros problemas a resolver

Existen innumerables otras integrales que se pueden resolver utilizando la técnica de diferenciación bajo el signo integral. Por ejemplo, en cada uno de los siguientes casos, la integral original puede ser reemplazada por una integral similar que tenga un nuevo parámetro : ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha x} {\ frac {\ sin x} {x}} dx, \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {x} {\ tan x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ tan ^ {- 1} (\ alpha \ tan x)} {\ tan x}} dx, \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (1 + x ^ {2})} {1 + x ^ {2}}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ { \ infty} {\ frac {\ ln (1+ \ alpha ^ {2} x ^ {2})} {1 + x ^ {2}}} dx \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {x-1} {\ ln x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {\ alpha} -1} {\ ln x}} dx . \ end {alineado}}}$

La primera integral, la integral de Dirichlet , es absolutamente convergente para α positivo pero solo condicionalmente convergente cuando . Por lo tanto, la diferenciación bajo el signo integral es fácil de justificar cuando , pero demostrar que la fórmula resultante sigue siendo válida cuando requiere un trabajo cuidadoso. ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$${\ Displaystyle \ alpha> 0}$${\ Displaystyle \ alpha = 0}$

Series infinitas

La versión de la diferenciación de la teoría de la medida bajo el signo integral también se aplica a la suma (finita o infinita) al interpretar la suma como una medida de conteo . Un ejemplo de una aplicación es el hecho de que las series de potencias son diferenciables en su radio de convergencia.

En la cultura popular

La diferenciación bajo el signo integral se menciona en las memorias más vendidas del físico Richard Feynman ¡ Seguramente está bromeando, Sr. Feynman! en el capítulo "Una caja de herramientas diferente". Describe cómo lo aprendió, mientras estaba en la escuela secundaria , de un texto antiguo, Cálculo avanzado (1926), de Frederick S. Woods (quien era profesor de matemáticas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts ). La técnica no se enseñó a menudo cuando Feynman recibió más tarde su educación formal en cálculo , pero al usar esta técnica, Feynman pudo resolver problemas de integración que de otro modo serían difíciles a su llegada a la escuela de posgrado en la Universidad de Princeton :

Una cosa que nunca aprendí fue la integración de contornos . Había aprendido a hacer integrales mediante varios métodos que se muestran en un libro que me había dado el profesor de física de mi escuela secundaria, el Sr. Bader. Un día me dijo que me quedara después de clases. "Feynman", dijo, "hablas demasiado y haces demasiado ruido. Ya sé por qué. Estás aburrido. Así que te voy a dar un libro. Ve allá en la parte de atrás, en la esquina". y estudie este libro, y cuando sepa todo lo que contiene, podrá volver a hablar ". Entonces, en cada clase de física, no presté atención a lo que estaba sucediendo con la Ley de Pascal, o lo que sea que estuvieran haciendo. Estaba en la parte de atrás con este libro: "Cálculo avanzado" , de Woods. Bader sabía que había estudiado "Cálculo para el hombre práctico" un poco, así que me dio los trabajos reales: era para un curso de tercer o cuarto año de la universidad. Tenía series de Fourier , funciones de Bessel , determinantes , funciones elípticas, todo tipo de cosas maravillosas de las que yo no sabía nada. Ese libro también mostró cómo diferenciar parámetros bajo el signo integral: es una operación determinada. Resulta que eso no se enseña mucho en las universidades; no lo enfatizan. Pero comprendí cómo usar ese método, y usé esa maldita herramienta una y otra vez. Entonces, debido a que fui autodidacta con ese libro, tenía métodos peculiares para hacer integrales. El resultado fue que, cuando los chicos del MIT o Princeton tenían problemas para hacer una determinada integral, era porque no podían hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si fuera integración de contorno, la habrían encontrado; si fuera una simple expansión en serie, la habrían encontrado. Luego vengo y trato de diferenciar bajo el signo integral, y a menudo funcionó. Así que obtuve una gran reputación por hacer integrales, solo porque mi caja de herramientas era diferente a la de todos los demás, y ellos habían probado todas sus herramientas antes de plantearme el problema.

Ver también

• Cadena de reglas
• Diferenciación de integrales
• Regla de Leibniz (regla de producto generalizada)
• Teorema del transporte de Reynolds , una generalización de la regla de Leibniz

Referencias

Otras lecturas

• Amazigo, John C .; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Integrales simples: regla de Leibnitz; integración numérica" . Cálculo avanzado y sus aplicaciones a la ingeniería y las ciencias físicas . Nueva York: Wiley. págs.  155-165 . ISBN 0-471-04934-4.
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integrales dependiendo de un parámetro: regla de Leibnitz". Cálculo avanzado (2ª ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 285–288.

enlaces externos

• Harron, Rob. "La regla de Leibniz" (PDF) .