Integración de Shell - Shell integration

Un volumen se aproxima mediante una colección de cilindros huecos. A medida que las paredes del cilindro se vuelven más delgadas, la aproximación mejora. El límite de esta aproximación es la integral de caparazón.

La integración de la cáscara (el método de la cáscara en el cálculo integral ) es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución , cuando se integra a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución. Esto contrasta con la integración del disco que se integra a lo largo del eje paralelo al eje de revolución.

Definición

El método del caparazón es el siguiente: Considere un volumen en tres dimensiones obtenido al rotar una sección transversal en el plano xy alrededor del eje y . Suponga que la sección transversal está definida por la gráfica de la función positiva f ( x ) en el intervalo [ a , b ] . Entonces la fórmula para el volumen será:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \, dx}$

Si la función es de la Y de coordenadas y el eje de rotación es la x eje x entonces la fórmula se convierte en:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \, dy}$

Si la función gira alrededor de la línea x = h, entonces la fórmula se convierte en:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ h \ leq a <b \\\ estilo de visualización 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (hx) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ a <b \ leq h, \ end {cases}} }$

y para rotaciones alrededor de y = k se convierte en

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ k \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (ky) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ a <b \ leq k. \ end {cases}} }$

La fórmula se obtiene calculando la integral doble en coordenadas polares .

Ejemplo

Considere el volumen, que se muestra a continuación, cuya sección transversal en el intervalo [1, 2] está definida por:

${\ Displaystyle y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}}$

Sección transversal

Volumen 3D

En el caso de la integración de disco necesitaríamos resolver para x dado y y como el volumen es hueco en el medio encontraríamos dos funciones, una que define el sólido interno y otra que define el sólido externo. Después de integrar estas dos funciones con el método del disco, las restaríamos para obtener el volumen deseado.

Con el método shell, todo lo que necesitamos es la siguiente fórmula:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) \, dx}$

Al expandir el polinomio, la integral se vuelve muy simple. Al final encontramos que el volumen esπ/10 unidades cúbicas.

Ver también

• Sólido de revolución
• Integración de disco

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Método de las conchas" . MathWorld .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Contornos de Schaum : cálculo . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2 . págs. 244–248 ( copia en línea , pág. 244, en Google Books )