Diferencial (matemáticas) - Differential (mathematics)

En matemáticas , diferencial se refiere a diferencias infinitesimales o derivadas de funciones. El término se utiliza en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo , la geometría diferencial , la geometría algebraica y la topología algebraica .

Nociones básicas

• En cálculo , el diferencial representa un cambio en la linealización de una función .
  • El diferencial total es su generalización para funciones de múltiples variables.
• En los enfoques tradicionales del cálculo, los diferenciales (por ejemplo , dx , dy , dt , etc.) se interpretan como infinitesimales . Hay varios métodos para definir rigurosamente los infinitesimales, pero basta con decir que un número infinitesimal es más pequeño en valor absoluto que cualquier número real positivo, así como un número infinitesimal es más grande que cualquier número real.
• El diferencial es otro nombre para la matriz jacobiana de derivadas parciales de una función de R ⁿ a R ^m (especialmente cuando esta matriz se ve como un mapa lineal ).
• De manera más general, el diferencial o empuje hacia adelante se refiere a la derivada de un mapa entre variedades suaves y las operaciones de empuje hacia adelante que define. El diferencial también se utiliza para definir el concepto dual de retroceso .
• El cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástico y un cálculo asociado para los procesos estocásticos .
• El integrador en una integral de Stieltjes se representa como el diferencial de una función. Formalmente, el diferencial que aparece bajo la integral se comporta exactamente como un diferencial: así, las fórmulas de integración por sustitución e integración por partes para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y la regla del producto para el diferencial.

Geometría diferencial

La noción de diferencial motiva varios conceptos en geometría diferencial (y topología diferencial ).

• El diferencial (Pushforward) de un mapa entre colectores.
• Las formas diferenciales proporcionan un marco que da cabida a la multiplicación y diferenciación de diferenciales.
• La derivada exterior es una noción de diferenciación de formas diferenciales que generaliza la diferencial de una función (que es una forma diferencial 1 ).
• El retroceso es, en particular, un nombre geométrico para la regla de la cadena para componer un mapa entre variedades con una forma diferencial en la variedad de destino.
• Las derivadas o diferenciales covariantes proporcionan una noción general para la diferenciación de campos vectoriales y campos tensoriales en una variedad o, más generalmente, secciones de un paquete vectorial : consulte Conexión (paquete vectorial) . En última instancia, esto conduce al concepto general de conexión .

Geometría algebraica

Los diferenciales también son importantes en geometría algebraica , y hay varias nociones importantes.

• Los diferenciales abelianos generalmente significan formas diferenciales uniformes en una curva algebraica o superficie de Riemann .
• Los diferenciales cuadráticos (que se comportan como "cuadrados" de diferenciales abelianos) también son importantes en la teoría de superficies de Riemann.
• Los diferenciales de Kähler proporcionan una noción general de diferencial en geometría algebraica.

Otros significados

El término diferencial también se ha adoptado en álgebra homológica y topología algebraica, debido al papel que juega la derivada exterior en la cohomología de De Rham: en un complejo cocadena , los mapas (u operadores co - fronterizos ) d _{i a} menudo se denominan diferenciales. Dualmente, los operadores de límites en un complejo de cadena a veces se denominan codiferenciales . ${\ Displaystyle (C _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$

Las propiedades del diferencial también motivan las nociones algebraicas de una derivación y un álgebra diferencial .

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Diferenciales" . MathWorld .

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