Integración por sustitución - Integration by substitution

En el cálculo , la integración por sustitución , también conocido como u -substitution o cambio de variables , es un método para evaluar las integrales y primitivas . Es la contraparte de la regla de la cadena para la diferenciación , y puede pensarse libremente como si se usara la regla de la cadena "al revés".

Sustitución de una sola variable

Introducción

Antes de enunciar el resultado de manera rigurosa , considere un caso simple usando integrales indefinidas .

Calcular . ${\ Displaystyle \ textstyle \ int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) \, dx}$

Establecer . Este medio de , o en forma diferencial , . Ahora ${\ Displaystyle u = 2x ^ {3} +1}$ ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {du} {dx}} = 6x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle du = 6x ^ {2} \, dx}$

{\ Displaystyle \ int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) \, dx = {\ frac {1} {6}} \ int \ underbrace {(2x ^ {3} +1) ^ {7}} _ {u ^ {7}} \ underbrace {(6x ^ {2}) \, dx} _ {du} = {\ frac {1} {6}} \ int u ^ { 7} \, du = {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {1} {8}} u ^ {8} \ right) + C = {\ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C}

,

donde es una constante arbitraria de integración . ${\ Displaystyle C}$

Este procedimiento se usa con frecuencia, pero no todas las integrales tienen una forma que permita su uso. En cualquier caso, el resultado debe verificarse diferenciando y comparando con el integrando original.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [{\ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C \ right] = {\ frac {1 } {6}} (2x ^ {3} +1) ^ {7} (6x ^ {2}) = (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}).}

Para integrales definidas, los límites de integración también deben ajustarse, pero el procedimiento es básicamente el mismo.

Integrales definidas

Sea $φ : [a, b] \to I$ una función diferenciable con una derivada continua , donde $I \subseteq R$ es un intervalo . Suponga que $f : I \to R$ es una función continua . Luego

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx = \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi (b)} f (u) \, du.}

En notación de Leibniz, la sustitución $u = φ (x)$ produce

{\ Displaystyle {\ frac {du} {dx}} = \ varphi '(x).}

Trabajar heurísticamente con infinitesimales produce la ecuación

{\ Displaystyle du = \ varphi '(x) \, dx,}

lo que sugiere la fórmula de sustitución anterior. (Esta ecuación puede asentarse sobre una base rigurosa interpretándola como un enunciado sobre formas diferenciales ). Se puede ver el método de integración por sustitución como una justificación parcial de la notación de Leibniz para integrales y derivadas.

La fórmula se usa para transformar una integral en otra integral que es más fácil de calcular. Por lo tanto, la fórmula se puede leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda para simplificar una integral dada. Cuando se utiliza en la anterior manera, se conoce a veces como u -substitution o w -substitution en el que se define una nueva variable a ser una función de la variable original se encuentra dentro del material compuesto función multiplicado por la derivada de la función interna. La última forma se usa comúnmente en la sustitución trigonométrica , reemplazando la variable original con una función trigonométrica de una nueva variable y el diferencial original con el diferencial de la función trigonométrica.

Prueba

La integración por sustitución se puede derivar del teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera. Sean $f$ y $φ$ dos funciones que satisfacen la hipótesis anterior de que $f$ es continua en $I$ y $φ'$ es integrable en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Entonces la función $f (φ (x)) φ' (x)$ también es integrable en $[a, b]$ . De ahí las integrales

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx}

y

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi (b)} f (u) \, du}

de hecho existen, y queda por demostrar que son iguales.

Desde $f$ es continua, tiene una antiderivada $F$ . La función compuesta $F \circ varphi$ entonces se define. Dado que $φ$ es diferenciable, la combinación de la regla de la cadena y la definición de una antiderivada da

{\ Displaystyle (F \ circ \ varphi) '(x) = F' (\ varphi (x)) \ varphi '(x) = f (\ varphi (x)) \ varphi' (x).}

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces da

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {a} ^ {b} f (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx & = \ int _ {a} ^ {b} (F \ circ \ varphi) '(x) \, dx \\ & = (F \ circ \ varphi) (b) - (F \ circ \ varphi) (a) \\ & = F (\ varphi (b)) - F (\ varphi (a)) \\ & = \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi (b)} f (u) \, du, \ end {alineado}}}

que es la regla de sustitución.

Ejemplos de

Ejemplo 1

Considere la integral

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} x \ cos (x ^ {2} +1) dx.}

Haga la sustitución para obtener , es decir . Por lo tanto, ${\ Displaystyle u = x ^ {2} +1}$ ${\ Displaystyle du = 2xdx}$ ${\ Displaystyle \ textstyle xdx = {\ frac {1} {2}} du}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {x = 0} ^ {x = 2} x \ cos (x ^ {2} +1) dx & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {u = 1} ^ {u = 5} \ cos (u) \, du \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ sin (5) - \ sin (1)). \ end {alineado}}}

Dado que el límite inferior fue reemplazado por , y el límite superior por , una transformación de nuevo en términos de fue innecesaria. ${\ Displaystyle x = 0}$ ${\ Displaystyle u = 1}$ ${\ Displaystyle x = 2}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {2} + 1 = 5}$ ${\ Displaystyle x}$

Alternativamente, se puede evaluar completamente la integral indefinida ( ver más abajo ) primero y luego aplicar las condiciones de contorno. Esto resulta especialmente útil cuando se utilizan sustituciones múltiples.

Ejemplo 2

Para la integral

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx,}

se necesita una variación del procedimiento anterior. La sustitución que implica es útil porque . Así tenemos ${\ Displaystyle x = \ sin u}$ ${\ Displaystyle dx = \ cos u \, du}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} u}} = \ cos (u)}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} { \ sqrt {1- \ sin ^ {2} u}} \ cos (u) \, du \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2} u \ , du \\ [6pt] & = \ left [{\ frac {u} {2}} + {\ frac {\ sin (2u)} {4}} \ right] {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = {\ frac {\ pi} {4}} + 0 = {\ frac {\ pi} {4}}. \ end {alineado}}}

La integral resultante puede ser calculada utilizando la integración por partes o una fórmula de doble ángulo , , seguido de una sustitución más. También se puede notar que la función que se está integrando es el cuarto superior derecho de un círculo con un radio de uno, y por lo tanto, integrar el cuarto superior derecho de cero a uno es el equivalente geométrico al área de un cuarto del círculo unitario, o . ${\ Displaystyle 2 \ cos ^ {2} u = 1 + \ cos (2u)}$ ${\ Displaystyle \ pi / 4}$

Antiderivadas

La sustitución se puede utilizar para determinar las antiderivadas . Se elige una relación entre y , se determina la relación correspondiente entre y mediante la diferenciación y se realizan las sustituciones. Es de esperar que se pueda determinar una antiderivada para la función sustituida; la sustitución original entre y se deshace. ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ displaystyle dx}$ ${\ Displaystyle du}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle u}$

De manera similar al ejemplo 1 anterior, la siguiente antiderivada se puede obtener con este método:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int x \ cos (x ^ {2} +1) \, dx & = {\ frac {1} {2}} \ int 2x \ cos (x ^ {2} +1 ) \, dx \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos u \, du \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ sin u + C = {\ frac {1} {2}} \ sin (x ^ {2} +1) + C, \ end {alineado}}}

donde es una constante arbitraria de integración . ${\ Displaystyle C}$

No había límites integrales para transformar, pero en el último paso era necesario revertir la sustitución original . Al evaluar integrales definidas por sustitución, se puede calcular la antiderivada completamente primero y luego aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, no es necesario transformar los términos de frontera. ${\ Displaystyle u = x ^ {2} +1}$

La función tangente se puede integrar mediante sustitución expresándola en términos de seno y coseno:

{\ Displaystyle \ int \ tan x \, dx = \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \, dx}

El uso de la sustitución da y ${\ Displaystyle u = \ cos x}$ ${\ Displaystyle du = - \ sin x \, dx}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ tan x \, dx & = \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \, dx \\ & = \ int - {\ frac {du} {u}} \\ & = - \ ln | u | + C \\ & = - \ ln | \ cos x | + C = \ ln | \ sec x | + C. \ end {alineado}}}

Sustitución de múltiples variables

También se puede utilizar la sustitución al integrar funciones de varias variables . Aquí la función de sustitución $(v 1, ..., v n) = φ (u 1, ..., u n)$ necesita ser inyectable y continuamente diferenciable, y las diferenciales se transforman como

{\ Displaystyle dv_ {1} \ cdots dv_ {n} = \ left | \ det (D \ varphi) (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) \ right | \, du_ {1} \ cdots du_ {norte},}

donde $det (Dφ) (u 1, ..., u n)$ denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de $φ$ en el punto $(u 1, ..., u n)$ . Esta fórmula expresa el hecho de que el valor absoluto del determinante de una matriz es igual al volumen del paralelotopo atravesado por sus columnas o filas.

Más precisamente, la fórmula del cambio de variables se establece en el siguiente teorema:

Teorema . Vamos $U$ ser un abierto de $R n$ y $φ : U \to R n$ un inyectiva función diferenciable con derivadas parciales continuas, el Jacobiano de los cuales es distinto de cero para cada $x$ en $U$ . Luego, para cualquier función continua $f de$ valor real , con soporte compacto , con soporte contenido en $φ (U)$ ,

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (U)} f (\ mathbf {v}) \, d \ mathbf {v} = \ int _ {U} f (\ varphi (\ mathbf {u})) \ left | \ det (D \ varphi) (\ mathbf {u}) \ right | \, d \ mathbf {u}.}

Las condiciones del teorema pueden debilitarse de varias formas. Primero, el requisito de que $φ$ sea continuamente diferenciable puede ser reemplazado por el supuesto más débil de que $φ$ sea simplemente diferenciable y tenga una inversa continua. Se garantiza que esto se cumple si $φ$ es continuamente diferenciable por el teorema de la función inversa . Alternativamente, el requisito de que $det (Dφ) \neq 0$ se puede eliminar aplicando el teorema de Sard .

Para las funciones mensurables de Lebesgue, el teorema se puede enunciar de la siguiente forma:

Teorema . Sea $U$ un subconjunto medible de $R n$ y $φ : U \to R n$ una función inyectiva , y suponga que para cada $x$ en $U$ existe $φ' (x)$ en $R n, n$ tal que $φ (y) = φ (x) + φ ' (x) (y - x) + o (|| y - x ||)$ como $y \to x$ (aquí $o$ es una notación pequeña- o ). Entonces $φ (U)$ es medible, y para cualquier función de valor real $f$ definida en $φ (U)$ ,

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (U)} f (v) \, dv = \ int _ {U} f (\ varphi (u)) \ left | \ det \ varphi '(u) \ right | \ , du}

en el sentido de que si cualquiera de las integrales existe (incluida la posibilidad de ser propiamente infinita), también existe la otra, y tienen el mismo valor.

Otra versión muy general de la teoría de la medida es la siguiente:

Teorema . Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto equipado con una medida finita de Radón $μ$ , y sea $Y$ un espacio de Hausdorff compacto σ con una medida de Radón finita σ $ρ$ . Sea $φ$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ una función continua y absolutamente continua (donde la última significa que $ρ$ $($ $φ$ $($ $E$ $)) = 0$ siempre que $μ$ $($ $E$ $) = 0$ ). Entonces existe una función medible de Borel de valor real $w$ en $X$ tal que para cada función integrable de Lebesgue $f$ $:$ $Y$ $\to$ $R$ , la función $($ $f$ $\circ$ $φ$ $) \cdot$ $w$ es integrable de Lebesgue en $X$ , y

{\ Displaystyle \ int _ {Y} f (y) \, d \ rho (y) = \ int _ {X} (f \ circ \ varphi) (x) \, w (x) \, d \ mu ( X).}

Además, es posible escribir

{\ Displaystyle w (x) = (g \ circ \ varphi) (x)}

para algunos Borel medible función $g$ en $Y$ .

En la teoría de medidas geométricas , la integración por sustitución se usa con funciones de Lipschitz . Una función bi-Lipschitz es una función de Lipschitz $φ : U \to R n$ que es inyectiva y cuya función inversa $φ -1 : φ (U) \to U$ también es Lipschitz. Según el teorema de Rademacher, un mapeo bi-Lipschitz es diferenciable en casi todas partes . En particular, el determinante jacobiano de un $det Dφ de$ mapeo de bi-Lipschitz está bien definido en casi todas partes. Entonces se mantiene el siguiente resultado:

Teorema. Sea $U$ un subconjunto abierto de $R n$ y $φ : U \to R n$ un mapeo bi-Lipschitz. Sea $f : φ (U) \to R$ medible. Luego

{\ Displaystyle \ int _ {U} (f \ circ \ varphi) (x) | \ det D \ varphi (x) | \, dx = \ int _ {\ varphi (U)} f (x) \, dx }

en el sentido de que si una de las integrales existe (o es propiamente infinita), también existe la otra, y tienen el mismo valor.

El teorema anterior fue propuesto por primera vez por Euler cuando desarrolló la noción de integrales dobles en 1769. Aunque generalizado a integrales triples por Lagrange en 1773, y utilizado por Legendre , Laplace , Gauss , y generalizado por primera vez en $n$ variables por Mikhail Ostrogradski en 1836, resistió una prueba formal completamente rigurosa durante un tiempo sorprendentemente largo, y 125 años después, Élie Cartan lo resolvió satisfactoriamente en una serie de artículos que comenzaron a mediados de la década de 1890.

Aplicación en probabilidad

La sustitución se puede utilizar para responder la siguiente pregunta importante sobre la probabilidad: dada una variable aleatoria con densidad de probabilidad y otra variable aleatoria tal que , ¿para qué es la densidad de probabilidad ? ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p_ {X}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Y = \ phi (X)}$ ${\ Displaystyle Y}$

Es más fácil responder a esta pregunta respondiendo primero una pregunta ligeramente diferente: ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor en algún subconjunto en particular ? Denote esta probabilidad . Por supuesto, si tiene densidad de probabilidad , la respuesta es ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle P (Y \ in S)}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle p_ {Y}}$

{\ Displaystyle P (Y \ en S) = \ int _ {S} p_ {Y} (y) \, dy,}

pero esto no es realmente útil porque no lo sabemos ; es lo que estamos tratando de encontrar. Podemos avanzar considerando el problema en la variable . toma un valor en siempre que toma un valor en , por lo que ${\ Displaystyle p_ {Y}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (S)}$

{\ Displaystyle P (Y \ en S) = \ int _ {\ phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) \, dx.}

Cambiando de variable a da ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$

{\ Displaystyle P (Y \ en S) = \ int _ {\ phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) \, dx = \ int _ {S} p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | \, dy.}

Combinando esto con nuestra primera ecuación da

{\ Displaystyle \ int _ {S} p_ {Y} (y) \, dy = \ int _ {S} p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | \, dy,}

asi que

{\ Displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | .}

En el caso de que y dependan de varias variables no correlacionadas, es decir , y , se pueden encontrar por sustitución en varias variables discutidas anteriormente. El resultado es ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle p_ {X} = p_ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle y = \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle p_ {Y}}$

{\ Displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | \ det D \ phi ^ {- 1} (y) \ right |.}

Ver también

Notas

Referencias

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Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Spivak, Michael (1965), Cálculo de colectores , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

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