Uso de números complejos para evaluar integrales
En cálculo integral , la fórmula de Euler para números complejos puede usarse para evaluar integrales que involucran funciones trigonométricas . Usando la fórmula de Euler, cualquier función trigonométrica puede escribirse en términos de funciones exponenciales complejas, a saber, y y luego integrados. Esta técnica es a menudo más simple y rápida que el uso de identidades trigonométricas o la integración por partes , y es lo suficientemente poderosa para integrar cualquier expresión racional que involucre funciones trigonométricas.
mi
I
X
{\ Displaystyle e ^ {ix}}
mi
-
I
X
{\ Displaystyle e ^ {- ix}}
Fórmula de Euler
La fórmula de Euler establece que
mi
I
X
=
porque
X
+
I
pecado
X
.
{\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \, \ sin x.}
Sustituyendo para da la ecuación
-
X
{\ Displaystyle -x}
X
{\ Displaystyle x}
mi
-
I
X
=
porque
X
-
I
pecado
X
{\ Displaystyle e ^ {- ix} = \ cos xi \, \ sin x}
porque el coseno es una función par y el seno es impar. Estas dos ecuaciones se pueden resolver para el seno y el coseno para dar
porque
X
=
mi
I
X
+
mi
-
I
X
2
y
pecado
X
=
mi
I
X
-
mi
-
I
X
2
I
.
{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} \ quad {\ text {y}} \ quad \ sin x = {\ frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}
Ejemplos de Primer ejemplo Considere la integral
∫
porque
2
X
D
X
.
{\ Displaystyle \ int \ cos ^ {2} x \, dx.}
El enfoque estándar para esta integral es usar una fórmula de medio ángulo para simplificar el integrando. Podemos usar la identidad de Euler en su lugar:
∫
porque
2
X
D
X
=
∫
(
mi
I
X
+
mi
-
I
X
2
)
2
D
X
=
1
4
∫
(
mi
2
I
X
+
2
+
mi
-
2
I
X
)
D
X
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ right) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ derecha) dx \ end {alineado}}}
En este punto, sería posible volver a los números reales usando la fórmula e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x
1
4
∫
(
mi
2
I
X
+
2
+
mi
-
2
I
X
)
D
X
=
1
4
(
mi
2
I
X
2
I
+
2
X
-
mi
-
2
I
X
2
I
)
+
C
=
1
4
(
2
X
+
pecado
2
X
)
+
C
.
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ left (2x + \ sin 2x \ right) + C. \ end {alineado}}}
Segundo ejemplo Considere la integral
∫
pecado
2
X
porque
4
X
D
X
.
{\ Displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx.}
Esta integral sería extremadamente tediosa de resolver usando identidades trigonométricas, pero usar la identidad de Euler la hace relativamente indolora:
∫
pecado
2
X
porque
4
X
D
X
=
∫
(
mi
I
X
-
mi
-
I
X
2
I
)
2
(
mi
4
I
X
+
mi
-
4
I
X
2
)
D
X
=
-
1
8
∫
(
mi
2
I
X
-
2
+
mi
-
2
I
X
)
(
mi
4
I
X
+
mi
-
4
I
X
)
D
X
=
-
1
8
∫
(
mi
6
I
X
-
2
mi
4
I
X
+
mi
2
I
X
+
mi
-
2
I
X
-
2
mi
-
4
I
X
+
mi
-
6
I
X
)
D
X
.
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ right) dx. \ end {alineado}}}
En este punto, podemos integrar directamente, o primero podemos cambiar el integrando a 2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x y continuar desde allí. Cualquiera de los dos métodos da
∫
pecado
2
X
porque
4
X
D
X
=
-
1
24
pecado
6
X
+
1
8
pecado
4
X
-
1
8
pecado
2
X
+
C
.
{\ Displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx = - {\ frac {1} {24}} \ sin 6x + {\ frac {1} {8}} \ sin 4x - {\ frac {1} {8}} \ sin 2x + C.}
Usando partes reales Además de la identidad de Euler, puede resultar útil hacer un uso juicioso de las partes reales de expresiones complejas. Por ejemplo, considere la integral
∫
mi
X
porque
X
D
X
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx.}
Dado que cos x es la parte real de e ix
∫
mi
X
porque
X
D
X
=
Re
∫
mi
X
mi
I
X
D
X
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx = \ operatorname {Re} \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx.}
La integral de la derecha es fácil de evaluar:
∫
mi
X
mi
I
X
D
X
=
∫
mi
(
1
+
I
)
X
D
X
=
mi
(
1
+
I
)
X
1
+
I
+
C
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx = \ int e ^ {(1 + i) x} \, dx = {\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}
Por lo tanto:
∫
mi
X
porque
X
D
X
=
Re
(
mi
(
1
+
I
)
X
1
+
I
)
+
C
=
mi
X
Re
(
mi
I
X
1
+
I
)
+
C
=
mi
X
Re
(
mi
I
X
(
1
-
I
)
2
)
+
C
=
mi
X
porque
X
+
pecado
X
2
+
C
.
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {alineado}}}
Fracciones En general, esta técnica puede usarse para evaluar cualquier fracción que involucre funciones trigonométricas. Por ejemplo, considere la integral
∫
1
+
porque
2
X
porque
X
+
porque
3
X
D
X
.
{\ Displaystyle \ int {\ frac {1+ \ cos ^ {2} x} {\ cos x + \ cos 3x}} \, dx.}
Usando la identidad de Euler, esta integral se convierte en
1
2
∫
6
+
mi
2
I
X
+
mi
-
2
I
X
mi
I
X
+
mi
-
I
X
+
mi
3
I
X
+
mi
-
3
I
X
D
X
.
{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} \, dx.}
Si ahora hacemos la sustitución , el resultado es la integral de una función racional :
tu
=
mi
I
X
{\ Displaystyle u = e ^ {ix}}
-
I
2
∫
1
+
6
tu
2
+
tu
4
1
+
tu
2
+
tu
4
+
tu
6
D
tu
.
{\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ int {\ frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} \, du.}
Se puede proceder usando descomposición de fracciones parciales .
Ver también Referencias
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ right) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ derecha) dx \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ left (2x + \ sin 2x \ right) + C. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ right) dx. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
