Integral de funciones inversas - Integral of inverse functions

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Energía Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Energía Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
Diverso Precálculo Historia Glosario Lista de temas Abeja de integración Análisis
v t mi

En matemáticas , las integrales de funciones inversas se pueden calcular mediante una fórmula que expresa las antiderivadas de la inversa de una función continua e invertible , en términos de y una antiderivada de . Esta fórmula fue publicada en 1905 por Charles-Ange Laisant . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f}$

Declaración del teorema

Sea y dos intervalos de . Suponga que es una función continua e invertible. Se deduce del teorema del valor intermedio que es estrictamente monótono . En consecuencia, asigna intervalos a intervalos, por lo que es un mapa abierto y, por tanto, un homeomorfismo. Dado que y la función inversa son continuas, tienen antiderivadas según el teorema fundamental del cálculo . ${\ Displaystyle I_ {1}}$${\ Displaystyle I_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f: I_ {1} \ to I_ {2}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {- 1}: I_ {2} \ a I_ {1}}$

Laisant demostró que si es una antiderivada de , entonces las antiderivadas de son: ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ int f ^ {- 1} (y) \, dy = yf ^ {- 1} (y) -F \ circ f ^ {- 1} (y) + C,}$

donde es un número real arbitrario. Tenga en cuenta que no se supone que sea ​​diferenciable. ${\ Displaystyle C}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

En su artículo de 1905, Laisant dio tres pruebas. Primero, bajo la hipótesis adicional que es diferenciable , se puede diferenciar la fórmula anterior, que completa la demostración inmediatamente. Su segunda prueba fue geométrica. Si y , el teorema se puede escribir: ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f (a) = c}$${\ Displaystyle f (b) = d}$

${\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {d} f ^ {- 1} (y) \, dy + \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = bd-ac.}$

La figura de la derecha es una prueba sin palabras de esta fórmula. Laisant no discute las hipótesis necesarias para hacer que esta demostración sea rigurosa, pero esto se puede probar si solo se asume que es estrictamente monótona (no necesariamente continua, y mucho menos diferenciable). En este caso, ambos y son integrables de Riemann y la identidad se deriva de una biyección entre sumas de Darboux inferior / superior de y sumas de Darboux superior / inferior de . La versión antiderivada del teorema se sigue del teorema fundamental del cálculo en el caso en que también se supone que es continuo. La tercera prueba de Laisant usa la hipótesis adicional que es diferenciable. Empezando por , se multiplica por e integra ambos lados. El lado derecho se calcula utilizando la integración por partes a ser , y la fórmula sigue. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (x)) = x}$${\ Displaystyle f '(x)}$${\ textstyle xf (x) - \ int f (x) \, dx}$

No obstante, se puede demostrar que este teorema es válido incluso si es o no diferenciable: basta, por ejemplo, con utilizar la integral de Stieltjes en el argumento anterior. Por otro lado, aunque las funciones monótonas generales son diferenciables casi en todas partes, la demostración de la fórmula general no sigue, a menos que sea absolutamente continua . ${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

También es posible comprobar que para cada in , la derivada de la función es igual a . En otras palabras: ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle I_ {2}}$${\ Displaystyle y \ mapsto yf ^ {- 1} (y) -F (f ^ {- 1} (y))}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in I_ {1} \ quad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) f (x + h) -xf (x) - \ left (F (x) + h) -F (x) \ right)} {f (x + h) -f (x)}} = x.}$

Para ello, basta con aplicar el teorema del valor medio a entre y , teniendo en cuenta que es monótono. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + h}$${\ Displaystyle f}$

Ejemplos de

1. Asume eso , por lo tanto . La fórmula anterior da inmediatamente ${\ Displaystyle f (x) = \ exp (x)}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ ln (y)}$
   $${\ Displaystyle \ int \ ln (y) \, dy = y \ ln (y) -y + C.}$$

   
2. Del mismo modo, con y ,${\ Displaystyle f (x) = \ cos (x)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ arccos (y)}$
   $${\ Displaystyle \ int \ arccos (y) \, dy = y \ arccos (y) - \ sin (\ arccos (y)) + C.}$$

   
3. Con y ,${\ Displaystyle f (x) = \ tan (x)}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ arctan (y)}$
   $${\ Displaystyle \ int \ arctan (y) \, dy = y \ arctan (y) + \ ln \ left | \ cos (\ arctan (y)) \ right | + C.}$$

   

Historia

Aparentemente, este teorema de integración fue descubierto por primera vez en 1905 por Charles-Ange Laisant , quien "apenas podía creer que este teorema sea nuevo", y esperaba que su uso se extendiera en lo sucesivo entre estudiantes y profesores. Este resultado fue publicado de forma independiente en 1912 por un ingeniero italiano, Alberto Caprilli, en un opúsculo titulado "Nuove formole d'integrazione". Fue redescubierto en 1955 por Parker y por varios matemáticos que lo siguieron. Sin embargo, todos asumen que f o f ⁻¹ es diferenciable . La versión general del teorema , libre de esta suposición adicional, fue propuesta por Michael Spivak en 1965, como un ejercicio de cálculo , y Eric Key publicó una prueba bastante completa siguiendo las mismas líneas en 1994. Esta prueba se basa en el misma definición de la integral de Darboux , y consiste en mostrar que las sumas de Darboux superiores de la función f están en correspondencia 1-1 con las sumas de Darboux inferiores de f ⁻¹ . En 2013, Michael Bensimhoun, estimando que el teorema general aún era insuficientemente conocido, dio otras dos demostraciones: La segunda, basada en la integral de Stieltjes y en sus fórmulas de integración por partes y de cambio homeomórfico de variables , es la más adecuada para Establecer fórmulas más complejas.

Generalización a funciones holomorfas

El teorema anterior se generaliza de la manera obvia a las funciones holomorfas: sean y sean dos conjuntos abiertos y simplemente conectados de , y supongamos que es un biholomorfismo . Entonces y tienen antiderivadas, y si es una antiderivada de , la antiderivada general de es ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle f: U \ a V}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle G (z) = zf ^ {- 1} (z) -F \ circ f ^ {- 1} (z) + C.}$

Debido a que todas las funciones holomórficas son diferenciables, la prueba es inmediata por diferenciación compleja.

Ver también

• Integración por partes
• Transformación de Legendre
• La desigualdad de Young por los productos

Referencias