Prueba de raíz - Root test

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En matemáticas , la prueba de la raíz es un criterio para la convergencia (una prueba de convergencia ) de una serie infinita . Depende de la cantidad

${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

donde están los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero diverge si es mayor que uno. Es particularmente útil en conexión con series de potencia . ${\ Displaystyle a_ {n}}$

Explicación de la prueba de raíz

La prueba de la raíz fue desarrollada primero por Augustin-Louis Cauchy, quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse (1821). Por lo tanto, a veces se conoce como prueba de raíz de Cauchy o prueba radical de Cauchy . Para una serie

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

la prueba de raíz usa el número

${\ Displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente ∞ +. Tenga en cuenta que si

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

converge, entonces es igual a C y, en su lugar, puede usarse en la prueba de raíz.

La prueba raíz establece que:

• si C <1 entonces la serie converge absolutamente ,
• si C > 1 entonces la serie diverge ,
• si C = 1 y el límite se acerca estrictamente desde arriba, entonces la serie diverge,
• de lo contrario, la prueba no es concluyente (la serie puede divergir, converger absolutamente o converger condicionalmente ).

Hay algunas series para las que C = 1 y la serie converge, por ejemplo , y hay otras para las que C = 1 y la serie diverge, por ejemplo . ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}$

Aplicación a series de potencia

Esta prueba se puede utilizar con una serie de potencias

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

donde los coeficientes c _n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían entonces dados por a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Luego, se aplica la prueba de raíz a la a _n como se _indicó anteriormente. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama serie de potencias "alrededor de p ", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo o disco más grande centrado en p, de modo que la serie convergerá para todos los puntos z estrictamente en el interior ( la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente debe comprobarse por separado). Un corolario de la prueba de la raíz aplicada a tal serie de potencias es el teorema de Cauchy-Hadamard : el radio de convergencia es exactamente teniendo cuidado de que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0. ${\ Displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Prueba

La prueba de la convergencia de una serie Σ a _n es una aplicación de la prueba de comparación . Si para todo n ≥ N ( N algún número natural fijo ) tenemos entonces . Dado que la serie geométrica converge, también lo hace la prueba de comparación. Por tanto, Σ a _n converge absolutamente. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq k <1,}$${\ Displaystyle | a_ {n} | \ leq k ^ {n} <1}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$

Si para una cantidad infinita de n , entonces una _n no converge a 0, por lo tanto, la serie es divergente. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$

Prueba del corolario : Para una serie de potencias Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ , vemos por lo anterior que la serie converge si existe un N tal que para todo n ≥ N tenemos

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} <1,}$

equivalente a

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ cdot | zp | <1}$

para todo n ≥ N , lo que implica que para que la serie converja debemos tener para todo n suficientemente grande . Esto es equivalente a decir ${\ Displaystyle | zp | <1 / {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$

${\ Displaystyle | zp | <1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

así que ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando ${\ Displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}$

(dado que los puntos> 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que

${\ Displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Ejemplos de

Ejemplo 1:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {i}} {i ^ {9}}}}$

Aplicando la prueba de raíz y usando el hecho de que ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n ^ {1 / n} = 1,}$

${\ Displaystyle C = {\ sqrt [{n}] {| {\ frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}}} |}} = {\ frac {\ sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {n ^ {9}}}} = {\ frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

Dado que la serie diverge. ${\ displaystyle C = 2> 1,}$

Ejemplo 2:

${\ Displaystyle 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...}$

La prueba de la raíz muestra convergencia porque

${\ Displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

Este ejemplo muestra cómo la prueba de raíz es más fuerte que la prueba de razón . La prueba de razón no es concluyente para esta serie si es impar, entonces (aunque no si es par), porque ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle r = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {2 \ cdot .5 ^ {n}} {2 \ cdot .5 ^ {n}}} \ right | = 1.}$

Ver también

• Prueba de razón
• Serie convergente

Referencias

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Secuencias y series infinitas . Publicaciones de Dover, Inc., Nueva York. ISBN   0-486-60153-6 .
• Whittaker, ET y Watson, GN (1963). "§ 2.35". Un curso de análisis moderno (cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   0-521-58807-3 .

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