Orden de integración (cálculo) - Order of integration (calculus)

En cálculo , el intercambio del orden de integración es una metodología que transforma integrales iteradas (o integrales múltiples mediante el uso del teorema de Fubini ) de funciones en otras integrales, con suerte más simples, cambiando el orden en el que se realizan las integraciones. En algunos casos, el orden de integración puede intercambiarse válidamente; en otros, no puede.

Planteamiento del problema

El problema a examinar es la evaluación de una integral de la forma

${\ Displaystyle \ iint _ {D} \ f (x, y) \ dx \, dy,}$

donde D es un área bidimensional en el plano xy . Para algunas funciones f integración directa es factible, pero donde eso no es verdad, la integral a veces puede ser reducido a forma más simple cambiando el orden de la integración. La dificultad con este intercambio es determinar el cambio en la descripción del dominio D .

El método también es aplicable a otras integrales múltiples .

A veces, aunque una evaluación completa es difícil, o tal vez requiere una integración numérica, una integral doble se puede reducir a una sola integración, como se ilustra a continuación. La reducción a una sola integración hace que la evaluación numérica sea ​​mucho más fácil y eficiente.

Relación con la integración por partes

Figura 1: La integración sobre el área triangular se puede realizar utilizando franjas verticales u horizontales como primer paso. Esta es una vista aérea, mirando hacia abajo del eje z hacia el plano xy . La línea inclinada es la curva y = x .

Considere la integral iterada

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy \, dx,}$

que escribiremos usando la notación de prefijo que se ve comúnmente en física:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy.}$

En esta expresión, la segunda integral se calcula primero con respecto ay y x se mantiene constante: una franja de ancho dx se integra primero en la dirección y (una franja de ancho dx en la dirección x se integra con respecto a y variable en la dirección y ), sumando una cantidad infinita de rectángulos de ancho dy a lo largo del eje y . Esto forma una rebanada tridimensional dx ancho a lo largo de la x eje x, de y = un a y = x a lo largo del y eje x, y en el z dirección z = f ( x , y ). Observe que si el grosor dx es infinitesimal, x varía solo infinitesimalmente en el corte. Podemos suponer que x es constante. Esta integración es como se muestra en el panel izquierdo de la Figura 1, pero es inconveniente especialmente cuando la función h ( y ) no se integra fácilmente. La integral se puede reducir a una sola integración invirtiendo el orden de integración como se muestra en el panel derecho de la figura. Para lograr este intercambio de variables, primero se integra la franja de ancho dy desde la línea x = y hasta el límite x = z , y luego el resultado se integra desde y = a hasta y = z , dando como resultado:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \ \ int _ {a} ^ {x} h (y) \ dy = \ int _ {a} ^ {z} h (y) \ dy \ \ int _ {y} ^ {z} dx = \ int _ {a} ^ {z} \ left (zy \ right) h (y) \, dy.}$

Este resultado puede verse como un ejemplo de la fórmula para la integración por partes , como se indica a continuación:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x) \, dx = \ left [f (x) g (x) \ right] _ {a} ^ {z} - \ int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x) \, dx}$

Sustituir:

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} h (y) \, dy ~ {\ text {y}} ~ g '(x) = 1.}$

Lo que da el resultado.

Integrales de valor principal

Para la aplicación a integrales de valor principal , consulte Whittaker y Watson, Gakhov, Lu o Zwillinger. Véase también la discusión de la transformación Poincaré-Bertrand en Obolashvili. Kanwal da un ejemplo en el que no se puede intercambiar el orden de integración:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d {\ tau} _ {1}} {{\ tau } _ {1} -t}} \ \ int _ {L} ^ {*} \ g (\ tau) {\ frac {d \ tau} {\ tau - \ tau _ {1}}} = {\ frac {1} {4}} g (t) \,}$

tiempo:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ left (\ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ left (\ tau _ {1} -t \ right) \ left (\ tau - \ tau _ {1} \ right)}} \ right ) = 0 \.}$

La segunda forma se evalúa usando una expansión de fracción parcial y una evaluación usando la fórmula de Sokhotski-Plemelj :

${\ Displaystyle \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ pi \ i \.}$

La notación indica un valor principal de Cauchy . Ver Kanwal. ${\ Displaystyle \ int _ {L} ^ {*}}$

Teoremas básicos

Una discusión sobre la base para invertir el orden de integración se encuentra en el libro Análisis de Fourier de TW Körner. Introduce su discusión con un ejemplo en el que el intercambio de integración conduce a dos respuestas diferentes porque no se satisfacen las condiciones del Teorema II a continuación. Aquí está el ejemplo:

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ { 2}}} \ dy = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {1} ^ {\ infty} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \ \ left [x \ geq 1 \ right] \.}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy \ right) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dx \ right) \ dy = {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

A continuación, se citan dos teoremas básicos que rigen la admisibilidad del intercambio de Chaudhry y Zubair:

Teorema I  -  Sea f ( x ,  y ) una función continua de signo constante definida para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, y sean las integrales

${\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           y           ${\ Displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

consideradas como funciones del parámetro correspondiente ser, respectivamente, continuas para c ≤ y <∞, a ≤ x <∞. Entonces, si al menos una de las integrales iteradas

${\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$           y           ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$

converge, la otra integral también converge y sus valores coinciden.

Teorema II  -  Sea f ( x ,  y ) continua para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, y sean las integrales

${\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           y           ${\ Displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

ser, respectivamente, uniformemente convergente en cada intervalo finito c ≤ y < C y en cada intervalo finito a ≤ x < A . Entonces, si al menos una de las integrales iteradas

${\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dx \ right) dy}$           y           ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dy \ right) dx}$

converge, las integrales iteradas

${\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) dx \ right) dy}$           y           ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) dy \ right) dx}$

también convergen y sus valores son iguales.

El teorema más importante para las aplicaciones se cita de Protter y Morrey:

Teorema  -  Supongamos que F es una región dada por   donde p y q son continuas y p ( x ) ≤ q ( x ) para un ≤ x ≤ b . Supóngase que f ( x ,  y ) es continua en F . Luego ${\ Displaystyle F = \ left \ {(x, \ y): a \ leq x \ leq b, p (x) \ leq y \ leq q (x) \ right \} \,}$

${\ Displaystyle \ iint _ {F} f (x, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, \ y) \, dy \ dx.}$

El resultado correspondiente se cumple si la región cerrada F tiene la representación   donde r ( y ) ≤  s ( y ) para c ≤ y ≤ d . En cuyo caso, ${\ Displaystyle F = \ left \ {(x, \ y): c \ leq y \ leq d, \ r (y) \ leq x \ leq s (y) \ right \}}$

${\ Displaystyle \ iint _ {F} f (x, \ y) dA = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, \ y ) \, dx \ dy \.}$

En otras palabras, ambas integrales iteradas, cuando se pueden calcular, son iguales a la integral doble y, por lo tanto, son iguales entre sí.

Ver también

• Teorema de Fubini

Referencias y notas

enlaces externos

• Notas de matemáticas en línea de Paul: Cálculo III
• Buenas imágenes en 3D que muestran el cálculo de "integrales dobles" utilizando integrales iteradas , el Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Oregon.
• Problemas de cálculo de UCLA de Ron Miech Ejemplos más complejos de cambio del orden de integración (véanse los problemas 33, 35, 37, 39, 41 y 43)
• Sitio web de la Universidad de Minnesota de Duane Nykamp