Tarifas relacionadas - Related rates

En cálculo diferencial , los problemas de tasas relacionadas implican encontrar una tasa a la que cambia una cantidad relacionando esa cantidad con otras cantidades cuyas tasas de cambio se conocen. La tasa de cambio suele ser con respecto al tiempo . Debido a que la ciencia y la ingeniería a menudo relacionan cantidades entre sí, los métodos de tasas relacionadas tienen amplias aplicaciones en estos campos. La diferenciación con respecto al tiempo o una de las otras variables requiere la aplicación de la regla de la cadena , ya que la mayoría de los problemas involucran varias variables.

Fundamentalmente, si una función se define de tal manera que , entonces la derivada de la función se puede tomar con respecto a otra variable. Suponemos que es una función de , es decir . Entonces , entonces ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F = f (x)}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x = g (t)}$${\ Displaystyle F = f (g (t))}$

${\ Displaystyle F '(t) = f' (g (t)) \ cdot g '(t)}$

Escrito en notación Leibniz, esto es:

${\ Displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = {\ frac {df} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}}.}$

Así, si se sabe cómo cambia con respecto a , entonces podemos determinar cómo cambia con respecto a y viceversa. Podemos extender esta aplicación de la regla de la cadena con las reglas de cálculo de suma, diferencia, producto y cociente, etc. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle t}$

Por ejemplo, si entonces ${\ Displaystyle F (x) = G (y) + H (z)}$

${\ Displaystyle {\ frac {dF} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {dG} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dt}} + { \ frac {dH} {dz}} \ cdot {\ frac {dz} {dt}}.}$

Procedimiento

La forma más común de abordar los problemas de tarifas relacionados es la siguiente:

1. Identifique las variables conocidas , incluidas las tasas de cambio y la tasa de cambio que se va a encontrar. (Hacer un dibujo o una representación del problema puede ayudar a mantener todo en orden)
2. Construya una ecuación que relacione las cantidades cuyas tasas de cambio se conocen con la cantidad cuya tasa de cambio se va a encontrar.
3. Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo (u otra tasa de cambio). A menudo, la regla de la cadena se emplea en este paso.
4. Sustituya las tasas de cambio conocidas y las cantidades conocidas en la ecuación.
5. Resuelva para la tasa de cambio deseada.

Los errores en este procedimiento a menudo se producen al introducir los valores conocidos de las variables antes (en lugar de después) de encontrar la derivada con respecto al tiempo. Si lo hace, obtendrá un resultado incorrecto, ya que si esos valores se sustituyen por las variables antes de la diferenciación, esas variables se convertirán en constantes; y cuando se diferencia la ecuación, aparecen ceros en los lugares de todas las variables para las que se insertaron los valores.

Ejemplos de

Ejemplo de escalera inclinada

Una escalera de 10 metros está apoyada contra la pared de un edificio y la base de la escalera se desliza alejándose del edificio a una velocidad de 3 metros por segundo. ¿Qué tan rápido se desliza la parte superior de la escalera por la pared cuando la base de la escalera está a 6 metros de la pared?

La distancia entre la base de la escalera y la pared, x , y la altura de la escalera en la pared, y , representan los lados de un triángulo rectángulo con la escalera como hipotenusa, h . El objetivo es encontrar dy / dt , la tasa de cambio de y con respecto al tiempo, t , cuando se conocen h , x y dx / dt , la tasa de cambio de x .

Paso 1:

${\ Displaystyle x = 6}$

${\ Displaystyle h = 10}$

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = 3}$

${\ Displaystyle {\ frac {dh} {dt}} = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ text {?}}}$

Paso 2: Del teorema de Pitágoras , la ecuación

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}, \,}$

describe la relación entre x , y y h , para un triángulo rectángulo. Al diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo, t , se obtiene

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} (h ^ {2})}$

Paso 3: cuando se resuelve para la tasa de cambio deseada, dy / dt , nos da

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} ( h ^ {2})}$

${\ Displaystyle (2x) {\ frac {dx} {dt}} + (2y) {\ frac {dy} {dt}} = (2h) {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ Displaystyle x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}} = h {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

Paso 4 y 5: El uso de las variables del paso 1 nos da:

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {10 \ times 0-6 \ times 3} {y}} = - {\ frac {18} {y}}.}$

Resolver para y usando el Teorema de Pitágoras da:

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}}$

${\ Displaystyle 6 ^ {2} + y ^ {2} = 10 ^ {2}}$

${\ Displaystyle y = 8}$

Conectando 8 para la ecuación:

${\ Displaystyle - {\ frac {18} {y}} = - {\ frac {18} {8}} = - {\ frac {9} {4}}}$

Generalmente se asume que los valores negativos representan la dirección descendente. Al hacerlo, la parte superior de la escalera se desliza por la pared a una velocidad de 9 ⁄ 4 metros por segundo.

Ejemplos de física

Debido a que una cantidad física a menudo depende de otra, que a su vez depende de otras, como el tiempo, los métodos de tasas relacionadas tienen amplias aplicaciones en Física. Esta sección presenta un ejemplo de cinemática de velocidades relacionadas e inducción electromagnética .

Ejemplo de física I: cinemática relativa de dos vehículos

Un vehículo se dirige al norte y actualmente se encuentra en (0,3); el otro vehículo se dirige al oeste y actualmente se encuentra en (4,0). La regla de la cadena se puede utilizar para determinar si se están acercando o alejando.

Por ejemplo, se puede considerar el problema de la cinemática en el que un vehículo se dirige hacia el oeste hacia una intersección a 80 millas por hora mientras que otro se dirige hacia el norte alejándose de la intersección a 60 millas por hora. Uno puede preguntarse si los vehículos se están acercando o alejando y a qué velocidad en el momento en que el vehículo con rumbo norte está a 3 millas al norte de la intersección y el vehículo con rumbo al oeste está a 4 millas al este de la intersección.

Gran idea: use la regla de la cadena para calcular la tasa de cambio de la distancia entre dos vehículos.

Plan:

1. Elija el sistema de coordenadas
2. Identificar variables
3. Dibujar la imagen
4. Gran idea: use la regla de la cadena para calcular la tasa de cambio de la distancia entre dos vehículos
5. Expreso c en términos de x y y vía teorema de Pitágoras
6. Exprese dc / dt usando la regla de la cadena en términos de dx / d t y dy / dt
7. Sustituir en x , y , dx / dt , dy / dt
8. Simplificar.

Elija el sistema de coordenadas: deje que el eje y apunte al norte y el eje x apunte al este.

Identificar variables: Defina y ( t ) como la distancia del vehículo en dirección norte desde el origen y x ( t ) como la distancia del vehículo en dirección oeste desde el origen.

Expresar c en términos de x y y vía el teorema de Pitágoras:

${\ Displaystyle c = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$

Exprese dc / dt usando la regla de la cadena en términos de dx / dt y dy / dt:

${\ Displaystyle {\ frac {dc} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$	Aplicar el operador derivado a toda la función
${\ Displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2})}$	La raíz cuadrada es función externa; La suma de cuadrados está dentro de la función
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [{\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) \ derecha]}$	Distribuir operador de diferenciación
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [2x {\ frac {dx} {dt}} + 2y {\ frac {dy} {dt}} \ right]}$	Aplicar la regla de la cadena a x ( t ) e y ( t )}
${\ displaystyle = {\ frac {x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} }$	Simplificar.

Sustituir en x = 4 mi, y = 3 mi, dx / dt = −80 mi / hr, dy / dt = 60 mi / hr y simplificar

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {dc} {dt}} & = {\ frac {4 {\ text {mi}} \ cdot (-80 {\ text {mi}} / {\ text { hr}}) + 3 {\ text {mi}} \ cdot (60) {\ text {mi}} / {\ text {hr}}} {\ sqrt {(4 {\ text {mi}}) ^ { 2} + (3 {\ text {mi}}) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {-320 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}} + 180 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = {\ frac {-140 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = - 28 {\ text {mi}} / {\ text {hr}} \ end {alineado}} }$

En consecuencia, los dos vehículos se están acercando a una velocidad de 28 mi / h.

Ejemplo de física II: inducción electromagnética de un bucle conductor que gira en un campo magnético

El flujo magnético a través de un bucle de área A cuya normal forma un ángulo θ a un campo magnético de fuerza B es

${\ Displaystyle \ Phi _ {B} = BA \ cos (\ theta),}$

La ley de inducción electromagnética de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida es la tasa de cambio negativa del flujo magnético a través de un bucle conductor. ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - {{d \ Phi _ {B}} \ over dt},}$

Si el área del bucle A y el campo magnético B se mantienen constantes, pero el bucle se gira de modo que el ángulo θ sea ​​una función conocida del tiempo, la tasa de cambio de θ puede relacionarse con la tasa de cambio de (y por lo tanto la electromotriz fuerza) tomando la derivada del tiempo de la relación de flujo ${\ Displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = BA \ sin \ theta {\ frac {d \ theta} {dt}}}$

Si, por ejemplo, el bucle gira a una velocidad angular constante ω , de modo que θ  =  ωt , entonces

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = \ omega BA \ sin \ omega t}$

Referencias