Integral de línea - Line integral

En matemáticas , una integral de línea es una integral en la que la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . También se utilizan los términos integral de trayectoria , integral de curva e integral curvilínea ; También se utiliza la integral de contorno , aunque normalmente se reserva para integrales de línea en el plano complejo .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderado por alguna función escalar en la curva (comúnmente la longitud del arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física, como la definición de trabajo como , tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea, en este caso , que calcula el trabajo realizado en un objeto que se mueve a través de un campo eléctrico o gravitacional F a lo largo de una trayectoria .

Cálculo vectorial

En términos cualitativos, una integral de línea en el cálculo vectorial se puede considerar como una medida del efecto total de un campo tensorial dado a lo largo de una curva dada. Por ejemplo, la integral de línea sobre un campo escalar (tensor de rango 0) se puede interpretar como el área debajo del campo tallada por una curva particular. Esto se puede visualizar como la superficie creada por z = f ( x , y ) y una curva C en el plano xy . La integral de línea de f sería el área de la "cortina" creada, cuando los puntos de la superficie que están directamente sobre C están tallados.

Integral de línea de un campo escalar

La integral de línea sobre un campo escalar f se puede considerar como el área bajo la curva C a lo largo de una superficie z = f ( x , y ), descrita por el campo.

Definición

Para algún campo escalar donde , la línea integral a lo largo de una curva suave a trozos se define como

donde es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de y a < b . Aquí, y en el resto del artículo, las barras de valor absoluto denotan la norma estándar (euclidiana) de un vector.

La función f se llama integrando, la curva es el dominio de integración y el símbolo ds puede interpretarse intuitivamente como una longitud de arco elemental . Las integrales de línea de los campos escalares sobre una curva no dependen de la parametrización elegida r de .

Geométricamente, cuando el campo escalar f se define sobre un plano ( n = 2) , su gráfica es una superficie z = f ( x , y ) en el espacio, y la integral de línea da el área de la sección transversal (con signo) limitada por el curva y la gráfica de f . Vea la animación a la derecha.

Derivación

Para una integral de línea sobre un campo escalar, la integral puede ser construido a partir de una suma de Riemann usando las definiciones anteriores de f , C y una parametrización r de C . Esto se puede hacer dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ t i −1 , t i ] de longitud Δ t = ( b - a ) / n , entonces r ( t i ) denota algún punto, llamar a un punto de muestra, en la curva C . Podemos usar el conjunto de puntos muestrales { r ( t i ): 1 ≤ in } para aproximar la curva C por una trayectoria poligonal introduciendo una línea recta entre cada uno de los puntos muestrales r ( t i −1 ) y r ( t i ) . Luego etiquetamos la distancia entre cada uno de los puntos de muestra en la curva como Δ s i . El producto de f ( r ( t i )) y Δ s i se puede asociar con el área con signo de un rectángulo con una altura y un ancho de f ( r ( t i )) y Δ s i , respectivamente. Tomando el límite de la suma de los términos cuando la longitud de las particiones se acerca a cero nos da

Por el teorema del valor medio , la distancia entre los puntos subsiguientes de la curva es

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior, se obtiene

que es la suma de Riemann para la integral

Integral de línea de un campo vectorial

Definición

Para un campo vectorial F : UR nR n , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos CU , en la dirección de r , se define como

donde · es el producto escalar , y r : [ a , b ] → C es un biyectiva parametrización de la curva C de tal manera que r ( una ) y r ( b ) dar a los puntos finales de C .

Por tanto, una integral de línea de un campo escalar es una integral de línea de un campo vectorial, donde los vectores son siempre tangenciales a la línea.

Las integrales de línea de los campos vectoriales son independientes de la parametrización r en valor absoluto , pero dependen de su orientación . Específicamente, una inversión en la orientación de la parametrización cambia el signo de la integral de línea.

Desde el punto de vista de la geometría diferencial , la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral de la forma 1 correspondiente bajo el isomorfismo musical (que lleva el campo vectorial al campo covector correspondiente ), sobre la curva considerada como sumergida. 1 colector.

Derivación

La trayectoria de una partícula (en rojo) a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. A partir de una , la partícula traza el camino C a lo largo del campo vectorial F . El producto escalar (línea verde) de su vector tangente (flecha roja) y el vector de campo (flecha azul) define un área debajo de una curva, que es equivalente a la integral de línea de la ruta. (Haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada).

La integral de línea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar al caso de un campo escalar, pero esta vez con la inclusión de un producto escalar. Nuevamente, usando las definiciones anteriores de F , C y su parametrización r ( t ) , construimos la integral a partir de una suma de Riemann . Partimos el intervalo [ a , b ] (que es el rango de los valores del parámetro t ) en n intervalos de longitud Δ t = ( b - a ) / n . Si t i es el i- ésimo punto en [ a , b ] , entonces r ( t i ) nos da la posición del i- ésimo punto en la curva. Sin embargo, en lugar de calcular las distancias entre puntos subsiguientes, necesitamos calcular sus vectores de desplazamiento , Δ r i . Como antes, la evaluación de F en todos los puntos de la curva, y teniendo el producto escalar con cada vector de desplazamiento nos da la infinitesimal contribución de cada partición de F en C . Dejar que el tamaño de las particiones vaya a cero nos da una suma

Por el teorema del valor medio , vemos que el vector de desplazamiento entre puntos adyacentes en la curva es

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior, se obtiene

que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente.

Independencia del camino

Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (es decir, si F es conservador ), es decir,

entonces, por la regla de la cadena multivariable, la derivada de la composición de G y r ( t ) es

que resulta ser el integrando de la integral de línea de F en r ( t ). De ello se deduce, dado un camino C , que

En otras palabras, la integral de F sobre C depende únicamente de los valores de G en los puntos r ( b ) y r ( a ) y, por lo tanto, es independiente de la ruta entre ellos. Por esta razón, una integral de línea de un campo vectorial conservador se denomina independiente de la trayectoria .

Aplicaciones

La integral de línea tiene muchos usos en física. Por ejemplo, el trabajo realizado en un viaje de partículas en una curva C en el interior de un campo de fuerza representada como un campo vectorial F es la integral de línea de F en C .

Fluir a través de una curva

Para un campo vectorial , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , la integral de línea a lo largo de una curva CU , también llamada integral de flujo , se define en términos de un parametrización suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como:

Aquí • es el producto escalar y es la perpendicular en el sentido de las agujas del reloj del vector velocidad .

El flujo se calcula en un sentido orientado: la curva C tiene una dirección de avance especificada de r ( a ) a r ( b ) , y el flujo se cuenta como positivo cuando F ( r ( t )) está en el lado de las agujas del reloj de la vector de velocidad de avance r ' ( t ) .

Integral de línea compleja

En el análisis complejo , la integral de línea se define en términos de multiplicación y suma de números complejos. Suponga que U es un subconjunto abierto del plano complejo C , f  : UC es una función y es una curva de longitud finita, parametrizada por γ : [ a , b ] → L , donde γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . La línea integral

puede definirse subdividiendo el intervalo [ a , b ] en a = t 0 < t 1 <... < t n = by considerando la expresión

La integral es entonces el límite de esta suma de Riemann cuando las longitudes de los intervalos de subdivisión se acercan a cero.

Si la parametrización γ es continuamente diferenciable , la integral de línea se puede evaluar como una integral de una función de una variable real:

Cuando L es una curva cerrada (los puntos inicial y final coinciden), la integral de línea a menudo se denota a veces en ingeniería como integral cíclica .

La integral de línea con respecto al diferencial complejo conjugado se define como

Las integrales de línea de funciones complejas se pueden evaluar utilizando varias técnicas. La más directa es dividir en partes reales e imaginarias, reduciendo el problema a evaluar dos integrales de línea con valor real. El teorema de la integral de Cauchy puede usarse para equiparar la integral de línea de una función analítica con la misma integral sobre una curva más conveniente. También implica que sobre una curva cerrada que encierra una región donde f ( z ) es analítica sin singularidades , el valor de la integral es simplemente cero, o en caso de que la región incluya singularidades, el teorema del residuo calcula la integral en términos de singularidades.

Ejemplo

Considere la función f ( z ) = 1 / z , y deje que el contorno L sea ​​el círculo unitario en sentido antihorario alrededor de 0, parametrizado por z ( t ) = e it con t en [0, 2π] usando el exponencial complejo . Sustituyendo, encontramos:

Este es un resultado típico de la fórmula integral de Cauchy y el teorema del residuo .

Relación de la integral de línea compleja y la integral de línea del campo vectorial

Al ver los números complejos como vectores bidimensionales , la integral de línea de una función con valores complejos tiene partes reales y complejas iguales a la integral de línea y la integral de flujo del campo vectorial correspondiente a la función conjugada Específicamente, si parametriza L , y corresponde a el campo vectorial entonces:

Según el teorema de Cauchy , la integral de la izquierda es cero cuando es analítica (satisfaciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) para cualquier curva cerrada lisa L. En consecuencia, según el teorema de Green , las integrales de la derecha son cero cuando es irrotacional ( sin rizos ) e incompresible ( libre de divergencias ). De hecho, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para son idénticos a la desaparición de enrollamiento y de divergencia para F .

Según el teorema de Green , el área de una región encerrada por una curva suave, cerrada y de orientación positiva viene dada por la integral. Este hecho se usa, por ejemplo, en la demostración del teorema del área .

Mecánica cuántica

La formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica en realidad no se refiere a integrales de trayectoria en este sentido, sino a integrales funcionales , es decir, integrales sobre un espacio de trayectorias, de una función de una trayectoria posible. Sin embargo, las integrales de trayectoria en el sentido de este artículo son importantes en la mecánica cuántica; por ejemplo, la integración de contornos complejos se utiliza a menudo para evaluar las amplitudes de probabilidad en la teoría de la dispersión cuántica .

Ver también

Referencias

enlaces externos