Cálculo geométrico - Geometric calculus

En matemáticas , el cálculo geométrico amplía el álgebra geométrica para incluir diferenciación e integración . El formalismo es poderoso y se puede demostrar que abarca otras teorías matemáticas, incluidas la geometría diferencial y las formas diferenciales .

Diferenciación

Con un álgebra geométrica dada, sean y sean vectores y sea una función multivectorial de un vector. La derivada direccional de a lo largo de en se define como ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle a}$

{\ displaystyle (\ nabla _ {b} F) (a) = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {F (a + \ epsilon b) -F (a)} {\ epsilon}},}

siempre que el límite exista para todos , donde el límite se toma como escalar . Esto es similar a la definición habitual de derivada direccional, pero la extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares. ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$

A continuación, elija un conjunto de vectores base y considere los operadores, denotados , que realizan derivadas direccionales en las direcciones de : ${\ Displaystyle \ {e_ {i} \}}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {i}}$ ${\ Displaystyle e_ {i}}$

{\ estilo de visualización \ parcial _ {i}: F \ mapsto (x \ mapsto (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Luego, usando la notación sumatoria de Einstein , considere el operador:

{\ Displaystyle e ^ {i} \ parcial _ {i},}

lo que significa

{\ Displaystyle F \ mapsto e ^ {i} \ partial _ {i} F,}

donde el producto geométrico se aplica después de la derivada direccional. Más prolijamente:

{\ Displaystyle F \ mapsto (x \ mapsto e ^ {i} (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Este operador es independiente de la elección del marco y, por tanto, se puede utilizar para definir la derivada geométrica :

{\ Displaystyle \ nabla = e ^ {i} \ parcial _ {i}.}

Esto es similar a la definición habitual de gradiente , pero también se extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares.

La derivada direccional es lineal con respecto a su dirección, es decir:

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ alpha a + \ beta b} = \ alpha \ nabla _ {a} + \ beta \ nabla _ {b}.}

De esto se sigue que la derivada direccional es el producto interno de su dirección por la derivada geométrica. Todo lo que se debe tener en cuenta es que la dirección se puede escribir , de modo que: ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle a = (a \ cdot e ^ {i}) e_ {i}}$

{\ Displaystyle \ nabla _ {a} = \ nabla _ {(a \ cdot e ^ {i}) e_ {i}} = (a \ cdot e ^ {i}) \ nabla _ {e_ {i}} = a \ cdot (e ^ {i} \ nabla _ {e_ {i}}) = a \ cdot \ nabla.}

Por esta razón, a menudo se nota . ${\ Displaystyle \ nabla _ {a} F (x)}$ ${\ Displaystyle a \ cdot \ nabla F (x)}$

El orden estándar de operaciones para la derivada geométrica es que actúa solo sobre la función más cercana a su derecha inmediata. Dadas dos funciones y , por ejemplo, tenemos ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$

{\ Displaystyle \ nabla FG = (\ nabla F) G.}

Regla del producto

Aunque la derivada parcial exhibe una regla de producto , la derivada geométrica solo hereda parcialmente esta propiedad. Considere dos funciones y : ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla (FG) & = e ^ {i} \ partial _ {i} (FG) \\ & = e ^ {i} ((\ partial _ {i} F) G + F (\ parcial _ {i} Sol)) \\ & = e ^ {i} (\ parcial _ {i} F) Sol + e ^ {i} F (\ parcial _ {i} Sol). \ End {alineado}}}

Dado que el producto geométrico no es conmutativo con en general, necesitamos una nueva notación para continuar. Una solución es adoptar la notación de sobrepunto , en la que el alcance de una derivada geométrica con sobrepunto es la función con valor multivector que comparte el mismo sobrepunto. En este caso, si definimos ${\ Displaystyle e ^ {i} F \ neq Fe ^ {i}}$

{\ Displaystyle {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}} = e ^ {i} F (\ parcial _ {i} G),}

entonces la regla del producto para la derivada geométrica es

{\ Displaystyle \ nabla (FG) = \ nabla FG + {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}}.}

Derivado interior y exterior

Sea un multivector de grado. Entonces podemos definir un par adicional de operadores, las derivadas interior y exterior, ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle r}$

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r-1} = e ^ {i} \ cdot \ partial _ {i} F,}

{\ Displaystyle \ nabla \ wedge F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r + 1} = e ^ {i} \ wedge \ partial _ {i} F.}

En particular, si es de grado 1 (función de valor vectorial), entonces podemos escribir ${\ Displaystyle F}$

{\ Displaystyle \ nabla F = \ nabla \ cdot F + \ nabla \ wedge F}

e identificar la divergencia y el rizo como

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot F = \ operatorname {div} F,}

{\ Displaystyle \ nabla \ wedge F = I \, \ operatorname {curl} F.}

A diferencia de la derivada geométrica, ni el operador de la derivada interior ni el operador de la derivada exterior son invertibles.

Integración

Sea un conjunto de vectores base que abarcan un espacio vectorial dimensional. Desde el álgebra geométrica, interpretamos el pseudoescalar ser el volumen firmada del - paralelotopo subtendido por estos vectores de la base. Si los vectores base son ortonormales , entonces esta es la unidad pseudoescalar. ${\ Displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle e_ {1} \ wedge e_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$

De manera más general, podemos restringirnos a un subconjunto de los vectores básicos, donde , para tratar la longitud, el área u otro volumen general de un subespacio en el espacio vectorial dimensional general . Denotamos estos vectores base seleccionados por . Un volumen general del paralelootopo subtendido por estos vectores base es el multivector de grado . ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ {e_ {i_ {1}}, \ ldots, e_ {i_ {k}} \}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}}$

Incluso de manera más general, podemos considerar un nuevo conjunto de vectores proporcionales a los vectores base, donde cada uno de los es un componente que escala uno de los vectores base. Somos libres de elegir componentes tan infinitesimalmente pequeños como queramos, siempre que sean distintos de cero. Dado que el producto externo de estos términos se puede interpretar como un volumen, una forma natural de definir una medida es ${\ Displaystyle \ {x ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}}, \ ldots, x ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {x ^ {i_ {j}} \}}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, la medida es siempre proporcional a la unidad pseudoescalar de un subespacio dimensional del espacio vectorial. Compare la forma volumétrica de Riemann en la teoría de formas diferenciales. La integral se toma con respecto a esta medida: ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle \ int _ {V} F (x) \, d ^ {k} X = \ int _ {V} F (x) \ left (e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2} } \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k}}.}

Más formalmente, considérese algún volumen dirigido del subespacio. Podemos dividir este volumen en una suma de simples . Sean las coordenadas de los vértices. En cada vértice asignamos una medida como la medida promedio de los simples que comparten el vértice. Entonces la integral de con respecto a más de este volumen se obtiene en el límite de la división más fina del volumen en simples más pequeños: ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle \ Delta U_ {i} (x)}$ ${\ Displaystyle F (x)}$ ${\ Displaystyle U (x)}$

{\ Displaystyle \ int _ {V} F \, dU = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}) \, \ Delta U_ {i }(X).}

Teorema fundamental del cálculo geométrico

La razón para definir la derivada geométrica y la integral como arriba es que permiten una fuerte generalización del teorema de Stokes . Sea una función multivectorial de entrada de grado y posición general , lineal en su primer argumento. Entonces, el teorema fundamental del cálculo geométrico relaciona la integral de una derivada sobre el volumen con la integral sobre su límite: ${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} (A; x)}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) = \ oint _ {\ parcial V} {\ mathsf { L}} (dS; x).}$

Como ejemplo, supongamos una función con valores vectoriales y un multivector de grado ( ) . Encontramos eso ${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} (A; x) = \ langle F (x) AI ^ {- 1} \ rangle}$ ${\ Displaystyle F (x)}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) & = \ int _ {V } \ langle {\ dot {F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, dX \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ langle {\ dot { F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, | dX | \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX |. \ End {alineado} }}

Igualmente,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ oint _ {\ parcial V} {\ mathsf {L}} (dS; x) & = \ oint _ {\ parcial V} \ langle F (x) \, dS \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ oint _ {\ parcial V} \ langle F (x) {\ hat {n}} \, | dS | \ rangle \\ & = \ oint _ {\ parcial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. \ End {alineado}}}

Así recuperamos el teorema de la divergencia ,

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX | = \ oint _ {\ parcial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. }

Derivado covariante

Una superficie suficientemente lisa en un espacio dimensional se considera una variedad . A cada punto del colector, podemos adjuntar una cuchilla que sea tangente al colector. Localmente, actúa como un pseudoescalar del espacio -dimensional. Esta hoja define una proyección de vectores sobre la variedad: ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (A) = (A \ cdot B ^ {- 1}) B.}

Así como la derivada geométrica se define en todo el espacio dimensional, es posible que deseemos definir una derivada intrínseca , definida localmente en la variedad: ${\ Displaystyle \ nabla}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ estilo de visualización \ parcial}$

{\ Displaystyle \ parcial F = {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F.}

(Nota: El lado derecho de lo anterior puede no estar en el espacio tangente al colector. Por lo tanto, no es lo mismo que , que necesariamente se encuentra en el espacio tangente). ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla F)}$

Si es un vector tangente a la variedad, entonces tanto la derivada geométrica como la derivada intrínseca dan la misma derivada direccional: ${\ Displaystyle a}$

{\ Displaystyle a \ cdot \ parcial F = a \ cdot \ nabla F.}

Aunque esta operación es perfectamente válida, no siempre es útil porque en sí misma no está necesariamente en el colector. Por lo tanto, definimos la derivada covariante como la proyección forzada de la derivada intrínseca sobre la variedad: ${\ Displaystyle \ parcial F}$

{\ Displaystyle a \ cdot DF = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ parcial F) = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F).}

Dado que cualquier multivector general puede expresarse como la suma de una proyección y un rechazo, en este caso

{\ Displaystyle a \ cdot \ F parcial = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ F parcial) + {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ parcial F),}

introducimos una nueva función, el tensor de forma , que satisface ${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} (a)}$

{\ Displaystyle F \ times {\ mathsf {S}} (a) = {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial F),}

¿Dónde está el producto del conmutador ? En una base de coordenadas local que abarca la superficie tangente, el tensor de forma viene dado por ${\ Displaystyle \ times}$ ${\ Displaystyle \ {e_ {i} \}}$

{\ Displaystyle {\ mathsf {S}} (a) = e ^ {i} \ wedge {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial e_ {i}).}

Es importante destacar que, en una variedad general, la derivada covariante no conmuta. En particular, el conmutador está relacionado con el tensor de forma por

{\ Displaystyle [a \ cdot D, \, b \ cdot D] F = - ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} (b)) \ ​​times F.}

Claramente el término es de interés. Sin embargo, como el derivado intrínseco, no está necesariamente en la variedad. Por lo tanto, podemos definir el tensor de Riemann como la proyección de regreso a la variedad: ${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} (b)}$

{\ Displaystyle {\ mathsf {R}} (a \ wedge b) = - {\ mathcal {P}} _ {B} ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} ( segundo)).}

Por último, si es de grado , podemos definir derivadas covariantes interiores y exteriores como ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle r}$

{\ Displaystyle D \ cdot F = \ langle DF \ rangle _ {r-1},}

{\ Displaystyle D \ wedge F = \ langle DF \ rangle _ {r + 1},}

e igualmente para la derivada intrínseca.

Relación con la geometría diferencial

En una variedad, localmente podemos asignar una superficie tangente abarcada por un conjunto de vectores base . Podemos asociar los componentes de un tensor métrico , los símbolos de Christoffel y el tensor de curvatura de Riemann de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ {e_ {i} \}}$

{\ Displaystyle g_ {ij} = e_ {i} \ cdot e_ {j},}

{\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = (e_ {i} \ cdot De_ {j}) \ cdot e ^ {k},}

{\ Displaystyle R_ {ijkl} = ({\ mathsf {R}} (e_ {i} \ wedge e_ {j}) \ cdot e_ {k}) \ cdot e_ {l}.}

Estas relaciones integran la teoría de la geometría diferencial dentro del cálculo geométrico.

Relación con formas diferenciales

En un sistema de coordenadas local ( ), las diferencias de coordenadas , ..., forman un conjunto básico de formas uniformes dentro del gráfico de coordenadas . Dado un índice múltiple con for , podemos definir un -form ${\ Displaystyle x ^ {1}, \ ldots, x ^ {n}}$ ${\ displaystyle dx ^ {1}}$ ${\ Displaystyle dx ^ {n}}$ ${\ Displaystyle I = (i_ {1}, \ ldots, i_ {k})}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i_ {p} \ leq n}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq k}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle \ omega = f_ {I} \, dx ^ {I} = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ { i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}.}

Alternativamente, podemos introducir un multivector de grado como ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle A = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} \ wedge e ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e ^ {i_ {k}}}

y una medida

{\ Displaystyle {\ begin {align} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {alineado}}}

Aparte de una sutil diferencia de significado para el producto exterior con respecto a las formas diferenciales versus el producto exterior con respecto a los vectores (en el primero los incrementos son cobectores, mientras que en el segundo representan escalares), vemos las correspondencias de la forma diferencial