Teorema de Green - Green's theorem

En cálculo vectorial, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C a una integral doble sobre el plano región D delimitada por C . Es el caso especial bidimensional del teorema de Stokes .

Teorema

Deje C ser un positivamente orientada , a trozos suavizar , curva cerrada simple en un plano , y dejar que D sea la región limitada por C . Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene D y que tiene derivadas parciales continuas allí, entonces

\ ointctrclockwise

donde la ruta de integración a lo largo de C es en sentido antihorario .

En física, el teorema de Green encuentra muchas aplicaciones. Uno es resolver integrales de flujo bidimensionales, indicando que la suma del fluido que sale de un volumen es igual al flujo de salida total sumado alrededor de un área circundante. En geometría plana , y en particular, topografía de áreas , el teorema de Green se puede utilizar para determinar el área y el centroide de figuras planas únicamente mediante la integración sobre el perímetro.

Prueba cuando D es una región simple

Si D es un tipo simple de región con su límite que consta de las curvas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , se puede demostrar la mitad del teorema de Green.

La siguiente es una prueba de la mitad del teorema para el área simplificada D , una región de tipo I donde C 1 y C 3 son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Existe una prueba similar para la otra mitad del teorema cuando D es una región de tipo II donde C 2 y C 4 son curvas conectadas por líneas horizontales (nuevamente, posiblemente de longitud cero). Juntando estas dos partes, el teorema queda probado para regiones de tipo III (definidas como regiones que son tanto de tipo I como de tipo II). El caso general se puede deducir de este caso especial descomponiendo D en un conjunto de regiones de tipo III.

Si se puede demostrar que si

 

 

 

 

( 1 )

y

 

 

 

 

( 2 )

son verdaderas, entonces el teorema de Green sigue inmediatamente para la región D. Podemos probar ( 1 ) fácilmente para regiones de tipo I y ( 2 ) para regiones de tipo II. A continuación, se sigue el teorema de Green para las regiones de tipo III.

Suponga que la región D es una región de tipo I y, por lo tanto, puede caracterizarse, como se muestra a la derecha, por

donde g 1 y g 2 son funciones continuas en [ a , b ]. Calcule la integral doble en ( 1 ):

 

 

 

 

( 3 )

Ahora calcule la integral de línea en ( 1 ). C se puede reescribir como la unión de cuatro curvas: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .

Con C 1 , use las ecuaciones paramétricas : x = x , y = g 1 ( x ), axb . Luego

Con C 3 , use las ecuaciones paramétricas: x = x , y = g 2 ( x ), axb . Luego

La integral sobre C 3 se niega porque va en la dirección negativa de b a a , ya que C está orientada positivamente (en sentido antihorario). En C 2 y C 4 , x permanece constante, lo que significa

Por lo tanto,

 

 

 

 

( 4 )

Combinando ( 3 ) con ( 4 ), obtenemos ( 1 ) para regiones de tipo I. Un tratamiento similar produce ( 2 ) para regiones de tipo II. Poniendo los dos juntos, obtenemos el resultado para las regiones de tipo III.

Prueba de curvas Jordan rectificables

Vamos a demostrar lo siguiente

Teorema. Sea una curva de Jordan rectificable, orientada positivamente hacia adentro y denote su región interna. Suponga que son funciones continuas con la propiedad que tiene una segunda derivada parcial en cada punto de , tiene una primera derivada parcial en cada punto de y que las funciones son integrables por Riemann . Luego

Necesitamos los siguientes lemas cuyas demostraciones se pueden encontrar en:

Lema 1 (Lema de descomposición). Suponga que es una curva de Jordan rectificable, orientada positivamente en el plano y sea ​​su región interior. Para cada real positivo , denotemos la colección de cuadrados en el plano delimitado por las líneas , donde atraviesa el conjunto de números enteros. Entonces, para esto , existe una descomposición de en un número finito de subregiones no superpuestas de tal manera que

  1. Cada una de las subregiones contenidas en , digamos , es un cuadrado de .
  2. Cada una de las subregiones restantes, digamos , tiene como límite una curva de Jordan rectificable formada por un número finito de arcos de y partes de los lados de algún cuadrado de .
  3. Cada una de las regiones fronterizas se puede encerrar en un cuadrado de longitud de borde .
  4. Si es la curva límite de orientación positiva de , entonces
  5. El número de regiones fronterizas no es mayor que , donde es la longitud de .

Lema 2. Sea una curva rectificable en el plano y sea ​​el conjunto de puntos en el plano cuya distancia desde (el rango de) es como máximo . El contenido de Jordan exterior de este conjunto satisface .

Lema 3. Sea una curva rectificable y sea ​​una función continua. Luego

y
son donde está la oscilación de en el rango de .

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema:

Prueba del teorema. Sea un número real positivo arbitrario. Por la continuidad de , y la compacidad del , dada , existe tal que siempre que dos puntos de son menos de distancia, sus imágenes bajo son menos de distancia. Para esto , considere la descomposición dada por el Lema anterior. Tenemos

Poner .

Para cada uno , la curva es un cuadrado de orientación positiva, para lo cual se cumple la fórmula de Green. Por eso

Cada punto de una región fronteriza está a una distancia no mayor que desde . Por lo tanto, si es la unión de todas las regiones fronterizas, entonces ; por lo tanto , por el Lema 2. Note que

Esto produce

También podemos elegir de modo que el RHS de la última desigualdad sea

La observación al comienzo de esta prueba implica que las oscilaciones de y sobre cada región fronteriza es como máximo . Tenemos

Por el Lema 1 (iii),

Combinando estos, finalmente obtenemos

para algunos . Dado que esto es cierto para todos , hemos terminado.

Validez bajo diferentes hipótesis

Las hipótesis del último teorema no son las únicas bajo las cuales la fórmula de Green es verdadera. Otro conjunto común de condiciones es el siguiente:

Aún se asume que las funciones son continuas. Sin embargo, ahora exigimos que sean diferenciables de Fréchet en cada punto de . Esto implica la existencia de todas las derivadas direccionales, en particular , donde, como de costumbre, es la base ordenada canónica de . Además, requerimos que la función sea ​​integrable por Riemann .

Como corolario de esto, obtenemos el teorema integral de Cauchy para curvas de Jordan rectificables:

Teorema (Cauchy). Si es una curva de Jordan rectificable en y si es un mapeo continuo holomórfico en toda la región interior de , entonces

la integral es una integral de contorno compleja.

Prueba. Consideramos el plano complejo como . Ahora, defina como tal que estas funciones sean claramente continuas. Es bien sabido que y son Fréchet-diferenciable y que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: .

Ahora, analizando las sumas utilizadas para definir la integral de contorno compleja en cuestión, es fácil darse cuenta de que

las integrales en el RHS son integrales de línea habituales. Estas observaciones nos permiten aplicar el Teorema de Green a cada una de estas integrales de línea, terminando la demostración.

Regiones con múltiples conexiones

Teorema. Sean curvas de Jordan rectificables orientadas positivamente para satisfacer

donde está la región interior de . Dejar

Supongamos que y son funciones continuas cuya restricción a es diferenciable de Fréchet. Si la función

es integrable de Riemann , entonces

Relación con el teorema de Stokes

El teorema de Green es un caso especial del teorema de Kelvin-Stokes , cuando se aplica a una región en el plano.

Podemos aumentar el campo bidimensional a un campo tridimensional con un componente z que siempre es 0. Escriba F para la función con valor vectorial . Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:

El teorema de Kelvin-Stokes:

La superficie es solo la región en el plano , con la unidad normal definida (por convención) para tener un componente z positivo para que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas.

La expresión dentro de la integral se convierte en

Así obtenemos el lado correcto del teorema de Green

El teorema de Green también es un resultado directo del teorema general de Stokes usando formas diferenciales y derivadas exteriores :

Relación con el teorema de la divergencia

Considerando solo campos vectoriales bidimensionales, el teorema de Green es equivalente a la versión bidimensional del teorema de divergencia :

\ oiint

donde es la divergencia en el campo vectorial bidimensional , y es el vector normal unitario que apunta hacia afuera en el límite.

Para ver esto, considere la unidad normal en el lado derecho de la ecuación. Dado que en el teorema de Green es un vector que apunta tangencialmente a lo largo de la curva, y la curva C es la curva orientada positivamente (es decir, en sentido antihorario) a lo largo del límite, una normal hacia afuera sería un vector que apunta 90 ° a la derecha de este; una opción sería . La longitud de este vector es Entonces

Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de la divergencia bidimensional con , obtenemos el lado derecho del teorema de Green:

Cálculo de área

El teorema de Green se puede utilizar para calcular el área por la integral de línea. El área de una región plana está dada por

Elija y tal que , el área esté dada por

Posibles fórmulas para el área de incluir

Historia

Lleva el nombre de George Green , quien declaró un resultado similar en un artículo de 1828 titulado Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo . En 1846, Augustin-Louis Cauchy publicó un artículo en el que el teorema de Green era la penúltima oración. De hecho, esta es la primera versión impresa del teorema de Green en la forma que aparece en los libros de texto modernos. Bernhard Riemann dio la primera prueba del teorema de Green en su tesis doctoral sobre la teoría de funciones de una variable compleja.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos