Historia del cálculo - History of calculus

El cálculo , conocido en su historia temprana como cálculo infinitesimal , es una disciplina matemática enfocada en límites , continuidad , derivadas , integrales y series infinitas . Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente la teoría del cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII. A fines del siglo XVII, tanto Leibniz como Newton afirmaron que el otro le había robado su trabajo, y la controversia del cálculo Leibniz-Newton continuó hasta la muerte de Leibniz en 1716.

Pioneros del cálculo

Antiguo

Arquímedes usó el método de agotamiento para calcular el área dentro de un círculo

El período antiguo introdujo algunas de las ideas que llevaron al cálculo integral , pero no parece haberlas desarrollado de manera rigurosa y sistemática. Los cálculos de volúmenes y áreas, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú (c. 1820 a. C.), pero las fórmulas solo se dan para números concretos, algunos son solo aproximadamente verdaderos y no se derivan por deductivo. razonamiento. Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter .

Desde la era de las matemáticas griegas , Eudoxo (c. 408-355 a. C.) utilizó el método de agotamiento , que presagia el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (c. 287-212 a. C.) desarrolló más esta idea. , inventando heurísticas que se asemejan a los métodos del cálculo integral. A los matemáticos griegos también se les atribuye un uso significativo de infinitesimales . Demócrito es la primera persona registrada en considerar seriamente la división de objetos en un número infinito de secciones transversales, pero su incapacidad para racionalizar secciones transversales discretas con la pendiente suave de un cono le impidió aceptar la idea. Aproximadamente al mismo tiempo, Zenón de Elea desacreditó aún más a los infinitesimales al articular las paradojas que crean.

Arquímedes desarrolló aún más este método, mientras que también inventó métodos heurísticos que se asemejan un poco a los conceptos modernos en su La cuadratura de la parábola , El método y Sobre la esfera y el cilindro . Sin embargo, no debe pensarse que los infinitesimales se pusieron sobre una base rigurosa durante este tiempo. Solo cuando se complementaba con una prueba geométrica adecuada, los matemáticos griegos aceptarían una proposición como verdadera. No fue hasta el siglo XVII que Cavalieri formalizó el método como el método de los indivisibles y, finalmente, Newton lo incorporó a un marco general de cálculo integral . Arquímedes fue el primero en encontrar la tangente a una curva que no sea un círculo, en un método similar al cálculo diferencial. Mientras estudiaba la espiral, separó el movimiento de un punto en dos componentes, un componente de movimiento radial y un componente de movimiento circular, y luego continuó sumando los movimientos de los dos componentes, encontrando así la tangente a la curva. Los pioneros del cálculo como Isaac Barrow y Johann Bernoulli fueron diligentes estudiantes de Arquímedes; véase, por ejemplo, CS Roero (1983).

El método de agotamiento fue reinventado en China por Liu Hui en el siglo IV d.C. para encontrar el área de un círculo. En el siglo V, Zu Chongzhi estableció un método que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera .

Medieval

En el Oriente Medio islámico , el matemático árabe del siglo XI Ibn al-Haytham (Alhazen) derivó una fórmula para la suma de los cuartos poderes . Utilizó los resultados para realizar lo que ahora se llamaría una integración , donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . En el siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descubrió la derivada de polinomios cúbicos . Su Tratado de Ecuaciones desarrolló conceptos relacionados con el cálculo diferencial , como la función derivada y los máximos y mínimos de las curvas, para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas.

Algunas ideas sobre cálculo aparecieron más tarde en las matemáticas indias , en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, y matemáticos posteriores de la escuela de Kerala, declararon componentes del cálculo como la serie de Taylor y las aproximaciones de series infinitas . Sin embargo, no pudieron combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la poderosa herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy.

El estudio matemático de la continuidad fue revivido en el siglo XIV por las Calculadoras de Oxford y colaboradores franceses como Nicole Oresme . Demostraron el " teorema de la velocidad media de Merton ": que un cuerpo acelerado uniformemente recorre la misma distancia que un cuerpo con velocidad uniforme cuya rapidez es la mitad de la velocidad final del cuerpo acelerado.

Temprano moderno

En el siglo XVII, los matemáticos europeos Isaac Barrow , René Descartes , Pierre de Fermat , Blaise Pascal , John Wallis y otros discutieron la idea de un derivado . En particular, en Methodus ad disquirendam maximam et minima y en De tangentibus linearum curvarum , Fermat desarrolló un método de adecuación para determinar máximos, mínimos y tangentes a varias curvas que estaba estrechamente relacionado con la diferenciación. Isaac Newton escribiría más tarde que sus propias ideas tempranas sobre el cálculo procedían directamente de la "forma de dibujar tangentes de Fermat".

En el lado integral, Cavalieri desarrolló su método de indivisibles en las décadas de 1630 y 1640, proporcionando una forma más moderna del método de agotamiento griego antiguo , y calculando la fórmula de cuadratura de Cavalieri , el área bajo las curvas x n de mayor grado, que previamente había sólo ha sido calculado para la parábola, por Arquímedes. Torricelli extendió este trabajo a otras curvas como la cicloide , y luego Wallis generalizó la fórmula a potencias fraccionarias y negativas en 1656. En un tratado de 1659, a Fermat se le atribuye un ingenioso truco para evaluar directamente la integral de cualquier función de potencia. Fermat también obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que influyó en el trabajo posterior en cuadratura. James Gregory , influenciado por las contribuciones de Fermat tanto a la tangencia como a la cuadratura, pudo probar una versión restringida del segundo teorema fundamental del cálculo a mediados del siglo XVII. Isaac Barrow dio la primera prueba completa del teorema fundamental del cálculo .

Área sombreada de una unidad de medida cuadrada cuando x = 2.71828 ... El descubrimiento del número e de Euler , y su explotación con funciones e x y logaritmo natural, completó la teoría de integración para el cálculo de funciones racionales.

Un requisito previo para el establecimiento de un cálculo de funciones de una variable real implicaba encontrar una antiderivada para la función racional. Este problema puede expresarse como cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1. En 1647 Gregoire de Saint-Vincent señaló que la función requerida F satisfecho de modo que una sucesión geométrica se convierta, en F , en una sucesión aritmética . AA de Sarasa asoció esta característica con algoritmos contemporáneos llamados logaritmos que economizaban la aritmética al convertir las multiplicaciones en sumas. Entonces, F se conoció por primera vez como el logaritmo hiperbólico . Después de que Euler explotó e = 2.71828 ..., y F se identificó como la función inversa de la función exponencial , se convirtió en el logaritmo natural , satisfaciendo

La primera prueba del teorema de Rolle fue dada por Michel Rolle en 1691 utilizando métodos desarrollados por el matemático holandés Johann van Waveren Hudde . El teorema del valor medio en su forma moderna fue establecido por Bernard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) también después de la fundación del cálculo moderno. Barrow , Huygens y muchos otros también hicieron contribuciones importantes .

Newton y Leibniz

Antes de Newton y Leibniz , la palabra "cálculo" se refería a cualquier cuerpo de matemáticas, pero en los años siguientes, "cálculo" se convirtió en un término popular para un campo de las matemáticas basado en sus conocimientos. Newton y Leibniz, basándose en este trabajo, desarrollaron de forma independiente la teoría circundante del cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII. Además, Leibniz trabajó mucho en el desarrollo de conceptos y notación coherentes y útiles. Newton proporcionó algunas de las aplicaciones más importantes a la física, especialmente del cálculo integral . El propósito de esta sección es examinar las investigaciones de Newton y Leibniz sobre el campo en desarrollo del cálculo infinitesimal. Se dará especial importancia a la justificación y los términos descriptivos que utilizaron en un intento de comprender el cálculo tal como ellos mismos lo concibieron.

A mediados del siglo XVII, las matemáticas europeas habían cambiado su principal depósito de conocimientos. En comparación con el siglo pasado, que mantuvo las matemáticas helenísticas como punto de partida para la investigación, Newton, Leibniz y sus contemporáneos miraron cada vez más hacia las obras de pensadores más modernos. Europa se había convertido en el hogar de una comunidad matemática floreciente y con el advenimiento de bases institucionales y organizativas mejoradas se estaba logrando un nuevo nivel de organización e integración académica. Sin embargo, es importante destacar que la comunidad carecía de formalismo; en cambio, consistía en una masa desordenada de varios métodos, técnicas, notaciones , teorías y paradojas .

Newton llegó al cálculo como parte de sus investigaciones en física y geometría . Consideraba el cálculo como la descripción científica de la generación de movimiento y magnitudes . En comparación, Leibniz se centró en el problema de la tangente y llegó a creer que el cálculo era una explicación metafísica del cambio. Es importante destacar que el núcleo de su idea fue la formalización de las propiedades inversas entre la integral y la diferencial de una función . Esta intuición había sido anticipada por sus predecesores, pero fueron los primeros en concebir el cálculo como un sistema en el que se creaban nuevos términos retóricos y descriptivos. Sus descubrimientos únicos radican no solo en su imaginación, sino también en su capacidad para sintetizar los conocimientos que los rodean en un proceso algorítmico universal, formando así un nuevo sistema matemático.

Newton

Newton no completó ninguna publicación definitiva que formalizara su cálculo fluxional ; más bien, muchos de sus descubrimientos matemáticos se transmitieron a través de correspondencia, artículos más pequeños o como aspectos incrustados en sus otras compilaciones definitivas, como los Principia y Opticks . Newton comenzaría su formación matemática como heredero elegido de Isaac Barrow en Cambridge . Su aptitud fue reconocida temprano y rápidamente aprendió las teorías actuales. En 1664 Newton había hecho su primera contribución importante al promover el teorema del binomio , que había ampliado para incluir exponentes fraccionarios y negativos . Newton logró expandir la aplicabilidad del teorema del binomio aplicando el álgebra de cantidades finitas en un análisis de series infinitas . Mostró una voluntad de ver las series infinitas no solo como dispositivos aproximados, sino también como formas alternativas de expresar un término.

Muchas de las percepciones críticas de Newton ocurrieron durante los años de la plaga de 1665-1666, que luego describió como "el mejor momento de mi época para la invención y las matemáticas mentales y la filosofía [natural] más que en ningún otro momento desde entonces". Fue durante su aislamiento inducido por la peste que la primera concepción escrita del cálculo fluxionario se registró en el De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas inédito . En este artículo, Newton determinó el área bajo una curva calculando primero una tasa de cambio momentánea y luego extrapolando el área total. Empezó por el razonamiento sobre un indefinidamente pequeño triángulo cuya área es una función de x e y . Luego razonó que el aumento infinitesimal en la abscisa creará una nueva fórmula donde x = x + o (lo que es más importante, o es la letra, no el dígito 0). Luego volvió a calcular el área con la ayuda del teorema del binomio, eliminó todas las cantidades que contenían la letra o y volvió a formar una expresión algebraica para el área. Significativamente, Newton "borraría" las cantidades que contienen o porque los términos "multiplicados por él no serán nada con respecto al resto".

En este punto, Newton había comenzado a darse cuenta de la propiedad central de la inversión. Había creado una expresión para el área bajo una curva al considerar un aumento momentáneo en un punto. En efecto, el teorema fundamental del cálculo se incorporó a sus cálculos. Si bien su nueva formulación ofrecía un potencial increíble, Newton era muy consciente de sus limitaciones lógicas en ese momento. Admite que "los errores no deben pasarse por alto en matemáticas, por pequeños que sean" y que lo que había logrado "se explicó brevemente en lugar de demostrarlo con precisión".

En un esfuerzo por darle al cálculo una explicación y un marco más rigurosos, Newton compiló en 1671 el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . En este libro, el empirismo estricto de Newton dio forma y definió su cálculo fluxional. Explotó el movimiento instantáneo y los infinitesimales de manera informal. Usó las matemáticas como herramienta metodológica para explicar el mundo físico. La base del cálculo revisado de Newton se convirtió en continuidad; como tal, redefinió sus cálculos en términos de movimiento de flujo continuo. Para Newton, las magnitudes variables no son agregados de elementos infinitesimales, sino que se generan por el hecho indiscutible del movimiento. Como ocurre con muchas de sus obras, Newton retrasó la publicación. Methodus Fluxionum no se publicó hasta 1736.

Newton intentó evitar el uso del infinitesimal formando cálculos basados ​​en proporciones de cambios. En el Methodus Fluxionum definió la tasa de cambio generado como un flujo , que representó con una letra punteada, y la cantidad generada la definió como un fluido . Por ejemplo, si y son fluidos, entonces y son sus respectivas fluxiones. Este cálculo revisado de razones continuó desarrollándose y se expresó con madurez en el texto de 1676 De Quadratura Curvarum, donde Newton llegó a definir la derivada actual como la razón última de cambio, que definió como la razón entre incrementos evanescentes (la razón de fluxiones ) puramente en el momento en cuestión. Esencialmente, la proporción final es la proporción a medida que los incrementos se desvanecen en la nada. Es importante destacar que Newton explicó la existencia de la relación última apelando al movimiento;

“Porque por velocidad última se entiende que, con la que se mueve el cuerpo, ni antes de llegar a su último lugar, cuando cesa el movimiento ni después, sino en el mismo instante en que llega ... la relación última de cantidades evanescentes es para ser entendido, la proporción de cantidades no antes de que se desvanezcan, no después, sino con las que se desvanecen ”

Newton desarrolló su cálculo fluxional en un intento de evadir el uso informal de infinitesimales en sus cálculos.

Leibniz

Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis , Acta Eruditorum, Leipzig, octubre de 1684. Primera página de la publicación de Leibniz del cálculo diferencial.
Gráficos a los que se hace referencia en el artículo de Leibniz de 1684

Aunque Newton comenzó el desarrollo de su cálculo fluxional en 1665-1666, sus hallazgos no se difundieron ampliamente hasta más tarde. En los años intermedios, Leibniz también se esforzó por crear su cálculo. En comparación con Newton, que llegó a las matemáticas a una edad temprana, Leibniz comenzó sus rigurosos estudios matemáticos con un intelecto maduro. Era un erudito y sus intereses y logros intelectuales incluían la metafísica , el derecho , la economía , la política , la lógica y las matemáticas . Para comprender el razonamiento de Leibniz en cálculo, se deben tener en cuenta sus antecedentes. En particular, su metafísica que describía el universo como una monadología , y sus planes de crear una lógica formal precisa mediante la cual, "un método general en el que todas las verdades de la razón se reducirían a una especie de cálculo".

En 1672, Leibniz conoció al matemático Huygens, quien convenció a Leibniz de dedicar un tiempo significativo al estudio de las matemáticas. Por 1673 él había progresado hasta la lectura de Pascal ‘s Traité des sinusal du Cercle Quarte y fue durante su gran medida autodidacta investigación que Leibniz dijo 'una luz encendida'. Al igual que Newton, Leibniz vio la tangente como una razón, pero la declaró simplemente como la razón entre ordenadas y abscisas . Continuó este razonamiento para argumentar que la integral era de hecho la suma de las ordenadas para intervalos infinitesimales en la abscisa; en efecto, la suma de un número infinito de rectángulos. A partir de estas definiciones, la relación inversa o diferencial quedó clara y Leibniz se dio cuenta rápidamente del potencial para formar un sistema matemático completamente nuevo. Donde Newton a lo largo de su carrera usó varios enfoques además de un enfoque que usaba infinitesimales , Leibniz hizo de esto la piedra angular de su notación y cálculo.

En los manuscritos del 25 de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz registró sus descubrimientos y experimentos con diversas formas de notación. Era muy consciente de los términos de notación utilizados y sus planes anteriores para formar un simbolismo lógico preciso se hicieron evidentes. Finalmente, Leibniz denotó los incrementos infinitesimales de abscisas y ordenadas dx y dy , y la suma de infinitos rectángulos infinitesimalmente delgados como una s larga (∫), que se convirtió en el presente símbolo integral .

Si bien la notación de Leibniz es utilizada por las matemáticas modernas, su base lógica era diferente de la actual. Leibniz abrazó a los infinitesimales y escribió extensamente para "no hacer de lo infinitamente pequeño un misterio, como lo había hecho Pascal". Según Gilles Deleuze , los ceros de Leibniz "son nada, pero no son nada absolutos, son nada respectivamente" (citando el texto de Leibniz "Justificación del cálculo de infinitesimales por el cálculo del álgebra ordinaria"). Alternativamente, los define como "menos que cualquier cantidad dada". Para Leibniz, el mundo era un agregado de puntos infinitesimales y la falta de pruebas científicas de su existencia no le preocupaba. Los infinitesimales para Leibniz eran cantidades ideales de un tipo diferente de números apreciables. La verdad de la continuidad fue probada por la existencia misma. Para Leibniz el principio de continuidad y por tanto la validez de su cálculo estaba asegurado. Trescientos años después del trabajo de Leibniz, Abraham Robinson demostró que el uso de cantidades infinitesimales en cálculo podría tener una base sólida.

Legado

El auge del cálculo se destaca como un momento único en las matemáticas. El cálculo es la matemática del movimiento y el cambio y, como tal, su invención requirió la creación de un nuevo sistema matemático. Es importante destacar que Newton y Leibniz no crearon el mismo cálculo y no concibieron el cálculo moderno. Si bien ambos estaban involucrados en el proceso de crear un sistema matemático para tratar con cantidades variables, su base elemental era diferente. Para Newton, el cambio era una cantidad variable a lo largo del tiempo y para Leibniz era la diferencia que se extiende sobre una secuencia de valores infinitamente cercanos. En particular, los términos descriptivos que creó cada sistema para describir el cambio fueron diferentes.

Históricamente, hubo mucho debate sobre si Newton o Leibniz fueron los primeros en "inventar" el cálculo. Este argumento, la controversia del cálculo de Leibniz y Newton , que involucraba a Leibniz, que era alemán, y al inglés Newton, condujo a una ruptura en la comunidad matemática europea que duró más de un siglo. Leibniz fue el primero en publicar sus investigaciones; sin embargo, está bien establecido que Newton había comenzado su trabajo varios años antes que Leibniz y ya había desarrollado una teoría de las tangentes cuando Leibniz se interesó por la cuestión. No se sabe cuánto pudo haber influido esto en Leibniz. Las acusaciones iniciales fueron hechas por estudiantes y partidarios de los dos grandes científicos en el cambio de siglo, pero después de 1711 ambos se involucraron personalmente, acusándose mutuamente de plagio .

La disputa por la prioridad tuvo el efecto de separar a los matemáticos de habla inglesa de los de la Europa continental durante muchos años. Solo en la década de 1820, debido a los esfuerzos de la Sociedad Analítica , el cálculo analítico leibniziano fue aceptado en Inglaterra. Hoy en día, tanto Newton como Leibniz reciben crédito por desarrollar de forma independiente los conceptos básicos del cálculo. Sin embargo, es Leibniz a quien se le atribuye el mérito de haber dado a la nueva disciplina el nombre con el que se la conoce hoy: "cálculo". El nombre de Newton para él era "la ciencia de los fluidos y fluxiones ".

El trabajo de Newton y Leibniz se refleja en la notación que se usa hoy. Newton introdujo la notación para la derivada de una función f . Leibniz introdujo el símbolo de la integral y escribió la derivada de una función y de la variable x as , las cuales todavía están en uso.

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi .

Métodos operativos

Antoine Arbogast (1800) fue el primero en separar el símbolo de operación del de cantidad en una ecuación diferencial. Francois-Joseph Servois (1814) parece haber sido el primero en dar reglas correctas sobre el tema. Charles James Hargreave (1848) aplicó estos métodos en sus memorias sobre ecuaciones diferenciales, y George Boole los empleó libremente. Hermann Grassmann y Hermann Hankel hicieron un gran uso de la teoría, el primero en el estudio de ecuaciones y el segundo en su teoría de los números complejos .

Cálculo de variaciones

Se puede decir que el cálculo de variaciones comienza con un problema de Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente ocupó la atención de Jakob Bernoulli, pero Leonhard Euler primero elaboró ​​el tema. Sus contribuciones comenzaron en 1733, y su Elementa Calculi Variationum dio a la ciencia su nombre. Joseph Louis Lagrange contribuyó ampliamente a la teoría, y Adrien-Marie Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. A esta discriminación Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) y Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) han estado entre los contribuyentes. Un trabajo general importante es el de Sarrus (1842) que fue condensado y mejorado por Augustin Louis Cauchy (1844). Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885) han escrito otros valiosos tratados y memorias , pero quizás la obra más importante del siglo es la de Karl. Weierstrass . Se puede afirmar que su curso de teoría es el primero en colocar el cálculo sobre una base firme y rigurosa.

Integrales

Niels Henrik Abel parece haber sido el primero en considerar de manera general la cuestión de qué ecuaciones diferenciales pueden integrarse en una forma finita con la ayuda de funciones ordinarias, una investigación ampliada por Liouville . Cauchy emprendió temprano la teoría general de determinar integrales definidas , y el tema ha sido prominente durante el siglo XIX. Frullani integrales , el trabajo de David Bierens de Haan sobre la teoría y sus elaboradas tablas, las conferencias de Lejeune Dirichlet incorporadas en el tratado de Meyer y numerosas memorias de Legendre , Poisson , Plana , Raabe , Sohncke , Schlömilch , Elliott , Leudesdorf y Kronecker se encuentran entre las contribuciones notables.

Las integrales eulerianas fueron estudiadas primero por Euler y luego investigadas por Legendre, por quien fueron clasificadas como integrales eulerianas de la primera y segunda especie, de la siguiente manera:

aunque estas no eran las formas exactas del estudio de Euler.

Si n es un número entero positivo :

pero la integral converge para todo real positivo y define una continuación analítica de la función factorial para todo el plano complejo excepto para los polos en cero y los enteros negativos. Legendre le asignó el símbolo y ahora se denomina función gamma . Además de ser analítico sobre los reales positivos ℝ + ,   también disfruta de la propiedad singularmente definitoria que   es convexa , que justifica estéticamente esta continuación analítica de la función factorial sobre cualquier otra continuación analítica. Al tema Lejeune Dirichlet ha aportado un importante teorema (Liouville, 1839), que ha sido elaborado por Liouville , Catalan , Leslie Ellis y otros. Raabe (1843-1844), Bauer (1859) y Gudermann (1845) han escrito sobre la evaluación de y . La gran mesa de Legendre apareció en 1816.

Aplicaciones

La aplicación del cálculo infinitesimal a problemas de física y astronomía fue contemporánea al origen de la ciencia. A lo largo del siglo XVIII, estas aplicaciones se multiplicaron, hasta que, en su cierre, Laplace y Lagrange llevaron toda la gama del estudio de las fuerzas al ámbito del análisis. A Lagrange (1773) le debemos la introducción de la teoría del potencial en la dinámica, aunque el nombre " función potencial " y la memoria fundamental del sujeto se deben a Green (1827, impreso en 1828). El nombre " potencial " se debe a Gauss (1840), y la distinción entre función potencial y potencial a Clausius . Con su desarrollo están conectados los nombres de Lejeune Dirichlet , Riemann , von Neumann , Heine , Kronecker , Lipschitz , Christoffel , Kirchhoff , Beltrami y muchos de los principales físicos del siglo.

Es imposible en este lugar entrar en la gran variedad de otras aplicaciones del análisis a los problemas físicos. Entre ellos se encuentran las investigaciones de Euler sobre acordes vibrantes; Sophie Germain sobre membranas elásticas; Poisson, Lamé , Saint-Venant y Clebsch sobre la elasticidad de los cuerpos tridimensionales; Fourier sobre difusión de calor ; Fresnel a la luz ; Maxwell , Helmholtz y Hertz sobre electricidad ; Hansen, Hill y Gyldén sobre astronomía ; Maxwell sobre armónicos esféricos ; Lord Rayleigh sobre acústica ; y las contribuciones de Lejeune Dirichlet, Weber , Kirchhoff , F. Neumann , Lord Kelvin , Clausius , Bjerknes , MacCullagh y Fuhrmann a la física en general. Cabe mencionar especialmente la labor de Helmholtz, ya que contribuyó a las teorías de la dinámica, la electricidad, etc., y aplicó sus grandes poderes analíticos a los axiomas fundamentales de la mecánica, así como a los de la matemática pura.

Además, el cálculo infinitesimal se introdujo en las ciencias sociales, comenzando con la economía neoclásica . Hoy en día, es una herramienta valiosa en la economía convencional.

Ver también

Notas

Otras lecturas

enlaces externos