Topología diferencial - Differential topology

En matemáticas , la topología diferencial es el campo que se ocupa de las propiedades topológicas y las propiedades suaves de las variedades suaves . En este sentido, la topología diferencial es distinta del campo estrechamente relacionado de la geometría diferencial , que concierne a las propiedades geométricas de las variedades suaves, incluidas las nociones de tamaño, distancia y forma rígida. En comparación, la topología diferencial se ocupa de propiedades más burdas, como el número de huecos en una variedad, su tipo de homotopía o la topología de su grupo de difeomorfismos . Debido a que muchas de estas propiedades más generales pueden capturarse algebraicamente , la topología diferencial tiene fuertes vínculos con la topología algebraica .

La teoría de Morse de la función de altura en un toro puede describir su tipo de homotopía .

El objetivo central del campo de la topología diferencial es la clasificación de todas las variedades suaves hasta el difeomorfismo . Dado que la dimensión es un invariante de variedades suaves hasta el tipo de difeomorfismo, esta clasificación se estudia a menudo clasificando las variedades ( conectadas ) en cada dimensión por separado:

• En la dimensión 1, las únicas variedades suaves hasta el difeomorfismo son el círculo , la recta numérica real , y permitiendo un límite , el intervalo medio cerrado y el intervalo completamente cerrado .${\ Displaystyle [0,1)}$${\ Displaystyle [0,1]}$
• En la dimensión 2, cada superficie cerrada se clasifica hasta el difeomorfismo por su género , el número de agujeros (o equivalentemente su característica de Euler ) y si es orientable o no . Esta es la famosa clasificación de superficies cerradas . Ya en la dimensión dos se dificulta la clasificación de superficies no compactas , debido a la existencia de espacios exóticos como la escalera de Jacob .
• En dimensión 3, William Thurston 's conjetura de geometrización , probado por Grigori Perelman , da una clasificación parcial de compactos tres colectores. Incluida en este teorema está la conjetura de Poincaré , que establece que cualquier triple variedad cerrada y simplemente conectada es homeomorfa (y de hecho difeomórfica) a la 3-esfera .

Un cobordismo ( W ; M , N ), que generaliza la noción de difeomorfismo.

A partir de la dimensión 4, la clasificación se vuelve mucho más difícil por dos razones. En primer lugar, cada grupo presentado de forma finita aparece como el grupo fundamental de alguna variedad 4 , y dado que el grupo fundamental es un invariante de difeomorfismo, esto hace que la clasificación de las variedades 4 al menos sea tan difícil como la clasificación de los grupos presentados de forma finita. Por el problema de palabras para grupos , que es equivalente al problema de detención , es imposible clasificar tales grupos, por lo que una clasificación topológica completa es imposible. En segundo lugar, a partir de la dimensión cuatro es posible tener variedades suaves que sean homeomórficas, pero con estructuras lisas distintas y no difeomórficas . Esto es cierto incluso para el espacio euclidiano , que admite muchas estructuras exóticas . Esto significa que el estudio de la topología diferencial en dimensiones 4 y superiores debe utilizar herramientas genuinamente fuera del ámbito de la topología continua regular de variedades topológicas . Uno de los problemas centrales abiertos en la topología diferencial es la conjetura de Poincaré suave de cuatro dimensiones , que pregunta si cada variedad de 4 suaves que es homeomorfa a la 4-esfera también es difeomórfica para ella. Es decir, ¿las 4 esferas admiten más de una estructura suave ? Esta conjetura es cierta en las dimensiones 1, 2 y 3, según los resultados de la clasificación anterior, pero se sabe que es falsa en la dimensión 7 debido a las esferas de Milnor . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Las herramientas importantes en el estudio de la topología diferencial de variedades suaves incluyen la construcción de invariantes topológicos suaves de tales variedades, como la cohomología de Rham o la forma de intersección , así como construcciones topológicas suavizables, como la teoría de la cirugía suave o la construcción de cobordismos . La teoría de Morse es una herramienta importante que estudia variedades suaves al considerar los puntos críticos de funciones diferenciables en la variedad, demostrando cómo la estructura suave de la variedad entra en el conjunto de herramientas disponibles. A menudo, se pueden usar técnicas más geométricas o analíticas, equipando una variedad suave con una métrica de Riemann o estudiando una ecuación diferencial en ella. Se debe tener cuidado para garantizar que la información resultante sea insensible a esta elección de estructura adicional y, por lo tanto, refleje genuinamente solo las propiedades topológicas de la variedad suave subyacente. Por ejemplo, el teorema de Hodge proporciona una interpretación geométrica y analítica de la cohomología de De Rham, y Simon Donaldson utilizó la teoría gauge para probar hechos sobre la forma de intersección de 4 variedades simplemente conectadas. En algunos casos pueden aparecer técnicas de la física contemporánea , como la teoría de campos cuánticos topológicos , que pueden utilizarse para calcular invariantes topológicas de espacios lisos.

Los teoremas famosos en topología diferencial incluyen el teorema de inclusión de Whitney , el teorema de la bola peluda , el teorema de Hopf , el teorema de Poincaré-Hopf , el teorema de Donaldson y la conjetura de Poincaré .

Descripción

La topología diferencial considera las propiedades y estructuras que solo requieren una estructura suave en una variedad para ser definidas. Los colectores lisos son 'más suaves' que los colectores con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave; es decir, uno puede "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero puede ser necesario distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.

Por otro lado, las variedades lisas son más rígidas que las variedades topológicas . John Milnor descubrió que algunas esferas tienen más de una estructura suave; consulte Esfera exótica y el teorema de Donaldson . Michel Kervaire exhibió variedades topológicas sin ninguna estructura lisa. Algunas construcciones de la teoría de la variedad suave, como la existencia de haces tangentes , se pueden realizar en el entorno topológico con mucho más trabajo, mientras que otras no.

Uno de los temas principales de la topología diferencial es el estudio de tipos especiales de asignaciones suaves entre variedades, a saber, inmersiones y sumersiones , y las intersecciones de subvariedades a través de la transversalidad . De manera más general, uno está interesado en las propiedades e invariantes de las variedades suaves que son transmitidas por difeomorfismos , otro tipo especial de mapeo suave. La teoría de Morse es otra rama de la topología diferencial, en la que la información topológica sobre una variedad se deduce de los cambios en el rango del jacobiano de una función.

Para obtener una lista de temas de topología diferencial, consulte la siguiente referencia: Lista de temas de geometría diferencial .

Topología diferencial versus geometría diferencial

La topología diferencial y la geometría diferencial se caracterizan primero por su similitud . Ambos estudian principalmente las propiedades de variedades diferenciables, a veces con una variedad de estructuras impuestas.

Animación de una taza de café transformándose en forma de rosquilla

Una diferencia importante radica en la naturaleza de los problemas que cada tema intenta abordar. Desde un punto de vista, la topología diferencial se distingue de la geometría diferencial al estudiar principalmente aquellos problemas que son inherentemente globales . Considere el ejemplo de una taza de café y una dona. Desde el punto de vista de la topología diferencial, la rosquilla y la taza de café son iguales (en cierto sentido). Sin embargo, esta es una visión inherentemente global, porque no hay forma de que el topólogo diferencial pueda decir si los dos objetos son iguales (en este sentido) mirando solo una pequeña parte ( local ) de cualquiera de ellos. Deben tener acceso a cada objeto completo ( global ).

Desde el punto de vista de la geometría diferencial, la taza de café y la rosquilla son diferentes porque es imposible rotar la taza de café de tal manera que su configuración coincida con la de la rosquilla. Esta es también una forma global de pensar sobre el problema. Pero una distinción importante es que el geómetro no necesita todo el objeto para decidir esto. Al mirar, por ejemplo, solo una pequeña parte del asa, pueden decidir que la taza de café es diferente de la rosquilla porque el asa es más delgada (o más curva) que cualquier parte de la rosquilla.

Para decirlo de manera sucinta, la topología diferencial estudia estructuras en variedades que, en cierto sentido, no tienen una estructura local interesante. La geometría diferencial estudia estructuras en variedades que tienen una estructura local interesante (o incluso a veces infinitesimal).

Más matemáticamente, por ejemplo, el problema de construir un difeomorfismo entre dos variedades de la misma dimensión es inherentemente global, ya que localmente dos de esas variedades son siempre difeomórficas. Asimismo, el problema de calcular una cantidad en una variedad que es invariante bajo mapeos diferenciables es inherentemente global, ya que cualquier invariante local será trivial en el sentido de que ya se exhibe en la topología de . Además, la topología diferencial no se limita necesariamente al estudio del difeomorfismo. Por ejemplo, la topología simpléctica —una subrama de la topología diferencial— estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas . La geometría diferencial se ocupa de problemas, que pueden ser locales o globales, que siempre tienen algunas propiedades locales no triviales. Así, la geometría diferencial puede estudiar variedades diferenciables equipadas con una conexión , una métrica (que puede ser riemanniana , pseudo-riemanniana o Finsler ), un tipo especial de distribución (como una estructura CR ), etc. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Esta distinción entre geometría diferencial y topología diferencial se difumina, sin embargo, en cuestiones que pertenecen específicamente a los invariantes de difeomorfismo local, como el espacio tangente en un punto. La topología diferencial también se ocupa de cuestiones como estas, que pertenecen específicamente a las propiedades de los mapeos diferenciables en (por ejemplo, el haz tangente , los haces de chorro , el teorema de la extensión de Whitney , etc.). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

La distinción es concisa en términos abstractos:

• La topología diferencial es el estudio de las propiedades (infinitesimales, locales y globales) de estructuras en variedades que solo tienen módulos locales triviales .
• La geometría diferencial es un estudio de estructuras en variedades que tienen uno o más módulos locales no triviales .

Ver también

• Lista de temas de geometría diferencial
• Glosario de topología y geometría diferencial
• Publicaciones importantes en geometría diferencial
• Publicaciones importantes en topología diferencial
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo

Notas

Referencias

• Bloch, Ethan D. (1996). Primer Curso de Topología Geométrica y Geometría Diferencial . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3840-5.
• Hirsch, Morris (1997). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
• Lashof, Richard (diciembre de 1972). "El paquete tangente de un colector topológico". American Mathematical Monthly . 79 (10): 1090–1096. doi : 10.2307 / 2317423 . JSTOR  2317423 .
• Kervaire, Michel A. (diciembre de 1960). "Una variedad que no admite ninguna estructura diferenciable". Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. doi : 10.1007 / BF02565940 .

enlaces externos

• "Topología diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]