Familias de soluciones a ecuaciones diferenciales relacionadas
Las funciones de Bessel son la parte radial de los modos de vibración de un tambor circular.
Las funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel
para un número complejo arbitrario α , el orden de la función de Bessel. Aunque α y - α producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel sean en su mayoría funciones suaves de α .
Los casos más importantes son cuando α es un número entero o medio entero . Las funciones de Bessel para el entero α también se conocen como funciones de cilindro o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas . Las funciones esféricas de Bessel con medio entero α se obtienen cuando la ecuación de Helmholtz se resuelve en coordenadas esféricas .
Aplicaciones de las funciones de Bessel
La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( α = n ); en problemas esféricos, se obtienen órdenes de medio entero ( α = n +
1/2). Por ejemplo:
Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, como el procesamiento de señales (p. Ej., Consulte la síntesis de FM , la ventana de Kaiser o el filtro de Bessel ).
Definiciones
Debido a que esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, resultan convenientes varias formulaciones de estas soluciones. Las diferentes variaciones se resumen en la tabla siguiente y se describen en las siguientes secciones.
Las funciones de Bessel del segundo tipo y las funciones esféricas de Bessel del segundo tipo a veces se denotan por N n y n n , respectivamente, en lugar de Y n e y n .
Funciones de Bessel del primer tipo: J α
Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas como J α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entero o positivo , las funciones de Bessel del primer tipo son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero , las funciones de Bessel del primer tipo divergen cuando x se acerca a cero. Es posible definir la función por su expansión en serie alrededor de x = 0 , que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel:
donde Γ ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. La función de Bessel del primer tipo es una función completa si α es un número entero; de lo contrario, es una función multivalor con singularidad en cero. Las gráficas de las funciones de Bessel se parecen más o menos a funciones de seno o coseno oscilantes que decaen proporcionalmente a (ver también sus formas asintóticas a continuación), aunque sus raíces no son generalmente periódicas, excepto asintóticamente para x grande . (La serie indica que - J 1 ( x ) es la derivada de J 0 ( x ) , al igual que −sin x es la derivada de cos x ; de manera más general, la derivada de J n ( x ) se puede expresar en términos de J n ± 1 ( x ) por las identidades siguientes .)
Gráfico de la función de Bessel del primer tipo,
J α ( x ) , para órdenes enteros
α = 0, 1, 2
Para α no entero , las funciones J α ( x ) y J - α ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para el orden de números enteros n , la siguiente relación es válida (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los números enteros no positivos):
Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente resulta ser la función de Bessel del segundo tipo, como se analiza a continuación.
Integrales de Bessel
Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible usando una representación integral:
Este fue el enfoque que utilizó Bessel, y de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re ( x )> 0 :
Relación con las series hipergeométricas
Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la serie hipergeométrica generalizada como
Esta expresión está relacionada con el desarrollo de las funciones de Bessel en términos de la función de Bessel-Clifford .
Relación con los polinomios de Laguerre
En términos de los polinomios de Laguerre L k y el parámetro t elegido arbitrariamente , la función de Bessel se puede expresar como
Funciones de Bessel del segundo tipo: Y α
Las funciones de Bessel del segundo tipo, denotadas por Y α ( x ) , ocasionalmente denotadas en su lugar por N α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que tienen una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivalores . A veces se denominan funciones de Weber , ya que fueron introducidas por HM Weber ( 1873 ), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann .
Gráfico de la función de Bessel de segundo tipo,
Y α ( x ) , para órdenes enteros
α = 0, 1, 2
Para α no entero , Y α ( x ) está relacionado con J α ( x ) por
En el caso del orden entero n , la función se define tomando el límite como un no entero que α tiende an :
Si n es un número entero no negativo, tenemos la serie
donde es la función digamma , la derivada logarítmica de la función gamma .
También hay una fórmula integral correspondiente (para Re ( x )> 0 ):
Y α ( x ) es necesaria como la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un número entero. Pero Y α ( x ) tiene más significado que eso. Puede considerarse como un socio "natural" de J α ( x ) . Consulte también la subsección sobre funciones de Hankel a continuación.
Cuando α es un número entero, además, como sucedió de manera similar para las funciones del primer tipo, la siguiente relación es válida:
Tanto J α ( x ) como Y α ( x ) son funciones holomórficas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un número entero, las funciones de Bessel J son funciones completas de x . Si x se mantiene fija en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones completas de α .
Las funciones de Bessel del segundo tipo cuando α es un número entero es un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .
Funciones de Hankel: H(1)
α, H(2)
α
Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H(1)
α( x ) y H(2)
α( x ) , definido como
donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel del tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Llevan el nombre de Hermann Hankel .
Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa la aparición de un factor de la forma e i f (x) . En el caso de los reales donde , se valoran en términos reales, las funciones de Bessel de primer y segundo tipo son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por lo tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H(1)
α( x ) , H(2)
α( X ) para y , para , como se muestra explícitamente en la expansión asintótica .
Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).
Usando las relaciones anteriores, se pueden expresar como
Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, sea α un número entero o no:
En particular, si α = m +1/2con m un entero no negativo, las relaciones anteriores implican directamente que
Estos son útiles para desarrollar las funciones esféricas de Bessel (ver más abajo).
Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re ( x )> 0 :
donde los límites de integración indican la integración a lo largo de un contorno que se puede elegir de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± πi a lo largo del eje imaginario, y de ± πi a + ∞ ± πi a lo largo de un contorno paralelo al eje real.
Funciones de Bessel modificadas: I α , K α
Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (u ocasionalmente funciones de Bessel hiperbólicas ) de primer y segundo tipo y se definen como
cuando α no es un número entero; cuando α es un número entero, se usa el límite. Estos se eligen para tener un valor real para los argumentos reales y positivos x . La expansión en serie para I α ( x ) es, por tanto, similar a la de J α ( x ) , pero sin el factor m alterno (−1) .
se puede expresar en términos de funciones de Hankel:
Podemos expresar la primera y segunda funciones de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (estas son válidas si - π <arg z ≤π/2):
I α ( x ) y K α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada :
A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I α y K α son funciones de crecimiento y decrecimiento exponencial , respectivamente. Como la función de Bessel ordinaria J α , la función I α va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0 . De manera análoga, K α diverge en x = 0 siendo la singularidad de tipo logarítmico para K 0 , y ½Γ (| α |) (2 / x ) | α | de lo contrario.
Funciones de Bessel modificadas del primer tipo, I α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3
|
Funciones de Bessel modificadas del segundo tipo, K α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3
|
Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re ( x )> 0 ):
Las funciones de Bessel se pueden describir como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo:
Se puede probar mostrando igualdad con la definición integral anterior para K 0 . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.
Las funciones de Bessel modificadas K 1/3 y K 2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes
La función de Bessel modificada del segundo tipo también ha sido llamada por los siguientes nombres (ahora raros):
Funciones esféricas de Bessel: j n , y n
Funciones esféricas de Bessel del primer tipo,
j n ( x ) , para
n = 0, 1, 2
Funciones esféricas de Bessel del segundo tipo,
y n ( x ) , para
n = 0, 1, 2
Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma
Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel j n y y n , y están relacionadas con las funciones ordinarias de Bessel J n e Y n por
y n también se denota n n o η n ; algunos autores denominan a estas funciones funciones esféricas de Neumann .
Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como ( fórmulas de Rayleigh )
La función de Bessel esférica cero j 0 ( x ) también se conoce como función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones esféricas de Bessel son:
y
Función generadora
Las funciones esféricas de Bessel tienen las funciones generadoras
Relaciones diferenciales
En lo siguiente, f n es cualquiera de j n , y n , h(1)
n, h(2)
npara n = 0, ± 1, ± 2, ...
Funciones esféricas de Hankel: h(1)
n, h(2)
n
También hay análogos esféricos de las funciones de Hankel:
De hecho, existen expresiones simples de forma cerrada para las funciones de Bessel de orden medio entero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones esféricas de Bessel. En particular, para enteros no negativos n :
y h(2)
nes el complejo conjugado de esto (para x real ). De ello se deduce, por ejemplo, que j 0 ( x ) =pecado x/Xy y 0 ( x ) = -cos x/X, etcétera.
Las funciones esféricas de Hankel aparecen en problemas que involucran la propagación de ondas esféricas , por ejemplo en la expansión multipolar del campo electromagnético .
Funciones de Riccati-Bessel: S n , C n , ξ n , ζ n
Las funciones de Riccati- Bessel solo difieren ligeramente de las funciones esféricas de Bessel:
Satisfacen la ecuación diferencial
Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en la mecánica cuántica al resolver el componente radial de la ecuación de Schrödinger con una hipotética barrera de potencial infinito cilíndrico. Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surge en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) para conocer los desarrollos y referencias recientes.
Siguiendo a Debye (1909), a veces se utiliza la notación ψ n , χ n en lugar de S n , C n .
Formas asintóticas
Las funciones de Bessel tienen las siguientes formas asintóticas . Para argumentos pequeños 0 < z ≪ √ α + 1 , se obtiene, cuando α no es un entero negativo:
Cuando α es un número entero negativo, tenemos
Para la función de Bessel del segundo tipo tenemos tres casos:
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni (0,5772 ...).
Para grandes argumentos reales z ≫ | α 2 -1/4| , no se puede escribir una forma asintótica verdadera para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (a menos que α sea medio entero ) porque tienen ceros hasta el infinito, lo que tendría que coincidir exactamente con cualquier expansión asintótica. Sin embargo, para un valor dado de arg z, se puede escribir una ecuación que contenga un término de orden | z | −1 :
(Para α =1/2los últimos términos de estas fórmulas se eliminan por completo; ver las funciones esféricas de Bessel más arriba.) Aunque estas ecuaciones son verdaderas, pueden estar disponibles mejores aproximaciones para el complejo z . Por ejemplo, J 0 ( z ) cuando z está cerca de la línea real negativa se aproxima mejor por
que por
Las formas asintóticas de las funciones de Hankel son:
Estos pueden extenderse a otros valores de arg z usando ecuaciones que relacionan H(1)
α( ze im π ) y H(2)
α( ze im π ) a H(1)
α( z ) y H(2)
α( z ) .
Es interesante que aunque la función de Bessel del primer tipo es el promedio de las dos funciones de Hankel, J α ( z ) no es asintótica con el promedio de estas dos formas asintóticas cuando z es negativo (porque una u otra no será correcto allí, dependiendo del arg z usado). Pero las formas asintóticas de las funciones de Hankel nos permiten escribir formas asintóticas para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo para z complejos (no reales) siempre que | z | va al infinito en un ángulo de fase constante arg z (usando la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva):
Para las funciones de Bessel modificadas, Hankel también desarrolló expansiones asintóticas (argumentos grandes) :
También existe la forma asintótica (para grandes reales )
Cuando α =1/2, todos los términos excepto el primero desaparecen, y tenemos
Para pequeños argumentos 0 <| z | ≪ √ α + 1 , tenemos
Aproximaciones de dominio completo con funciones elementales
Se puede obtener una muy buena aproximación (error por debajo del valor máximo 1) de la función de Bessel para un valor arbitrario del argumento x con las funciones elementales uniendo la aproximación trigonométrica que trabaja para valores más pequeños de x con la expresión que contiene la función coseno atenuada válido para argumentos grandes con el uso de la función de transición suave, es decir
Propiedades
Para el orden entero α = n , J n a menudo se define a través de una serie de Laurent para una función generadora:
un enfoque utilizado por PA Hansen en 1843. (Esto se puede generalizar a un orden no entero mediante la integración de contorno u otros métodos). Otra relación importante para los órdenes enteros es la expansión Jacobi-Anger :
y
que se utiliza para expandir una onda plana como una suma de ondas cilíndricas , o para encontrar la serie de Fourier de una señal de FM modulada por tono .
De manera más general, una serie
se llama expansión de Neumann de f . Los coeficientes para ν = 0 tienen la forma explícita
donde O k es el polinomio de Neumann .
Las funciones seleccionadas admiten la representación especial
con
debido a la relación de ortogonalidad
De manera más general, si f tiene un punto de ramificación cerca del origen de tal naturaleza que
luego
o
donde es la transformada de Laplace de f .
Otra forma de definir las funciones de Bessel es la fórmula de representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:
donde ν> -1/2y z ∈ C . Esta fórmula es útil especialmente cuando se trabaja con transformadas de Fourier .
Debido a que la ecuación de Bessel se vuelve hermitiana (autoadjunta) si se divide por x , las soluciones deben satisfacer una relación de ortogonalidad para las condiciones de contorno adecuadas. En particular, se deduce que:
donde α > −1 , δ m , n es el delta de Kronecker y u α , m es el m- ésimo cero de J α ( x ) . Esta relación de ortogonalidad se puede utilizar para extraer los coeficientes en la serie de Fourier-Bessel , donde una función se expande en la base de las funciones J α ( x u α , m ) para α fijo y m variable .
Una relación análoga para las funciones esféricas de Bessel sigue inmediatamente:
Si uno define una función de vagón de x que depende de un pequeño parámetro ε como:
(donde rect es la función del rectángulo ) entonces la transformada de Hankel de la misma (de cualquier orden dado α > -1/2), g ε ( k ) , se acerca a J α ( k ) cuando ε se acerca a cero, para cualquier k dado . Por el contrario, la transformada de Hankel (del mismo orden) de g ε ( k ) es f ε ( x ) :
que es cero en todas partes excepto cerca de 1. Cuando ε se acerca a cero, el lado derecho se acerca a δ ( x - 1) , donde δ es la función delta de Dirac . Esto admite el límite (en el sentido distributivo ):
Luego, un cambio de variables produce la ecuación de cierre :
para α > -1/2. La transformada de Hankel puede expresar una función bastante arbitraria como una integral de funciones de Bessel de diferentes escalas. Para las funciones esféricas de Bessel, la relación de ortogonalidad es:
para α > −1 .
Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel , involucra al Wronskiano de las soluciones:
donde A α y B α son dos soluciones cualesquiera de la ecuación de Bessel, y C α es una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel particulares consideradas). En particular,
y
para α > −1 .
Para α > −1 , la función par completa del género 1, x - α J α ( x ) , solo tiene ceros reales. Dejar
sean todos sus ceros positivos, entonces
(Hay una gran cantidad de otras integrales e identidades conocidas que no se reproducen aquí, pero que se pueden encontrar en las referencias).
Relaciones de recurrencia
Las funciones J α , Y α , H(1)
αy H(2)
αtodos satisfacen las relaciones de recurrencia
y
donde Z denota J , Y , H (1) o H (2) . Estas dos identidades a menudo se combinan, por ejemplo, se suman o se restan, para producir otras relaciones. De esta manera, por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de órdenes superiores (o derivadas superiores) dados los valores en órdenes inferiores (o derivadas inferiores). En particular, se sigue que
Las funciones de Bessel modificadas siguen relaciones similares:
y
y
La relación de recurrencia dice
donde C α denota I α o e αi π K α . Estas relaciones de recurrencia son útiles para problemas de difusión discretos.
Teorema de multiplicación
Las funciones de Bessel obedecen a un teorema de multiplicación
donde λ y ν pueden tomarse como números complejos arbitrarios. Para | λ 2 - 1 | <1 , la expresión anterior también se cumple si J se sustituye por Y . Las identidades análogas para funciones de Bessel modificadas y | λ 2 - 1 | <1 son
y
Ceros de la función de Bessel
Hipótesis de Bourget
El propio Bessel demostró originalmente que para enteros no negativos n , la ecuación J n ( x ) = 0 tiene un número infinito de soluciones en x . Sin embargo, cuando las funciones J n ( x ) se trazan en el mismo gráfico, ninguno de los ceros parece coincidir para diferentes valores de n excepto el cero en x = 0 . Este fenómeno se conoce como hipótesis de Bourget por el matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. Específicamente establece que para cualquier número entero n ≥ 0 y m ≥ 1 , las funciones J n ( x ) y J n + m ( x ) no tienen ceros comunes distintos del que está en x = 0 . La hipótesis fue probada por Carl Ludwig Siegel en 1929.
Enfoques numéricos
Para estudios numéricos sobre los ceros de la función de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) y Moler (2004) .
Ver también
Notas
Referencias
-
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 9" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 . Consulte también el capítulo 10 .
-
Arfken, George B. y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , sexta edición (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0 .
- Bowman, Frank Introducción a las funciones de Bessel (Dover: Nueva York, 1958). ISBN 0-486-60462-4 .
-
Mie, G. (1908). "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen" . Annalen der Physik . 25 (3): 377. Código Bibliográfico : 1908AnP ... 330..377M . doi : 10.1002 / y p.19083300302 .
-
Olver, FWJ ; Maximon, LC (2010), "Función de Bessel" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
-
Presione, WH ; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.5. Funciones de Bessel de orden de enteros" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.
- B España, MG Smith, Funciones de la física matemática , Van Nostrand Reinhold Company, Londres, 1970. El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel.
- NM Temme, Funciones especiales. Introducción a las funciones clásicas de la física matemática , John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel.
-
Watson, GN , Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel, segunda edición , (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3 .
-
Weber, H. (1873), "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen", Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi : 10.1007 / BF01443190 , S2CID 122409461.
-
Gil, A .; Segura, J .; Temme, Nuevo México (2007). Métodos numéricos para funciones especiales . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.
-
Kravanja, P .; Ragos, O .; Vrahatis, MN; Zafiropoulos, FA (1998), "ZEBEC: Un paquete de software matemático para calcular ceros simples de funciones de Bessel de orden real y argumento complejo", Computer Physics Communications , 113 (2-3): 220-238, Bibcode : 1998CoPhC.113. .220K , doi : 10.1016 / S0010-4655 (98) 00064-2.
enlaces externos
-
Lizorkin, PI (2001) [1994], "Funciones de Bessel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
-
Karmazina, LN; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función del cilindro" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press.
-
Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Bessel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Páginas de funciones de Wolfram sobre las funciones de Bessel J e Y , y funciones de Bessel I y K modificadas . Las páginas incluyen fórmulas, evaluadores de funciones y calculadoras de trazado.
-
Wolfram Mathworld - Funciones de Bessel del primer tipo .
- Funciones de Bessel J ν , Y ν , I ν y K ν en el manual de funciones Librow .
- FWJ Olver, LC Maximon, Funciones de Bessel (capítulo 10 de la Biblioteca digital de funciones matemáticas).
-
Moler, CB (2004). Computación numérica con MATLAB (PDF) . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. Archivado desde el original (PDF) el 8 de agosto de 2017.