Cociente de diferencias - Difference quotient

En el cálculo de una sola variable , el cociente de diferencias suele ser el nombre de la expresión

${\ Displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

que cuando se lleva al límite cuando h tiende a 0 da la derivada de la función f . El nombre de la expresión proviene del hecho de que es el cociente de la diferencia de valores de la función por la diferencia de los valores correspondientes de su argumento (este último es ( x + h ) - x = h en este caso). El cociente de diferencias es una medida de la tasa de cambio promedio de la función durante un intervalo (en este caso, un intervalo de longitud h ). El límite del cociente de diferencias (es decir, la derivada) es, por tanto, la tasa de cambio instantánea .

Por un ligero cambio en la notación (y el punto de vista), para un intervalo [ a , b ], el cociente de diferencias

${\ Displaystyle {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$

se denomina valor medio (o promedio) de la derivada de f en el intervalo [ a , b ]. Este nombre está justificado por el teorema del valor medio , que establece que para una función diferenciable f , su derivada f ′ alcanza su valor medio en algún punto del intervalo. Geométricamente, este cociente de diferencias mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos con coordenadas ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )).

Los cocientes de diferencia se utilizan como aproximaciones en la diferenciación numérica , pero también han sido objeto de críticas en esta aplicación.

El cociente de diferencias a veces también se denomina cociente de Newton (después de Isaac Newton ) o cociente de diferencias de Fermat (después de Pierre de Fermat ).

Descripción general

La noción típica de cociente de diferencias discutida anteriormente es un caso particular de un concepto más general. El vehículo principal del cálculo y otras matemáticas superiores es la función . Su "valor de entrada" es su argumento , generalmente un punto ("P") expresable en un gráfico. La diferencia entre dos puntos, en sí mismos, se conoce como su Delta (Δ P ), al igual que la diferencia en el resultado de su función, la notación particular está determinada por la dirección de formación:

• Diferencia hacia adelante: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) - F ( P );
• Diferencia central: δF (P) = F (P + ½ΔP) - F (P - ½ΔP);
• Diferencia hacia atrás: ∇F (P) = F (P) - F (P - ΔP).

La preferencia general es la orientación hacia adelante, ya que F (P) es la base, a la que se le añaden diferencias (es decir, "ΔP" s). Además,

• Si | ΔP | es finito (que significa medible), entonces ΔF (P) se conoce como una diferencia finita , con denotaciones específicas de DP y DF (P);
• Si | ΔP | es infinitesimal (una cantidad infinitamente pequeña, normalmente expresada en el análisis estándar como un límite ), entonces ΔF (P) se conoce como una diferencia infinitesimal , con denotaciones específicas de dP y dF (P) (en las gráficas de cálculo, el punto es casi exclusivamente identificado como "x" y F (x) como "y").${\ Displaystyle \ iota}$${\ Displaystyle \ lim _ {\ Delta P \ rightarrow 0} \, \!}$

La diferencia de función dividida por la diferencia de puntos se conoce como "cociente de diferencia":

${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {F (P + \ Delta P) -F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {\ nabla F (P + \ Delta P)} {\ Delta P}}. \, \!}$

Si ΔP es infinitesimal, entonces el cociente de diferencias es una derivada ; de lo contrario, es una diferencia dividida :

${\ Displaystyle {\ text {If}} | \ Delta P | = {\ mathit {\ iota}}: \ quad {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {dF (P)} {dP}} = F '(P) = G (P); \, \!}$

${\ Displaystyle {\ text {If}} | \ Delta P |> {\ mathit {\ iota}}: \ quad {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {DF (P)} {DP}} = F [P, P + \ Delta P]. \, \!}$

Definición del rango de puntos

Independientemente de si ΔP es infinitesimal o finito, existe (al menos, en el caso de la derivada, teóricamente) un rango de puntos, donde los límites son P ± (0.5) ΔP (dependiendo de la orientación: ΔF (P), δF ( P) o ∇F (P)):

LB = límite inferior; UB = límite superior;

Los derivados pueden considerarse funciones en sí mismos, que albergan sus propios derivados. Por tanto, cada función alberga grados secuenciales ("órdenes superiores") de derivación o diferenciación . Esta propiedad se puede generalizar a todos los cocientes de diferencias.
Como esta secuencia requiere una división de límites correspondiente, es práctico dividir el rango de puntos en secciones más pequeñas y de igual tamaño, con cada sección marcada por un punto intermedio ( P _i ), donde LB = P ₀ y UB = P _ń , el n- ésimo punto, igual al grado / orden:

  LB =  P0  = P0 + 0Δ1P     = Pń − (Ń-0)Δ1P;
        P1  = P0 + 1Δ1P     = Pń − (Ń-1)Δ1P;
        P2  = P0 + 2Δ1P     = Pń − (Ń-2)Δ1P;
        P3  = P0 + 3Δ1P     = Pń − (Ń-3)Δ1P;
            ↓      ↓        ↓       ↓
       Pń-3 = P0 + (Ń-3)Δ1P = Pń − 3Δ1P;
       Pń-2 = P0 + (Ń-2)Δ1P = Pń − 2Δ1P;
       Pń-1 = P0 + (Ń-1)Δ1P = Pń − 1Δ1P;
  UB = Pń-0 = P0 + (Ń-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

  ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1;

  ΔB = UB − LB = Pń − P0 = ΔńP = ŃΔ1P.

El cociente de diferencia principal ( Ń = 1)

${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta P}} = {\ frac {F (P _ {\ aguda {n}}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {\ aguda {n}} P}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}. \, \!}$

Como un derivado

El cociente de diferencias como derivada no necesita explicación, aparte de señalar que, dado que P ₀ es esencialmente igual a P ₁ = P ₂ = ... = P _ñ (ya que las diferencias son infinitesimales), la notación de Leibniz y las expresiones derivadas no lo hacen. distinguir P ​​a P ₀ o P _ń :

${\ Displaystyle {\ frac {dF (P)} {dP}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP}} = F '(P) = G ( PAG).\,\!}$

Hay otras notaciones derivadas , pero estas son las designaciones estándar más reconocidas.

Como una diferencia dividida

Sin embargo, una diferencia dividida requiere una mayor aclaración, ya que es igual a la derivada promedio entre LB y UB, inclusive:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} P _ {(tn)} & = LB + {\ frac {TN-1} {UT-1}} \ Delta B \ = UB - {\ frac {UT-TN} {UT- 1}} \ Delta B; \\ [10pt] & {} \ qquad {\ color {blanco}.} (P _ {(1)} = LB, \ P _ {(ut)} = UB) {\ color {blanco }.} \\ [10pt] F '(P _ {\ tilde {a}}) & = F' (LB <P <UB) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}. \ End {alineado}}}$

En esta interpretación, P _ã representa una función extraída, el valor promedio de P (rango medio, pero generalmente no exactamente el punto medio), la valoración particular depende del promedio de la función de la que se extrae. Más formalmente, P _ã se encuentra en el teorema del cálculo del valor medio , que dice:

Para cualquier función que sea continua en [LB, UB] y diferenciable en (LB, UB) existe algo de P _ã en el intervalo (LB, UB) tal que la secante que une los puntos finales del intervalo [LB, UB] es paralela a la tangente en P _ã .

Esencialmente, P _ã denota algún valor de P entre LB y UB, por lo tanto,

${\ Displaystyle P _ {\ tilde {a}}: = LB <P <UB = P_ {0} <P <P _ {\ aguda {n}} \, \!}$

que vincula el resultado del valor medio con la diferencia dividida:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {DF (P_ {0})} {DP}} & = F [P_ {0}, P_ {1}] = {\ frac {F (P_ {1} ) -F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}} = F '(P_ {0} <P <P_ {1}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [8pt] & = {\ frac {DF (LB)} {DB}} = {\ frac {\ Delta F (LB)} {\ Delta B}} = {\ frac {\ nabla F (UB)} {\ Delta B}}, \\ [8pt] & = F [LB, UB] = {\ frac {F (UB) -F (LB)} {UB-LB}}, \\ [8pt] & = F '(LB <P <UB) = G (LB <P <UB). \ End {alineado}}}$

Como no es, por su propia definición, una diferencia tangible entre LB / P ₀ y UB / P _ñ , la Leibniz y expresiones derivados no requiere bifurcación del argumento de la función.

Cocientes de diferencias de orden superior

Segundo orden

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ Delta ^ {2} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} & = {\ frac {\ Delta F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_ {2}) - F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0 })} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}; \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d ^ {2} F (P)} {dP ^ {2}}} & = {\ frac {dF '(P)} {dP}} = {\ frac {F '(P_ {1}) - F' (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = \ {\ frac {dG (P)} {dP}} = {\ frac {G (P_ {1}) - G (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P) = G '(P) = H (P) \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {D ^ {2} F (P_ {0})} {DP ^ {2}}} & = {\ frac {DF '(P_ {0})} { DP}} = {\ frac {F '(P_ {1} <P <P_ {2}) - F' (P_ {0} <P <P_ {1})} {P_ {1} -P_ {0} }}, \\ [10pt] & {\ color {blanco}.} \ Qquad \ neq {\ frac {F '(P_ {1}) - F' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}] = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P_ {0} <P <P_ {2} ) = \ sum _ {TN = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F '' (P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '(P_ {0} <P <P_ {2}) = H (P_ {0} <P <P_ {2}). \ End {alineado}}}$

Tercer orden

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ Delta ^ {3} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}} & = {\ frac {\ Delta ^ {2} F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} = {\ frac {\ Delta F' '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} { \ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_ {3}) - 2F (P_ {2}) + F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} - {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {3 }) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}}; \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d ^ {3} F (P)} {dP ^ {3}}} & = {\ frac {d ^ {2} F '(P)} {dP ^ {2}}} = {\ frac {dF '' (P)} {dP}} = {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {dP} }, \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {2} G (P)} {dP ^ {2}}} \ = {\ frac {dG '(P)} {dP}} \ = { \ frac {G '(P_ {1}) - G' (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] y {\ color {blanco}.} \ qquad \ qquad \ \ = {\ frac {dH (P)} {dP}} \ = {\ frac {H (P_ {1}) - H (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = {\ frac {G ( P_ {2}) - 2G (P_ {1}) + G (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {3}) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P) = G' '(P) = H' (P) = I (P); \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {D ^ {3} F (P_ {0})} {DP ^ {3}}} & = {\ frac {D ^ {2} F '(P_ { 0})} {DP ^ {2}}} = {\ frac {DF '' (P_ {0})} {DP}} = {\ frac {F '' (P_ {1} <P <P_ {3 }) - F '' (P_ {0} <P <P_ {2})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & {\ color {blanco}.} \ Qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \ neq {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F '(P_ {2} <P <P_ {3}) - F' (P_ {1} <P <P_ {2})} {P_ {1} -P_ {0}}} - {\ frac {F '(P_ {1} <P <P_ {2}) - F' (P_ {0} <P <P_ {1})} {P_ {1} - P_ {0}}}} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F '(P_ {2} <P <P_ {3}) - 2F' ( P_ {1} <P <P_ {2}) + F '(P_ {0} <P <P_ {1})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}] = {\ frac {F (P_ {3}) - 3F (P_ {2}) + 3F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P_ {0} < P <P_ {3}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '' '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '' (P_ {0} <P <P_ {3}) \ = H '(P_ {0} <P <P_ {3}) = I (P_ {0} <P <P_ {3}) . \ end {alineado}}}$

N º orden

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta ^ {\ aguda {n}} F (P_ {0}) & = F ^ {({\ aguda {n}} - 1)} (P_ {1}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 1)} (P_ {0}), \\ [10pt] & = {\ frac {F ^ {({\ aguda {n}} - 2)} (P_ {2}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 2)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ aguda { n}} - 2)} (P_ {1}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 2)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [ 10pt] & = {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {3}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} ( P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ qquad - {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P_ {1}) - F ^ {({\ aguda { n}} - 3)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = \ cdots \ end {alineado} }}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ Delta ^ {\ aguda {n}} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ aguda {n}}}} & = {\ frac {\ sum _ {I = 0} ^ {\ aguda {N}} {- 1 \ elija {\ aguda {N}} - I} {{\ aguda {N}} \ elija I} F ( P_ {0} + I \ Delta _ {1} P)} {\ Delta _ {1} P ^ {\ aguda {n}}}}; \\ [10pt] & {\ frac {\ nabla ^ {\ aguda {n}} F (P _ {\ aguda {n}})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ aguda {n}}}} \\ [10pt] & = {\ frac {\ sum _ {I = 0} ^ {\ aguda {N}} {- 1 \ elija I} {{\ aguda {N}} \ elija I} F (P _ {\ aguda {n}} - I \ Delta _ {1} P) } {\ Delta _ {1} P ^ {\ sharp {n}}}}; \ end {alineado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d ^ {\ aguda {n}} F (P_ {0})} {dP ^ {\ aguda {n}}}} & = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - 1} F '(P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 1}}} = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n} } -2} F '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 2}}} = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - 3} F ' '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ aguda {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ aguda {n}} - r} F ^ {( r)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ Agudo {n}} - r}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {{\ Agudo {n}} - 1 } G (P_ {0})} {dP ^ {{\ Agudo {n}} - 1}}} \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {{\ Agudo {n}} - 2} G '(P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - 3} G' '(P_ {0 })} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - r} G ^ {(r-1)} ( P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - r}}}, \\ [10pt] y {\ color {blanco}.} \ Qquad \ qquad \ qquad = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - 2} H (P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ agudo {n} } -3} H '(P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - r} H ^ {(r-2)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - r}}}, \\ & {\ color {blanco}.} \ Qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ = \ {\ frac {d ^ {{\ agudo {n}} - 3} I (P_ {0})} {dP ^ {{\ agudo {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ aguda { n}} - r} I ^ {(r-3)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ aguda {n}} - r}}}, \\ [10pt] & = F ^ {( {\ aguda {n}})} (P) = G ^ {({\ aguda {n}} - 1)} (P) = H ^ {({\ aguda {n}} - 2)} (P) = I ^ {({\ aguda {n}} - 3)} (P) = \ cdots \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {D ^ {\ aguda {n}} F (P_ {0})} {DP ^ {\ aguda {n}}}} & = F [P_ {0} , P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, \ ldots, P _ {{\ aguda {n}} - 3}, P _ {{\ aguda {n}} - 2}, P _ {{\ aguda {n}} - 1}, P _ {\ aguda {n}}], \\ [10pt] & = F ^ {({\ aguda {n}})} (P_ {0} <P <P _ {\ aguda {n}}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F ^ {({\ aguda {n}})} (P _ {(tn)})} {UT} } \\ [10pt] & = F ^ {({\ aguda {n}})} (LB <P <UB) = G ^ {({\ aguda {n}} - 1)} (LB <P <UB ) = \ cdots \ end {alineado}}}$

Aplicando la diferencia dividida

La aplicación por excelencia de la diferencia dividida está en la presentación de la integral definida, que no es más que una diferencia finita:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {LB} ^ {UB} G (p) \, dp & = \ int _ {LB} ^ {UB} F '(p) \, dp = F (UB) -F (LB), \\ [10pt] & = F [LB, UB] \ Delta B, \\ [10pt] & = F '(LB <P <UB) \ Delta B, \\ [10pt] & = \ G (LB <P <UB) \ Delta B. \ end {alineado}}}$

Dado que el valor medio, la forma de expresión derivada proporciona la misma información que la notación integral clásica, la forma del valor medio puede ser la expresión preferible, como en los lugares de escritura que solo admiten / aceptan texto ASCII estándar , o en casos que solo requieren la derivada promedio (como cuando se encuentra el radio promedio en una integral elíptica). Esto es especialmente cierto para integrales definidas que técnicamente tienen (p. Ej.) 0 y o como límites, con la misma diferencia dividida encontrada que con los límites de 0 y (por lo tanto, requieren menos esfuerzo de promediado): ${\ Displaystyle \ pi \, \!}$${\ Displaystyle 2 \ pi \, \!}$${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} F '(p) \, dp & = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} F '(p) \, dp = F (2 \ pi) -F (0) = 4 (F ({\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}) - F (0)), \\ [10pt] & = 2 \ pi F [0,2 \ pi] = 2 \ pi F '(0 <P <2 \ pi), \\ [10pt] & = 2 \ pi F [0, {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}] = 2 \ pi F '(0 <P <{\ begin {matrix} {\ frac {\ pi } {2}} \ end {matriz}}). \ End {alineado}}}$

Esto también se hace particularmente útil cuando se trata con iterada y múltiple integral s (? A = AU - AL,? B = BU - BL,? C = CU - CL):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ qquad \ int _ {CL} ^ {CU} \ int _ {BL} ^ {BU} \ int _ {AL} ^ {AU} F '(r, q , p) \, dp \, dq \, dr \\ [10pt] & = \ sum _ {T \! C = 1} ^ {U \! C = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} F ^ {'} (R _ {(tc)} : Q _ {(tb)}: P _ {(ta)}) {\ frac {\ Delta A} {U \! A}} \ right) {\ frac {\ Delta B} {U \! B}} \ right ) {\ frac {\ Delta C} {U \! C}}, \\ [10pt] & = F '(C \! L <R <CU: BL <Q <BU: AL <P <\! AU) \ Delta A \, \ Delta B \, \ Delta C. \ end {alineado}}}$

Por eso,

${\ Displaystyle F '(R, Q: AL <P <AU) = \ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F' (R, Q: P_ {(ta)})} {U \! A}}; \, \!}$

y

${\ Displaystyle F '(R: BL <Q <BU: AL <P <AU) = \ sum _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F '(R: Q _ {(tb)}: P _ {(ta)})} {U \! A}} \ right) {\ frac {1} {U \! B}}. \, \!}$

Ver también

• Diferencias divididas
• Teoría de Fermat
• Polinomio de Newton
• Método de rectángulo
• Regla del cociente
• Cociente de diferencias simétricas

Referencias

enlaces externos

• Colegio San Vicente: fr. David Carlson, OSB— MA109 El cociente de diferencia
• Universidad de Birmingham: Dirk Hermans— Divided Differences
• Mathworld:
  • Diferencia dividida
  • Teorema del valor medio
• Universidad de Wisconsin: Thomas W. Reps y Louis B. Rall: diferenciación dividida computacional y aritmética de diferencia dividida
• Simulador interactivo de cociente de diferencias para explicar la derivada