Media de una función - Mean of a function

En cálculo , y especialmente en cálculo multivariable , la media de una función se define vagamente como el valor promedio de la función en su dominio . En una variable, la media de una función f ( x ) en el intervalo ( a , b ) está definida por

${\ Displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Recuerde que una propiedad definitoria del valor promedio de un número finito de números es esa . En otras palabras, es el valor constante que cuando se suma a sí mismo veces es igual al resultado de sumar los términos . Por analogía, una propiedad definitoria del valor promedio de una función durante el intervalo es que ${\ Displaystyle {\ bar {y}}}$${\ Displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}}$${\ Displaystyle n {\ bar {y}} = y_ {1} + y_ {2} + \ cdots + y_ {n}}$${\ Displaystyle {\ bar {y}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ Displaystyle [a, b]}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

En otras palabras, es el valor constante que cuando se integra sobre es igual al resultado de integrar sobre . Pero la integral de una constante es solo ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = {\ bar {f}} x {\ bigr |} _ {a} ^ {b} = {\ bar { f}} b - {\ bar {f}} a = (ba) {\ bar {f}}}$

Véase también el primer teorema del valor medio para la integración , que garantiza que si es continuo, entonces existe un punto tal que ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle c \ in (a, b)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c) (ba)}$

El punto se llama valor medio de on . Entonces escribimos y reorganizamos la ecuación anterior para obtener la definición anterior. ${\ Displaystyle f (c)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} = f (c)}$

En varias variables, la media sobre un dominio U relativamente compacto en un espacio euclidiano se define por

${\ Displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} f.}$

Esto generaliza la media aritmética . Por otro lado, también es posible generalizar la media geométrica a funciones definiendo la media geométrica de f como

${\ Displaystyle \ exp \ left ({\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} \ log f \ right).}$

De manera más general, en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad , cualquier tipo de media juega un papel importante. En este contexto, la desigualdad de Jensen coloca estimaciones precisas sobre la relación entre estas dos nociones diferentes de la media de una función.

También hay un promedio armónico de funciones y un promedio cuadrático (o raíz cuadrada media ) de funciones.

Ver también

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