Dominio (análisis matemático) - Domain (mathematical analysis)

En el análisis matemático , un dominio o región es un conjunto abierto conectado no vacío en un espacio topológico , en particular cualquier subconjunto abierto conectado no vacío del espacio de coordenadas reales R n o del espacio de coordenadas complejo C n . Este es un concepto diferente al dominio de una función , aunque a menudo se usa para ese propósito, por ejemplo, en ecuaciones diferenciales parciales y espacios de Sobolev .

La idea básica de un subconjunto conectado de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de una generación a otra, de un autor a otro y de una edición a otra, a medida que los conceptos se desarrollaron y los términos se tradujeron entre obras en alemán, francés e inglés. . En inglés, algunos autores usan el término dominio , algunos usan el término región , algunos usan ambos términos indistintamente y algunos definen los dos términos de manera ligeramente diferente; algunos evitan la ambigüedad apegándose a una frase como subconjunto abierto conectado no vacío . Una convención común es definir un dominio como un conjunto abierto conectado, pero una región como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos límite . Una región cerrada o dominio cerrado es la unión de un dominio y todos sus puntos límite.

Se requieren diversos grados de suavidad de la frontera del dominio para diversas propiedades de las funciones definidas en el dominio de retención, tales como teoremas integrales ( teorema de Green , teorema de Stokes ), propiedades de espacios de Sobolev , y para definir las medidas en el límite y espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite continuo , límite de Lipschitz , límite C 1 , etc.

Un dominio acotado es un dominio que es un conjunto acotado , mientras que un dominio exterior o externo es el interior del complemento de un dominio acotado.

En análisis complejo , un dominio complejo (o simplemente dominio ) es cualquier subconjunto abierto conectado del plano complejo C . Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unitario abierto , el semiplano superior abierto , etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición para una función holomórfica . En el estudio de varias variables complejas , la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conectado de C n .

Notas históricas

Definición . Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

-  Constantin Carathéodory , ( Carathéodory 1918 , p. 222)

Según Hans Hahn , el concepto de dominio como un conjunto conectado abierto fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro ( Carathéodory 1918 ). Hahn también comenta que la palabra " Gebiet " (" Dominio ") se usó anteriormente en ocasiones como sinónimo de conjunto abierto . El concepto aproximado es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos dominio y región se usaban a menudo de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita.

Sin embargo, el término "dominio" se utilizó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en sus influyentes monografías sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Carlo Miranda usa el término "región" para identificar un conjunto conectado abierto, y reserva el término "dominio" para identificar un conjunto perfecto conectado internamente , cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores, siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone : según esta convención, si un conjunto A es una región, entonces su cierre A es un dominio.

Ver también

Notas

Referencias