Significar - Mean

Hay varios tipos de medias en matemáticas , especialmente en estadística .

Para un conjunto de datos , la media aritmética , también conocida como promedio aritmético, es un valor central de un conjunto finito de números: específicamente, la suma de los valores dividida por el número de valores. La media aritmética de un conjunto de números x ₁ , x ₂ , ..., x _n se denota típicamente por . Si el conjunto de datos se basó en una serie de observaciones obtenidas por muestreo de una población estadística , la media aritmética es la media muestral (denotada ) para distinguirla de la media, o valor esperado , de la distribución subyacente, la media poblacional (denotada o ). ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {x}}$

Fuera de la probabilidad y la estadística, en la geometría y el análisis matemático se utiliza a menudo una amplia gama de otras nociones de media ; se dan ejemplos a continuación.

Tipos de medios

Medios pitagóricos

Media aritmética (AM)

La media aritmética (o simplemente media ) de una lista de números, es la suma de todos los números divididos por el número de números. De manera similar, la media de una muestra , generalmente denotada por , es la suma de los valores muestreados dividida por el número de elementos de la muestra. ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac { x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Por ejemplo, la media aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

{\ displaystyle {\ frac {4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Media geométrica (GM)

La media geométrica es una media útil para conjuntos de números positivos, que se interpretan según su producto (como es el caso de las tasas de crecimiento) y no su suma (como es el caso de la media aritmética):

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left ( x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Por ejemplo, la media geométrica de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

{\ displaystyle (4 \ times 36 \ times 45 \ times 50 \ times 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt [{5}] {24 \; 300 \; 000}} = 30 .}

Media armónica (HM)

La media armónica es un promedio que es útil para conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad , como en el caso de la velocidad (es decir, distancia por unidad de tiempo):

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}

Por ejemplo, la media armónica de los cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es

{\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45}} + {\ tfrac {1} { 50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relación entre AM, GM y HM

Prueba sin palabras de la desigualdad de las medias geométricas y aritméticas :
PR es el diámetro de un círculo centrado en O; su radio AO es la media aritmética de un y b . Usando el teorema de la media geométrica , la altitud GQ del triángulo PGR es la media geométrica . Para cualquier relación a : b , AO ≥ GQ.

AM, GM y HM satisfacen estas desigualdades:

{\ Displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

La igualdad se mantiene si todos los elementos de la muestra dada son iguales.

Ubicación estadística

es una comparación de la media aritmética, la mediana y la moda de dos distribuciones asimétricas ( logarítmicas normales ).

Visualización geométrica de la moda, mediana y media de una función de densidad de probabilidad arbitraria.

En la estadística descriptiva , la media puede confundirse con la mediana , la moda o el rango medio , ya que cualquiera de estos puede llamarse "promedio" (más formalmente, una medida de tendencia central ). La media de un conjunto de observaciones es el promedio aritmético de los valores; sin embargo, para distribuciones asimétricas , la media no es necesariamente la misma que el valor medio (mediana) o el valor más probable (moda). Por ejemplo, el ingreso medio suele estar sesgado hacia arriba por un pequeño número de personas con ingresos muy altos, de modo que la mayoría tiene un ingreso inferior al promedio. Por el contrario, el ingreso medio es el nivel en el que la mitad de la población está por debajo y la mitad por encima. La modalidad de ingreso es el ingreso más probable y favorece al mayor número de personas con menores ingresos. Si bien la mediana y la moda suelen ser medidas más intuitivas para estos datos asimétricos, muchas distribuciones asimétricas se describen mejor por su media, incluidas las distribuciones exponenciales y de Poisson .

Media de una distribución de probabilidad

La media de una distribución de probabilidad es el valor medio aritmético a largo plazo de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Si la variable aleatoria se denota por , también se conoce como el valor esperado de (denotado ). Para una distribución de probabilidad discreta , la media viene dada por , donde la suma se toma sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria y es la función de masa de probabilidad . Para una distribución continua , la media es , donde es la función de densidad de probabilidad . En todos los casos, incluidos aquellos en los que la distribución no es discreta ni continua, la media es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad . La media no tiene por qué existir o ser finita; para algunas distribuciones de probabilidad, la media es infinita ( $+ \infty$ o $-\infty$ ), mientras que para otras la media no está definida . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E (X)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}$ ${\ Displaystyle P (x)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$ ${\ Displaystyle f (x)}$

Medios generalizados

Poder significa

La media generalizada , también conocida como media de potencia o media de Hölder, es una abstracción de las medias cuadrática, aritmética, geométrica y armónica. Se define para un conjunto de n números positivos x _i por

{\ Displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Al elegir diferentes valores para el parámetro m , se obtienen los siguientes tipos de medias:

${\ displaystyle m \ rightarrow \ infty}$	máximo de ${\ Displaystyle x_ {i}}$
${\ Displaystyle m = 2}$	media cuadrática
${\ Displaystyle m = 1}$	significado aritmetico
${\ displaystyle m \ rightarrow 0}$	significado geometrico
${\ Displaystyle m = -1}$	Significado armonico
${\ displaystyle m \ rightarrow - \ infty}$	mínimo de ${\ Displaystyle x_ {i}}$

f -significa

Esto se puede generalizar aún más como la $f$ -mean generalizada

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ { i} \ right)}} \ right)}

y de nuevo una elección adecuada de una $f$ invertible dará

${\ Displaystyle f (x) = x}$	media aritmética ,
${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$	media armónica ,
${\ Displaystyle f (x) = x ^ {m}}$	poder significa ,
${\ Displaystyle f (x) = \ ln (x)}$	media geométrica .

Media aritmética ponderada

La media aritmética ponderada (o promedio ponderado) se usa si se desea combinar valores promedio de muestras de diferentes tamaños de la misma población:

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Donde y son la media y el tamaño de la muestra respectivamente. En otras aplicaciones, representan una medida de la confiabilidad de la influencia sobre la media por los valores respectivos. ${\ displaystyle {\ bar {x_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle w_ {i}}$ ${\ Displaystyle i}$

Media truncada

A veces, un conjunto de números puede contener valores atípicos (es decir, valores de datos que son mucho más bajos o mucho más altos que los demás). A menudo, los valores atípicos son datos erróneos causados por artefactos . En este caso, se puede utilizar una media truncada . Implica descartar partes determinadas de los datos en el extremo superior o inferior, generalmente una cantidad igual en cada extremo y luego tomar la media aritmética de los datos restantes. El número de valores eliminados se indica como un porcentaje del número total de valores.

Media intercuartil

La media intercuartil es un ejemplo específico de media truncada. Es simplemente la media aritmética después de eliminar el cuarto de valores más bajo y más alto.

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i}}

asumiendo que los valores han sido ordenados, es simplemente un ejemplo específico de una media ponderada para un conjunto específico de pesos.

Media de una función

En algunas circunstancias, los matemáticos pueden calcular la media de un conjunto de valores infinito (o incluso incontable ). Esto puede suceder al calcular el valor medio de una función . Intuitivamente, se puede pensar que la media de una función calcula el área debajo de una sección de una curva y luego la divide por la longitud de esa sección. Esto se puede hacer de forma burda contando cuadrados en papel cuadriculado, o más precisamente mediante integración . La fórmula de integración se escribe como: ${\ Displaystyle y _ {\ text {avg}}}$ ${\ Displaystyle f (x)}$

{\ Displaystyle y _ {\ text {avg}} (a, b) = {\ frac {1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! f (x) \, dx}

En este caso, se debe tener cuidado para asegurarse de que la integral converja. Pero la media puede ser finita incluso si la función en sí tiende al infinito en algunos puntos.

Media de ángulos y cantidades cíclicas

Los ángulos , las horas del día y otras cantidades cíclicas requieren aritmética modular para sumar y combinar números. En todas estas situaciones, no habrá un medio único. Por ejemplo, las horas una hora antes y después de la medianoche son equidistantes a la medianoche y al mediodía. También es posible que no exista ningún medio. Considere una rueda de colores : no hay significado para el conjunto de todos los colores. En estas situaciones, debe decidir qué medio es más útil. Puede hacer esto ajustando los valores antes de promediar o usando un enfoque especializado para la media de cantidades circulares .

Fréchet significa

La media de Fréchet proporciona una manera de determinar el "centro" de una distribución de masa en una superficie o, más generalmente, en la variedad de Riemann . A diferencia de muchos otros medios, la media de Fréchet se define en un espacio cuyos elementos no necesariamente se pueden sumar o multiplicar por escalares. A veces también se conoce como la media de Karcher (llamada así por Hermann Karcher).

Regla de Swanson

Ésta es una aproximación a la media de una distribución moderadamente sesgada. Se utiliza en la exploración de hidrocarburos y se define como

{\ Displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

donde P ₁₀ , P ₅₀ y P ₉₀ percentiles 10, 50 y 90 de la distribución.

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