Promedio - Average

En lenguaje coloquial , un promedio es un número único que se toma como representativo de una lista de números no vacía. Se utilizan diferentes conceptos de promedio en diferentes contextos. A menudo, "promedio" se refiere a la media aritmética , la suma de los números dividida por la cantidad de números que se promedian. En estadística , la media , la mediana y la moda se conocen como medidas de tendencia central y, en el uso coloquial, cualquiera de ellas podría denominarse valor promedio .

Propiedades generales

Si todos los números en una lista son el mismo número, entonces su promedio también es igual a este número. Esta propiedad es compartida por cada uno de los muchos tipos de promedios.

Otra propiedad universal es la monotonicidad : si dos listas de números A y B tienen la misma longitud, y cada entrada de la lista A es al menos tan grande como la entrada correspondiente en la lista B , entonces el promedio de la lista A es al menos como el de lista B . Además, todos los promedios satisfacen la homogeneidad lineal : si todos los números de una lista se multiplican por el mismo número positivo, entonces su promedio cambia por el mismo factor.

En algunos tipos de promedio, a los elementos de la lista se les asignan diferentes pesos antes de que se determine el promedio. Estos incluyen la media aritmética ponderada , la media geométrica ponderada y la mediana ponderada . Además, para algunos tipos de media móvil , el peso de un elemento depende de su posición en la lista. La mayoría de los tipos de promedio, sin embargo, satisfacen la permutación -insensibilidad: todos los elementos cuentan por igual para determinar su valor promedio y sus posiciones en la lista son irrelevantes; el promedio de (1, 2, 3, 4, 6) es el mismo que el de (3, 2, 6, 4, 1).

Medios pitagóricos

La media aritmética , la media geométrica y la media armónica se conocen colectivamente como medias pitagóricas .

Ubicación estadística

La moda , la mediana y el rango medio se utilizan a menudo además de la media como estimaciones de tendencia central en la estadística descriptiva . Todos estos pueden verse como que minimizan la variación en alguna medida; ver tendencia central § Soluciones a problemas variacionales .

Comparación de promedios comunes de valores {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}
Escribe Descripción Ejemplo Resultado
Significado aritmetico Suma de valores de un conjunto de datos dividida por el número de valores: (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7 4
Mediana Valor medio que separa las mitades mayor y menor de un conjunto de datos 1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9 3
Modo Valor más frecuente en un conjunto de datos 1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9 2
Rango medio La media aritmética de los valores más alto y más bajo de un conjunto. (1 + 9) / 2 5

Modo

Comparación de la media aritmética , la mediana y la moda de dos distribuciones logarítmicas normales con diferente asimetría

El número que aparece con más frecuencia en una lista se llama moda. Por ejemplo, la moda de la lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) es 3. Puede suceder que haya dos o más números que aparecen con la misma frecuencia y con más frecuencia que cualquier otro número. En este caso, no existe una definición acordada de modo. Algunos autores dicen que son todos modos y algunos dicen que no hay modo.

Mediana

La mediana es el número medio del grupo cuando están clasificados en orden. (Si hay un número par de números, se toma la media de los dos del medio).

Por lo tanto, para encontrar la mediana, ordene la lista de acuerdo con la magnitud de sus elementos y luego elimine repetidamente el par que consta de los valores más alto y más bajo hasta que queden uno o dos valores. Si queda exactamente un valor, es la mediana; si hay dos valores, la mediana es la media aritmética de estos dos. Este método toma la lista 1, 7, 3, 13 y le ordena que lea 1, 3, 7, 13. Luego, el 1 y el 13 se eliminan para obtener la lista 3, 7. Dado que hay dos elementos en esta lista restante, la mediana es su media aritmética, (3 + 7) / 2 = 5.

Rango medio

El rango medio es la media aritmética de los valores más alto y más bajo de un conjunto.

Resumen de tipos

Nombre Ecuación o descripción
Significado aritmetico
Mediana El valor medio que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos
Mediana geométrica Una extensión invariante de rotación de la mediana para puntos en R n
Modo El valor más frecuente en el conjunto de datos
Significado geometrico
Significado armonico
Media cuadrática
(o RMS)
Media cúbica
Media generalizada
Media ponderada
Media truncada La media aritmética de los valores de los datos después de que se haya descartado un cierto número o proporción de los valores de datos más altos y más bajos.
Media intercuartil Un caso especial de la media truncada, utilizando el rango intercuartílico . Un caso especial de la media truncada intercuantil, que opera sobre cuantiles (a menudo deciles o percentiles) que son equidistantes pero en lados opuestos de la mediana.
Rango medio
Media Winsorizada Similar a la media truncada, pero, en lugar de eliminar los valores extremos, se establecen iguales a los valores más grande y más pequeño que quedan

La tabla de símbolos matemáticos explica los símbolos que se utilizan a continuación.

Tipos misceláneos

Otros promedios más sofisticados son: trimeo , trimediano y medio normalizado , con sus generalizaciones.

Uno puede crear su propio medio de indicadores mediante la generalizada f -mean :

donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto usando f ( x ) = 1 / x , y la media geométrica es otra, usando f ( x ) = log  x .

Sin embargo, este método para generar medios no es lo suficientemente general como para capturar todos los promedios. Un método más general para definir un promedio toma cualquier función g ( x 1x 2 , ...,  x n ) de una lista de argumentos que es continua , estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo la permutación de los argumentos ). La y media es entonces el valor que, al reemplazar a cada miembro de la lista, da como resultado el mismo valor de función: g ( y , y , ..., y ) = g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) . Esta definición más general todavía captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento en sí. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 + x 2 + ··· + x n proporciona la media aritmética. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = - ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la Significado armonico.

Retorno porcentual promedio y CAGR

Un tipo de promedio utilizado en finanzas es el rendimiento porcentual promedio. Es un ejemplo de media geométrica. Cuando los rendimientos son anuales, se denomina Tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR). Por ejemplo, si estamos considerando un período de dos años, y el retorno de la inversión en el primer año es de -10% y el retorno en el segundo año es de + 60%, entonces el rendimiento medio porcentual o CAGR, R , se pueden obtener resolviendo la ecuación: (1 - 10%) × (1 + 60%) = (1 - 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R ) × (1 + R ) . El valor de R que hace que esta ecuación sea verdadera es 0.2, o 20%. Esto significa que el rendimiento total durante el período de 2 años es el mismo que si hubiera habido un crecimiento del 20% cada año. El orden de los años no hace ninguna diferencia: el rendimiento porcentual medio de + 60% y −10% es el mismo resultado que el de −10% y + 60%.

Este método se puede generalizar a ejemplos en los que los períodos no son iguales. Por ejemplo, considere un período de medio año para el que el rendimiento es -23% y un período de dos años y medio para el que el rendimiento es + 13%. El rendimiento porcentual promedio para el período combinado es el rendimiento de un año, R , que es la solución de la siguiente ecuación: (1 - 0,23) 0,5 × (1 + 0,13) 2,5 = (1 + R ) 0,5 + 2,5 , lo que da una rendimiento medio R de 0,0600 o 6,00%.

Media móvil

Dada una serie de tiempo , como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, la gente a menudo quiere crear una serie más suave. Esto ayuda a mostrar tendencias subyacentes o quizás comportamientos periódicos. Una forma fácil de hacer esto es la media móvil : uno elige un número ny crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primeros n valores, luego avanza un lugar eliminando el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro final de la lista y así sucesivamente. Ésta es la forma más simple de media móvil. Las formas más complicadas implican el uso de un promedio ponderado . La ponderación se puede usar para mejorar o suprimir varios comportamientos periódicos y existe un análisis muy extenso de qué ponderaciones usar en la literatura sobre filtrado . En el procesamiento de señales digitales, el término "promedio móvil" se usa incluso cuando la suma de los pesos no es 1.0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de los promedios). La razón de esto es que el analista suele estar interesado solo en la tendencia o el comportamiento periódico.

Historia

Origen

La primera vez que se registró que la media aritmética se extendió de 2 a n casos para el uso de la estimación fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, gradualmente se convirtió en un método común para reducir los errores de medición en diversas áreas. En ese momento, los astrónomos querían saber un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna. Usando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores suman un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación se desarrolló principalmente en astronomía. Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (la media de los dos valores extremos), utilizado por ejemplo en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en la metalurgia y la navegación.

Sin embargo, existen varias referencias vagas más antiguas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero podrían tener que ver razonablemente con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV, se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado):

En primer lugar, debemos colocar en fila la secuencia de números desde la mónada hasta nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar la cantidad de todos de ellos juntos, y dado que la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está presente de forma natural entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [un] noveno [de la suma] solo pertenece a la [aritmética] media misma ...

Incluso existen referencias potenciales más antiguas. Hay registros de que desde aproximadamente el año 700 a. C., los comerciantes y embarcadores acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños por mar) deberían repartirse por igual entre ellos. Esto podría haberse calculado utilizando el promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.

Etimología

La raíz se encuentra en árabe como عوار ʿawār , un defecto o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluida la mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʿawārī (también عوارة ʿawāra ) = "de o relacionado con ʿawār , un estado de daño parcial". Dentro de las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo. Génova de los siglos XII y XIII avaria latina significaba "daños, pérdidas y gastos anormales que surgen en relación con un viaje por mar mercante"; y el mismo significado para avaria está en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del siglo XIII. Avarie francesa del siglo XV tenía el mismo significado, y engendró el inglés "averay" (1491) y el inglés "average" (1502) con el mismo significado. Hoy en día, el italiano avaria , catalán avaria y francés avarie todavía tienen el significado primario de "daño". La enorme transformación del significado en inglés comenzó con la práctica en los contratos de derecho marítimo mercante occidental de la Edad Media tardía y principios de la Edad Moderna, según los cuales si el barco se encontraba con una fuerte tormenta y algunas de las mercancías tenían que ser arrojadas por la borda para hacer que el barco fuera más ligero y seguro. , entonces todos los comerciantes cuyas mercancías estaban en el barco sufrirían proporcionalmente (y no las mercancías de quienquiera que fueran arrojadas por la borda); y más en general, debía haber una distribución proporcional de cualquier avaria . A partir de ahí, las aseguradoras, acreedores y comerciantes británicos adoptaron la palabra para hablar de que sus pérdidas se distribuyen en toda su cartera de activos y tienen una proporción media. El significado actual se desarrolló a partir de eso, y comenzó a mediados del siglo XVIII, y comenzó en inglés. [1] .

El daño marítimo es el promedio particular , que es soportado solo por el propietario de la propiedad dañada, o el promedio general , donde el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes de la empresa marina. El tipo de cálculos utilizados para ajustar el promedio general dio lugar al uso de "promedio" para significar "media aritmética".

Un segundo uso del inglés, documentado ya en 1674 y a veces escrito "averish", es como residuo y segundo crecimiento de cultivos de campo, que se consideraban adecuados para el consumo de animales de tiro ("avers").

Hay un uso anterior (al menos del siglo XI) de la palabra no relacionado. Parece ser un término legal antiguo para la obligación de trabajo diario de un inquilino con un alguacil, probablemente anglicanizado de "avera" que se encuentra en el Libro de Domesday en inglés (1085).

El Oxford English Dictionary, sin embargo, dice que las derivaciones del alemán hafen haven y del árabe ʿawâr pérdida, daño, han sido "bastante descartadas " y la palabra tiene un origen romance.

Los promedios como herramienta retórica

Debido a la naturaleza coloquial mencionada anteriormente del término "promedio", el término puede usarse para ofuscar el verdadero significado de los datos y sugerir respuestas variables a preguntas basadas en el método de promediado (con mayor frecuencia media aritmética, mediana o moda) utilizado. En su artículo "Framed for Lying: Statistics as In / Artistic Proof", el miembro de la facultad de la Universidad de Pittsburgh , Daniel Libertz, comenta que la información estadística con frecuencia se descarta de los argumentos retóricos por esta razón. Sin embargo, debido a su poder persuasivo, los promedios y otros valores estadísticos no deben descartarse por completo, sino que deben usarse e interpretarse con precaución. Libertz nos invita a involucrarnos críticamente no solo con información estadística como promedios, sino también con el lenguaje utilizado para describir los datos y sus usos, diciendo: "Si las estadísticas se basan en la interpretación, los retóricos deberían invitar a su audiencia a interpretar en lugar de insistir en una interpretación." En muchos casos, se proporcionan datos y cálculos específicos para ayudar a facilitar esta interpretación basada en la audiencia.

Ver también

Referencias

enlaces externos