Función implícita - Implicit function

En matemáticas , una ecuación implícita es una relación de la forma R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , donde R es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es x ² + y ² - 1 = 0 .

Una función implícita es una función que está definida por una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las otras consideradas como los argumentos . Por ejemplo, la ecuación x ² + y ² - 1 = 0 del círculo unitario define y como una función implícita de x si −1 ≤ x ≤ 1 , y uno restringe y a valores no negativos.

El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de relaciones definen una función implícita, es decir, relaciones definidas como la función indicadora del conjunto cero de alguna función multivariante continuamente diferenciable .

Ejemplos de

Funciones inversas

Un tipo común de función implícita es una función inversa . No todas las funciones tienen una función inversa única. Si g es una función de x que tiene una inversa única, entonces la función inversa de g , llamada g ⁻¹ , es la función única que da una solución de la ecuación

${\ Displaystyle y = g (x)}$

para x en términos de y . Esta solución se puede escribir como

${\ Displaystyle x = g ^ {- 1} (y) \ ,.}$

Definir g ⁻¹ como el inverso de g es una definición implícita. Para algunas funciones g , g ⁻¹ ( y ) se puede escribir explícitamente como una expresión de forma cerrada ; por ejemplo, si g ( x ) = 2 x - 1 , entonces g ⁻¹ ( y ) = 1/2( y + 1) . Sin embargo, esto a menudo no es posible, o solo mediante la introducción de una nueva notación (como en el ejemplo de registro del producto a continuación).

Intuitivamente, se obtiene una función inversa de g intercambiando los roles de las variables dependientes e independientes.

Ejemplo: el registro del producto es una función implícita que da la solución para x de la ecuación y - xe ^x = 0 .

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes son polinomios en sí mismos. Por ejemplo, una función algebraica en una variable x da una solución para y de una ecuación

${\ Displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0 \ ,,}$

donde los coeficientes a _i ( x ) son funciones polinomiales de x . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la ecuación de solución y = f ( x ) . Escrita así, f es una función implícita de varios valores .

Las funciones algebraicas juegan un papel importante en el análisis matemático y la geometría algebraica . El lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario da un ejemplo simple de una función algebraica:

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0 \ ,.}$

Resolver para y da una solución explícita:

${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ ,.}$

Pero incluso sin especificar esta solución explícita, es posible referirse a la solución implícita de la ecuación del círculo unitario como y = f ( x ) , donde f es la función implícita de múltiples valores.

Si bien se pueden encontrar soluciones explícitas para ecuaciones que son cuadráticas , cúbicas y cuárticas en y , no ocurre lo mismo en general para las ecuaciones quínticas y de grado superior, como

${\ Displaystyle y ^ {5} + 2y ^ {4} -7y ^ {3} + 3y ^ {2} -6y-x = 0 \ ,.}$

Sin embargo, todavía se puede hacer referencia a la solución implícita y = f ( x ) que involucra la función implícita de múltiples valores f .

Advertencias

No todas las ecuaciones R ( x , y ) = 0 implican una gráfica de una función de un solo valor, siendo la ecuación del círculo un ejemplo destacado. Otro ejemplo es una función implícita dada por x - C ( y ) = 0 donde C es un polinomio cúbico que tiene una "joroba" en su gráfico. Por lo tanto, para que una función implícita sea una función verdadera (de un solo valor), podría ser necesario usar solo una parte del gráfico. Una función implícita a veces se puede definir con éxito como una función verdadera sólo después de "hacer zoom" en alguna parte del eje x y "cortar" algunas ramas de función no deseadas. Entonces se puede escribir una ecuación que exprese y como una función implícita de las otras variables.

La ecuación definitoria R ( x , y ) = 0 también puede tener otras patologías. Por ejemplo, la ecuación x = 0 no implica una función f ( x ) que dé soluciones para y en absoluto; es una línea vertical. Para evitar un problema como este, con frecuencia se imponen varias restricciones sobre los tipos de ecuaciones permitidas o sobre el dominio . El teorema de la función implícita proporciona una forma uniforme de manejar este tipo de patologías.

Diferenciación implícita

En cálculo , un método llamado diferenciación implícita hace uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones definidas implícitamente.

Para diferenciar una función implícita y ( x ) , definida por una ecuación R ( x , y ) = 0 , generalmente no es posible resolverla explícitamente para y y luego diferenciar. En lugar de ello, se puede totalmente Diferenciar R ( x , y ) = 0 con respecto a x e y , y luego resolver la ecuación lineal resultante parady/dxpara obtener el derivado de manera explícita en términos de x e y . Incluso cuando es posible resolver explícitamente la ecuación original, la fórmula resultante de la diferenciación total es, en general, mucho más simple y fácil de usar.

Ejemplos de

Ejemplo 1

Considerar

${\ Displaystyle y + x + 5 = 0 \ ,.}$

Esta ecuación es fácil de resolver para y , dando

${\ Displaystyle y = -x-5 \ ,,}$

donde el lado derecho es la forma explícita de la función y ( x ) . La diferenciación entonces dady/dx= −1 .

Alternativamente, se puede diferenciar totalmente la ecuación original:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {d} {dx}} (5) & = 0 \ ,; \\ [6px] {\ frac {dy} {dx}} + 1 + 0 & = 0 \,. \ End {alineado}}}$

Resolviendo para dy/dx da

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - 1 \ ,,}$

la misma respuesta que se obtuvo anteriormente.

Ejemplo 2

Un ejemplo de una función implícita para la cual la diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función y ( x ) definida por la ecuación

${\ displaystyle x ^ {4} + 2y ^ {2} = 8 \ ,.}$

Para diferenciar esto explícitamente con respecto ax , primero hay que obtener

${\ Displaystyle y (x) = \ pm {\ sqrt {\ frac {8-x ^ {4}} {2}}} \ ,,}$

y luego diferenciar esta función. Esto crea dos derivadas: una para y ≥ 0 y otra para y <0 .

Es sustancialmente más fácil diferenciar implícitamente la ecuación original:

${\ Displaystyle 4x ^ {3} + 4y {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

donación

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {-4x ^ {3}} {4y}} = - {\ frac {x ^ {3}} {y}} \ ,.}$

Ejemplo 3

A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente para y , y la diferenciación implícita es el único método factible de diferenciación. Un ejemplo es la ecuación

${\ Displaystyle y ^ {5} -y = x \ ,.}$

Es imposible expresar algebraicamente y explícitamente como una función de x , y por lo tanto no se puede encontrardy/dxpor diferenciación explícita. Usando el método implícito,dy/dx se puede obtener diferenciando la ecuación para obtener

${\ Displaystyle 5y ^ {4} {\ frac {dy} {dx}} - {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dx} {dx}} \ ,,}$

dónde dx/dx= 1 . Factorizardy/dx muestra que

${\ Displaystyle \ left (5y ^ {4} -1 \ right) {\ frac {dy} {dx}} = 1 \ ,,}$

que produce el resultado

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {5y ^ {4} -1}} \ ,,}$

que se define para

${\ Displaystyle y \ neq \ pm {\ frac {1} {\ sqrt [{4}] {5}}} \ quad {\ text {y}} \ quad y \ neq \ pm {\ frac {i} { \ sqrt [{4}] {5}}} \ ,.}$

Fórmula general para derivada de función implícita

Si R ( x , y ) = 0 , la derivada de la función implícita y ( x ) viene dada por

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {\, {\ frac {\ parcial R} {\ parcial x}} \,} {\ frac {\ parcial R} {\ parcial y }}} = - {\ frac {R_ {x}} {R_ {y}}} \ ,,}$

donde R _x y R _y indican las derivadas parciales de R con respecto ax e y .

La fórmula anterior proviene de usar la regla de la cadena generalizada para obtener la derivada total , con respecto a x , de ambos lados de R ( x , y ) = 0 :

${\ Displaystyle {\ frac {\ R parcial} {\ parcial x}} {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {\ R parcial} {\ parcial y}} {\ frac {dy} {dx }} = 0 \ ,,}$

por eso

${\ Displaystyle {\ frac {\ R parcial} {\ parcial x}} + {\ frac {\ R parcial} {\ parcial y}} {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

que, cuando se resuelve para dy/dx, da la expresión anterior.

Teorema de la función implícita

El círculo unitario se puede definir implícitamente como el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen x ² + y ² = 1 . Alrededor del punto A , y se puede expresar como una función implícita y ( x ) . (A diferencia de muchos casos, aquí esta función se puede hacer explícita como g ₁ ( x ) = √ 1 - x ^2. ) No existe tal función alrededor del punto B , donde el espacio tangente es vertical.

Sea R ( x , y ) una función diferenciable de dos variables y ( a , b ) un par de números reales tales que R ( a , b ) = 0 . Si∂ R/∂ y≠ 0 , entonces R ( x , y ) = 0 define una función implícita que es diferenciable en algún vecindario lo suficientemente pequeño de ( a , b ) ; en otras palabras, hay una función diferenciable f que está definida y diferenciable en algún vecindario de a , tal que R ( x , f ( x )) = 0 para x en este vecindario.

La condición ∂ R/∂ y≠ 0 significa que ( a , b ) es un punto regular de la curva implícita de la ecuación implícita R ( x , y ) = 0 donde la tangente no es vertical.

En un lenguaje menos técnico, existen funciones implícitas y pueden diferenciarse, si la curva tiene una tangente no vertical.

En geometría algebraica

Considere una relación de la forma R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , donde R es un polinomio multivariable. El conjunto de valores de las variables que satisfacen esta relación se denomina curva implícita si n = 2 y superficie implícita si n = 3 . Las ecuaciones implícitas son la base de la geometría algebraica , cuyos temas básicos de estudio son las soluciones simultáneas de varias ecuaciones implícitas cuyos lados izquierdos son polinomios. Estos conjuntos de soluciones simultáneas se denominan conjuntos algebraicos afines .

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales generalmente aparecen expresadas por una función implícita.

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En la economía , cuando el conjunto de nivel R ( x , y ) = 0 es una curva de indiferencia para las cantidades x y y consumida de dos bienes, el valor absoluto de la derivada implícitady/dxse interpreta como la tasa marginal de sustitución de los dos bienes: cuánto más de y se debe recibir para ser indiferente a la pérdida de una unidad de  x .

Tasa marginal de sustitución técnica

De manera similar, a veces el conjunto de niveles R ( L , K ) es una isocuanta que muestra varias combinaciones de cantidades utilizadas L de trabajo y K de capital físico, cada una de las cuales daría como resultado la producción de la misma cantidad dada de producción de algún bien. En este caso, el valor absoluto de la derivada implícitadK/dLse interpreta como la tasa marginal de sustitución técnica entre los dos factores de producción: cuánto capital más debe utilizar la empresa para producir la misma cantidad de producción con una unidad menos de trabajo.

Mejoramiento

A menudo, en la teoría económica , alguna función, como una función de utilidad o una función de beneficio , debe maximizarse con respecto a un vector de elección x , aunque la función objetivo no se haya restringido a ninguna forma funcional específica. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden de la optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo x * del vector de elección x . Cuando se maximiza la ganancia, típicamente las funciones implícitas resultantes son la función de demanda de trabajo y las funciones de oferta de varios bienes. Cuando se maximiza la utilidad, típicamente las funciones implícitas resultantes son la función de oferta de trabajo y las funciones de demanda de varios bienes.

Además, la influencia de los parámetros del problema en x * - las derivadas parciales de la función implícita - se puede expresar como derivadas totales del sistema de condiciones de primer orden encontradas usando la diferenciación total .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

• Binmore, KG (1983). "Funciones implícitas" . Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 198-211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Boston: McGraw-Hill . págs.  223–228 . ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (1994). "Funciones implícitas y sus derivadas" . Matemáticas para economistas . Nueva York: WW Norton. págs. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

enlaces externos

• "Diferenciación implícita, ¿qué está pasando aquí?" . 3Azul1Marrón . Esencia de cálculo. 3 de mayo de 2017 - a través de YouTube .