Ecuación funcional - Functional equation

En matemáticas , una ecuación funcional es cualquier ecuación en la que la incógnita representa una función . A menudo, la ecuación relaciona el valor de una función (o funciones) en algún punto con sus valores en otros puntos. Por ejemplo, las propiedades de las funciones se pueden determinar considerando los tipos de ecuaciones funcionales que satisfacen. El término ecuación funcional generalmente se refiere a ecuaciones que no pueden reducirse simplemente a ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales .

Ejemplos de

• La ecuación funcional

${\ Displaystyle f (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) f ( 1-s)}$

se satisface mediante la función zeta de Riemann . La Γ mayúscula denota la función gamma .

• La función gamma es la solución única del siguiente sistema de tres ecuaciones:

${\ Displaystyle f (x) = {f (x + 1) \ over x} \, \!}$

${\ Displaystyle f (y) f \ left (y + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {2y-1}}} f (2y )}$

${\ Displaystyle f (z) f (1-z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} \, \! \, \, \,}$       ( Fórmula de reflexión de Euler )

• La ecuación funcional

${\ Displaystyle f \ left ({az + b \ over cz + d} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z) \, \!}$

donde a , b , c , d son números enteros que satisfacen , es decir, = 1, define f como una forma modular de orden k .${\ Displaystyle ad-bc = 1}$${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}}$

• Ejemplos varios, que no implican necesariamente funciones estándar o con nombre:

${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y) \, \!}$( Ecuación funcional de Cauchy ), satisfecha por mapas lineales

${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) f (y), \, \!}$satisfecho por todas las funciones exponenciales

${\ Displaystyle f (xy) = f (x) + f (y) \, \!}$, satisfecho por todas las funciones logarítmicas

${\ Displaystyle f (xy) = f (x) f (y) \, \!}$, satisfecho por todas las funciones de potencia

${\ Displaystyle f (x + y) + f (xy) = 2 [f (x) + f (y)] \, \!}$(ecuación cuadrática o ley del paralelogramo )

${\ Displaystyle f ((x + y) / 2) = (f (x) + f (y)) / 2 \, \!}$ (Jensen)

${\ Displaystyle g (x + y) + g (xy) = 2 [g (x) g (y)] \, \!}$ (d'Alembert)

${\ Displaystyle f (h (x)) = h (x + 1) \, \!}$ ( Ecuación de Abel )

${\ Displaystyle f (h (x)) = cf (x) \, \!}$ ( Ecuación de Schröder ).

${\ Displaystyle f (h (x)) = (f (x)) ^ {c} \, \!}$ ( Ecuación de Böttcher ).

${\ Displaystyle f (h (x)) = h '(x) f (x) \, \!}$( Ecuación de Julia ).

${\ Displaystyle \ omega (\ omega (x, u), v) = \ omega (x, u + v)}$( Ecuación de traducción )

${\ Displaystyle f (xy) = \ sum g_ {l} (x) h_ {l} (y) \, \!}$ (Levi-Civita),

y el par de ecuaciones

${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x) \, \!}$( fórmula de adición de seno y fórmula de adición de seno hiperbólico ),

${\ Displaystyle g (x + y) = g (x) g (y) -f (y) f (x) \, \!}$( fórmula de adición de coseno ),

${\ Displaystyle g (x + y) = g (x) g (y) + f (y) f (x) \, \!}$( fórmula de adición de coseno hiperbólico ).

• Una forma simple de ecuación funcional es una relación de recurrencia . Esto, formalmente hablando, involucra funciones no especificadas en números enteros y también operadores de turno . Un ejemplo de una relación de recurrencia es

${\ Displaystyle a (n) = 3a (n-1) + 4a (n-2) \, \!}$

• Las leyes conmutativas y asociativas son ecuaciones funcionales. En su forma familiar, la ley asociativa se expresa escribiendo la operación binaria en notación infija ,

${\ Displaystyle (a \ circ b) \ circ c = a \ circ (b \ circ c) ~,}$

pero si escribimos ƒ ( a ,  b ) en lugar de a  ○  b, entonces la ley asociativa se parece más a una ecuación funcional convencional,

${\ Displaystyle f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c)). \, \!}$

Una característica que comparten todos los ejemplos enumerados anteriormente es que, en cada caso, dos o más funciones conocidas (a veces multiplicación por una constante, a veces suma de dos variables, a veces la función de identidad ) están dentro del argumento de las funciones desconocidas. para ser resuelto.

Cuando se trata de pedir todas las soluciones, puede darse el caso de que deban aplicarse las condiciones del análisis matemático ; Por ejemplo, en el caso de la ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, las soluciones que son funciones continuas son las 'razonables', mientras que se pueden construir otras soluciones que probablemente no tengan una aplicación práctica (utilizando una base de Hamel para los números reales como espacio vectorial sobre los números racionales ). El teorema de Bohr-Mollerup es otro ejemplo bien conocido.

Solución

Resolver ecuaciones funcionales puede ser muy difícil, pero existen algunos métodos comunes para resolverlas. Por ejemplo, en la programación dinámica se utilizan una variedad de métodos de aproximación sucesivos para resolver la ecuación funcional de Bellman , incluidos los métodos basados ​​en iteraciones de punto fijo . Algunas clases de ecuaciones funcionales pueden resolverse mediante técnicas asistidas por computadora.

Un método principal para resolver ecuaciones funcionales elementales es la sustitución. A menudo es útil para demostrar sobreyectividad o inyectividad y demostrar rareza o uniformidad , si es posible. También es útil para adivinar posibles soluciones. La inducción es una técnica útil para usar cuando la función solo se define para valores racionales o enteros.

Una discusión sobre las funciones involutivas es de actualidad. Por ejemplo, considere la función

${\ Displaystyle f (x) = 1-x \ ,.}$

Al componer f consigo mismo se obtiene la ecuación funcional de Babbage (1820),

${\ Displaystyle f (f (x)) = 1- (1-x) = x \ ,.}$

Varias otras funciones también satisfacen la ecuación funcional

${\ Displaystyle f (f (x)) = x}$

incluso

${\ Displaystyle f (x) = - x \ ,,}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {a} {x}} \ ,,}$ y

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {bx} {1 + cx}} ~,}$

que incluye los tres anteriores como casos especiales o límites.

Ejemplo 1 . Encuentre todas las funciones f que satisfacen

${\ Displaystyle f (x + y) ^ {2} = f (x) ^ {2} + f (y) ^ {2} \,}$

para todo x, y ∈ ℝ , asumiendo que ƒ es una función de valor real .

Sea x  =  y  = 0,

${\ Displaystyle f (0) ^ {2} = f (0) ^ {2} + f (0) ^ {2}. \,}$

Entonces ƒ (0) ²  = 0 y ƒ (0) = 0.

Ahora, sea y  = - x ,

${\ Displaystyle f (xx) ^ {2} = f (x) ^ {2} + f (-x) ^ {2} \,}$

${\ Displaystyle f (0) ^ {2} = f (x) ^ {2} + f (-x) ^ {2} \,}$

${\ Displaystyle 0 = f (x) ^ {2} + f (-x) ^ {2} ~.}$

Un cuadrado de un número real no es negativo y una suma de números no negativos es cero si y solo si ambos números son 0.

Entonces ƒ (x) ²  = 0 para todo x y ƒ ( x ) = 0 es la única solución.

Ver también

• Ecuación funcional (función L)
• Ecuación de Bellman
• Programación dinámica
• Función implícita
• Ecuación diferencial funcional

Notas

Referencias

• János Aczél , Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , 1966, reimpreso por Dover Publications, ISBN  0486445232 .
• János Aczél & J. Dhombres, Ecuaciones funcionales en varias variables , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Introducción a las ecuaciones funcionales , AMS, 2011, ISBN  978-0-8218-5314-6  ; en línea .
• Pl. Kannappan, ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Introducción a la teoría de ecuaciones funcionales y desigualdades , segunda edición, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups , primera edición, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 de abril de 2007). Ecuaciones funcionales y cómo resolverlas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

enlaces externos

• Ecuaciones funcionales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones funcionales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Texto del compendio de la OMI (archivado) sobre ecuaciones funcionales en la resolución de problemas.